電子科技大學研究生試卷
課程名稱 圖論及應用
教師 學時 60 學分 3
教學方式 堂上授課
考核日期 2018 年 6 月 日
一．填空題(每空3分，共15分)
1.具有\(m\)條邊的簡單圖\(G\)中所有不同生成子圖(包括\(G\)和空圖)的個數為
。\(2^m\)
2.已知圖G是\(n\)階完全\(l\)部的頂點數為\(n_i(1\leq i\leq l)\),則圖\(G\)的邊數\(m(G)=\)____________________。\(\sum_{1\leq i\leq j\leq l}(n_in_j)\)
3.圖1中最小生成樹\(T\)的權值\(W(T)=\)_________________________________________。10
4.圖2中的塊的個數為
。7
5.圖3中強連通分支個數為
。5
二．單項選擇題(每題3分，共15分)
1．下列非負整數序列中，不是圖的度序列的是 ( ) A
A.(1,0,1,5,2,4,6); B(2,4,6,8,2) C(6,5,4,3,2,2,2) D(0,0,0,0,0,0)
2．下列說法正確的是（ ）B
(A)n階完全圖一定沒有割邊；
(B) n階完全圖一定沒有割點；
(C) 有割邊的簡單圖一定有割點；
(D) 有割點的圖一定有割邊。
3.下列說法錯誤的是( )A
(A) 圖的點連通度大於等於圖的邊連通度；
(B) 若圖G=(n<m)的點連通度為
，則其邊數
；
(C) n階圖的點連通度一定小於或等於n-1；
(D) 圖G是K連通的，則G的連通度至少為K。
- 下列說法正確的是( )B
(A) 歐拉圖一定是哈密爾頓圖；
(B) 任意一棵非平凡樹一定是一個簡單偶圖；
(C) 如果
階單圖
滿足
，則圖G是非哈密爾頓圖；
(D) 任意偶圖一定是非哈密爾頓圖。
5.下列說法錯誤的是( )D
(A) 圖G的匹配M是最大匹配當且僅當G中不存在M可擴路；
(B) 在偶圖中最大匹配的邊數等於最小點覆蓋的頂點數；
(C)k(k≥1)正則偶圖一定存在完美匹配；
(D) 有割點的三正則圖一定沒有完美匹配。
三.（10分）說明整數序列\(\pi =(6,5,4,3,2,2,2)\)是簡單圖的度序列(圖序列)，並作出一個對應的簡單圖G。
解：思路 G是圖序列\(\Leftrightarrow\)刪除第一個元素d1之后的前d1個元素分別減一后得到的序列仍是圖序列
\(\pi_1=(4,3,2,1,1,1)\) \(\pi_2=(2,1,1,0.0)\)是圖序列，故\(\pi\)是圖序列。作圖思路（倒着作，先作\(\pi_2\)，通過加點，作\(\pi_1\),再加點，作\(\pi\)）
四. (10分) 設\(\tau(G)\)表示圖G的生成樹的棵數，求證：對圖G的任意一條邊e來說，有\(\tau(G)=\tau(G-e)+\tau(G.e)\)
證明：對於G的一條邊e來說，G的生成樹中包含邊e的棵數為τ(G.e )，而不包含e的棵數為τ (G-e).
五.(10分) 求證：若G是n≥3的非哈密爾頓簡單圖，則G度弱於某個\(C_{m,n}\)圖。
證明： 設G是度序列為 \((d_1,d_2,...d_n)\)的非H單圖，\(d_1\leq d_2\leq...\leq d_n,n\geq3\)。由度序列判定法：存在m<n/2,使得dm≤m,且dn-m<n-m.於是，G的度序列必弱於如下序列：
\(\overbrace{m,m,...m}^{m},\overbrace{n-m-1,n-m-1,...,n-m-1}^{n-2m},\overbrace{n-1,n-1,...,n-1}^m\)
而上面序列正好是圖\(C_{m,n}\)的度序列。
六.(10分) 求證：對於\(n\geq1\)，完全圖\(K_{4n+1}\)是4-可因子分解的。
證明： \(K_{4n+1}=K_{2(2n)+1}\)，所以，可以分解為2n個邊不重的2因子之和。而任意2個2因子可以並成一個4因子。所以，共可以並成n個4因子。即可\(K_{4n+1}\)以分解為n個4因子的和。所以：對n≥1，\(K_{4n+1}\)有一個4因子分解
七.(10分) 設\(G^*\)是具有\(k(k\geq2)\)個連通分支的平面圖G的對偶圖，已知G的邊數m=10，面數\(\phi =3\)，求\(G^*\)的面數\(\phi^*\)。
解：平面圖G的對偶圖必然連通。則\(n^*+\phi^*-m^*=2\)，又\(n^*=\phi=3\)，\(m^*=m=10\)，得\(\phi^*=2+10-3=9\)
八.(10分) 求下圖4的色多項式\(p_k(G)\)，並求出點色數\(\chi(G)\)。
解：畫出圖G的補圖\(\overline{G}\)
\(p_k(\overline G)=x(x+x^2)^2=x^5+2x^4+x^3=k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)+2k(k-1)(k-2)(k-3)+k(k-1)(k-2)\)
\(p_1(G)=p_2(G)=0,p_3(G)=6\),
所以，\(\chi(G)=3\)
九．(10分) (比賽安排問題) Alvin (A)曾邀請3對夫婦到他的避暑別墅住一個星期。他們是：Bob和Carrie , David和Edith, Frank和Gena。由於這6人都喜歡網球運動，所以他們決定進行網球比賽。6位客人的每一位都要和其配偶之外的每位客人比賽。另外，Alvin將分別和David， Edith， Frank， Gena進行一場比賽。若沒有人在同一天進行2場比賽，則要在最少天數完成比賽，如何安排？。
解：用點表示參賽人，兩點連線當且僅當兩人有比賽。這樣得到比賽狀態圖。 問題對應於求狀態圖的一種最優邊着色(用最少色數進行正常邊着色)。
狀態圖為：
由於n=2×3+1, 所以k=3。而Δ=5 ，m=16>3×5=kΔ,所以由定理知：\(\chi`(G)=6\)