一、重要概念
圖、簡單圖、圖的同構、度序列與圖序列、偶圖、補圖與自補圖、兩個圖的聯圖、兩個圖的積圖
1.1 圖
一個圖G定義為一個有序對(V, E)，記為G = (V, E)，其中
（1）V是一個有限非空集合，稱為頂點集或邊集，其元素稱為頂點或點；
（2）E是由V中的點組成的無序點對構成的集合，稱為邊集，其元素稱為邊，且同一點對在E中可出現多次。
注：圖G的頂點數（或階數）和邊數可分別用符號n(G) 和m(G)表示。連接兩個相同頂點的邊的條數，叫做邊的重數。重數大於1的邊稱為重邊。端點重合為一點的邊稱為環。
1.2 簡單圖
無環無重邊的圖稱為簡單圖。（除此之外全部都是復合圖）
注： 1.頂點集和邊集都有限的圖稱為有限圖。只有一個頂點而無邊的圖稱為平凡圖。其他所有的圖都稱為非平凡圖。邊集為空的圖稱為空圖。
2.n階圖：頂點數為n的圖，稱為n階圖。
3.(n, m) 圖：頂點數為n的圖，邊數為m的圖稱為(n, m) 圖
1.3 鄰接與關聯：
頂點u與v相鄰接：頂點u與v間有邊相連接(u adj v)；其中u與v稱為該邊的兩個端點。
注：1.規定一個頂點與自身是鄰接的。
2.頂點u與邊e相關聯：頂點u是邊e的端點。
3.邊e1與邊e2相鄰接：邊e1與邊e2有公共端點。
1.4 圖的同構
設有兩個圖G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其頂點 集合間存在雙射，使得邊之間存在如下關系：u1,v1∈V1,
u2,v2∈ V2 ，設u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 當且僅當u2v2∈E2,且u1v1與u2v2的重數相同。稱G1與G2同構，記為：
G1≌G2
注：1、圖同構的兩個必要條件： (1) 頂點數相同；(2) 邊數相同。
2、自己空間的理解：通過空間的旋轉折疊可以進行形態轉換
1.5 完全圖、偶圖
1、在圖論中，完全圖是一個簡單圖，且任意一個頂點都與其它每個頂點有且只有一條邊相連接。
2、n個頂點的完全圖用Kn表示，常稱為n階完全圖。
3、偶圖(雙圖或者二部圖)：這類圖的特征：(1)頂點分成不相交的兩部分；(2)任意一條邊兩個端點分屬於兩部分頂點。（3）二部圖不含有奇圈
4、 完全偶圖是指具有二分類（X, Y）的簡單偶圖，其中X的每個頂點與Y的每個頂點相連，若|X|=n1，|Y|=n2，則這樣的偶圖記為 \(K_{m,n}\)
注：1、偶圖不能有環，偶圖可以有重邊；2、偶圖刻畫的是兩類事物之間的某種聯系狀態。
1.6 補圖
對於一個簡單圖G =（V, E），令集合
則稱圖H =（V，E1\E）為G的補圖，記為
幾點說明：(1) 只有簡單圖才能定義補圖；
(2) n階簡單圖和其補圖的頂點集合是相同的；
(3) n階簡單圖任意一對頂點鄰接的充分必要條件是這對頂點在其補圖中不鄰接；
(4) n階簡單圖的邊數與其補圖的邊數之和等於Kn的邊數；
自補圖：若簡單圖G與其補圖同構，則稱G為自補圖
自補圖的性質:（1）若n階圖G是自補的(即
)，則
1.7 圖的度序列
一個圖G的各個點的度d1, d2,…, dn構成的非負整數組(d1, d2,…, dn)稱為G的度序列
注：
重：非負整數組(d1, d2,…., dn)是圖的度序列的充分必要條件是：∑di 為偶數。度序列的判定問題為重點！
1、一個圖的度序列與序列中元素排列無關；
2、給定一個圖，只對應唯一一個度序列；
3、同構的圖具有相同的度序列。
1.8 圖的圖序列：
一個非負數組如果是某簡單圖的度序列，稱它為可圖序列，簡稱圖序列
定理4 非負整數組
是圖序列的充分必要條件是：
是圖序列。
π1是由π的刪除第一個元素d1之后的前d1個元素分別減一后得到的序列。
1.8 圖的頻序列
定理6 一個簡單圖G的n個點的度不能互不相同.
定理7 一個n階圖G和它的補圖有相同的頻序列。
1.9 k-正則圖
設G = (V, E)為簡單圖，如果對所有 v∈V ，有d (v) = k，稱圖G為k-正則圖 .
性質：k-正則偶圖的兩個頂點子集包含頂點個數相等。
二、子圖與圖運算
2.1 子圖
V'∈V，由兩個端點均在V'中的邊集組成的圖，稱為點導出子圖，記為：G[V']
E'∈E，由E'中邊的所有端點為頂點集組成的圖，稱為邊導出子圖，記為：G[E']
如果圖G的一個子圖包含G的所有頂點，稱該子圖為G的一個生成子圖。
定理1 簡單圖G=(n, m) 的所有生成子圖個數為2^m.
2.2 圖運算
2.2.1 圖的刪點、刪邊運算
注意：刪點時會去掉該點以及與該關聯的所有邊
2.2.2 圖的並運算
記為\(G_1\bigcup G_2\)，頂點集為\(V(G_1)\bigcup V(G_2)\)，邊集為\(E(G_1)\bigcup E(G_2)\),如果\(G_1\)與\(G_2\)是不想交的，有時就記並圖為\(G_1+ G_2\)
2.2.3 圖的交運算
與並運算類似進行定義
2.2.4 圖的差運算
設G1,G2是兩個圖，G1與G2的差是指從G1中刪去G2中的邊得到的新圖。記為G1-G2.
圖的對稱差運算(或環和運算)
設G1,G2是兩個圖，G1與G2的對稱差定義為：
圖的聯運算
設G1,G2是兩個不相交的圖，作G1+G2，並且將G1中每個頂點和G2中的每個頂點連接，這樣得到的新圖稱為G1與G2的聯圖。記為 ：
圖的積圖
設 \(G_1 = (V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2)\)是兩個圖。對點集\(V=V_1\times V_2\)的任意兩個點u=(u1,u2)與v=(v1,v2),當(u1=v1和u2adjv2)或(u2=v2和u1adjv1)時，把u與v相連。如此得到的新圖稱為G1與G2的積圖。記為：
圖的合成圖
設 \(G_1 = (V_1,E_1),G_2=(V_2,E_2)\)是兩個圖。對點集\(V=V_1\times V_2\)的任意兩個點u=(u1,u2)與v=(v1,v2),當(u1adjv1)或(u1=v1和u2adjv2)時，把u與v相連。如此得到的新圖稱為G1與G2的合成圖。記為
三、路與圖的連通性
3.1 途經、跡、路
-
G 的一條途徑（或通道或通路）是指一個有限非空序列：w= v0 e1 v1 e2 v2…ek vk，它的項交替地為頂點和邊，使得ei的端點是vi-1和vi.(1≤i≤k).
途徑中邊數稱為途徑的長度；v0,vk分別稱為途徑的起點與終點，其余頂點稱為途徑的內部點。
-
邊不重復的途徑稱為圖的一條跡。
-
頂點不重復的途徑稱為圖的一條路。
3.2 連通性
圖G中點u與v說是連通的，如果u與v間存在途徑。否則稱u與v不連通。容易知道：點的連通關系是等價關系。
3.3 連通圖與連通分支
(1) 如果圖G中任意兩點是連通的，稱G是連通圖，否則，稱G是非連通圖。
(2)非連通圖中每一個極大連通部分，稱為G的連通分支。G的連通分支的個數，稱為G的分支數，記為\(w(G)\)
3.4 圖的直徑與半徑
d (u, v) 圖中頂點u與v的距離：u與v間最短路的長度稱為u與v間距離。
直徑：定義為max d(u,v)，其中u，v是兩個頂點。也就是圖中距離最遠的兩個點。
ϵ(u) 頂點的離心率，對於任意一個頂點u，它的離心率定義為max d(u,v)
半徑：一個圖的半徑就是min ϵ(u) 其中u是頂點。
3.5 連通性性質
定理1：若圖G不連通，則其補圖連通。
定理2： 一個圖是偶圖當且當它不包含奇圈。
四、最短路及其算法
4.1 圖的代數表示及其特征
-
圖的鄰接矩陣
性質：
(1)非負性與對稱性。
(2) 同一圖的不同形式的鄰接矩陣是相似矩陣。
(3) 如果G為簡單圖，則A(G)為布爾矩陣;行和(列和)等於對應頂點的度數；矩陣元素總和為圖的總度數，也就是G的邊數的2倍。
(4) G連通的充分必要條件是：A(G)不能與如下矩陣相似：
\[\left( \matrix{ A_{11} & 0\\ 0 & A_{22}\\ } \right) \] (5) 定理1 設\(A^k(G)=(a_{ij}^{\quad(k)})\),則\(a_{ij}^{\quad(k)}\)表示頂點vi到頂點vj的途徑長度為k的途徑條數。
推論: (1)\(A^2\)的元素\(a_{ii}^{\quad(2)}\)是vi的度數，\(A^3\)的元素\(a_{ii}^{\quad(3)}\)是含vi的三角形個數的2倍。
-
圖的關聯矩陣
性質：
(1) 關聯矩陣的元素為0，1或2；
(2) 關聯矩陣的每列和為2；每行的和為對應頂點度數.
4.2 最短路算法
頂點標號法:
1959年，旦捷希(Dantjig）發現了在賦權圖中求由點a到點b的最短路好算法，稱為頂點標號法。
五 鄰接譜、鄰接代數與圖空間
1、鄰接譜
圖的鄰接矩陣A(G)的特征值及其重數，稱為G的鄰接譜。
完全圖Kn的鄰接譜為：
定義2 若兩個非同構的n階圖具有相同的譜，則稱它們是同譜圖。
定理1 設單圖A(G)的譜為：
則：
定理2 設λ是單圖G = (n, m)的任意特征值，則：
2、鄰接代數
定義3：設A是無環圖G的鄰接矩陣，則：
定理3（圖的鄰接代數的維數特征）：G為n階連通無環圖，則：
定理4：集合：
對於圖的對稱差運算和數乘運算：
來說作成數域 F = { 0, 1 }上的m維向量空間。
六、極圖
定義1 若簡單圖G的點集V有一個划分
且所有Vi非空，Vi內的點均不連通，則稱G是一個l部圖。
定義2 如果在一個l部圖G中，\(|V_i|=n_i\)，任何兩點$u\in V_i,v\in V_j,i\neq j $, i,j=1,2,…, l均鄰接，則稱G為完全l部圖。
定義3 如果在一個n個點的完全l部圖G中，
則稱G為n階完全l幾乎等部圖，記為Tl,n。|V1| = |V2| = … = |Vl | 的完全l幾乎等部圖稱為完全l等部圖。
定理19 連通偶圖的2部划分是唯一的。
定理20 n階完全偶圖\(K_{n1,n2}\)的邊數m = n1n2 條邊，且有\(m < \lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor\)
定理21 n階l部圖G有最多邊數的充要條件是\(G \cong T_{l,n}\)。
定義4 設G和H是兩個n階圖，若存在\(V(G)\)和\(V(H)\)的一個一一對應\(\mu\)，使對任何點\(v\in V(G)\)，有
則稱H的度序列優於G (簡稱H度優於G)，或G的度序列弱於H (簡稱G度弱於H)。
定理22 若n階簡單圖G不包含\(K_{l+1}\)，則G度弱於某個完全l部圖H。且若G具有與H相同的度序列，則\(G \cong H\)。
定理23 （Turán 托蘭定理）若G是簡單圖，並且不包含\(K_{l+1}\)，則邊數m(G)≤m(\(T_{l,n}\))。此外，僅當\(G=T_{l+1}\)時有\(m(G)=m(K_{l,n})\)。托蘭定理指出：不含\(K_{l+1}\)極值圖是完全l幾乎等部圖。
定理24 設A={x1, x2,…, xn}為任意一個直徑為1的平面點集，則A中距離大於\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)的點對的最大數目為\(\lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor\)。並且對每個n，存在直徑為1的點集A* = {x1, x2,…, xn}，它恰有\(\lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor\)個點對，其距離大於\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
總結：常用符號說明
n(G) 圖G的頂點數（或階數）
m(G) 圖G的邊數
d (v) 頂點v的度
d (u, v) 圖中頂點u與v的距離：u與v間最短路的長度稱為u與v間距離。
ϵ(u) 頂點的離心率，對於任意一個頂點u，它的離心率定義為max d(u,v)
δ(G) 表示圖G的最小度
Δ(G) 表示圖G的最大度
\(K_n\) 表示n階完全圖
\(K_{m,n}\) 表示完全二部圖
\(Q_n\) 表示n階超立方體
\(w(G)\) 表示G的分支數
\(G_1\cong G_2\) 表示\(G_1\) 與\(G_2\) 同構
\(T_{l,n}\) 表示n階完全l幾乎等部圖
總結：常用性質定理
1、握手定理：
圖G= (V, E)中所有頂點的度的和等於邊數m的2倍，即：
推論1：在任何圖中，奇點個數為偶數。
推論2：正則圖的階數和度數不同時為奇數 。
2、偶圖的判定定理
一個圖是偶圖當且當它不包含奇圈
3、“超立方體”采用積圖來遞歸構造方法
超立方體 是n度正則二部圖，頂點數為\(2^n\),邊數為\(n\times 2^{n-1}\)
每個n方體都有完美匹配（n大於等於1）
4、最短路算法（頂點標號法）
5、度序列判定
非負整數組(d1, d2,…., dn)是圖的度序列的充分必要條件是：∑di 為偶數
6、圖序列判定
定理4 非負整數組
是圖序列的充分必要條件是：
是圖序列。
π1是由π的刪除第一個元素d1之后的前d1個元素分別減一后得到的序列。
7、自補圖性質
自補圖的性質:（1）若n階圖G是自補的(即\(G\cong \overline{G}\)，則\(n=0,1(mod\quad4)\)
8、托蘭定理應用
定理24 設A={x1, x2,…, xn}為任意一個直徑為1的平面點集，則A中距離大於\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)的點對的最大數目為\(\lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor\)。並且對每個n，存在直徑為1的點集A* = {x1, x2,…, xn}，它恰有\(\lfloor \frac{n^2}{3} \rfloor\)個點對，其距離大於\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。
總結：一些結論
-
單圖一定存在度數相同的頂點
-
一個簡單圖G的n個點的度不能互不相同.
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一個n階圖G和它的補圖有相同的頻序列。
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\(n\)階完全偶圖\(K_{n1,n2}\)的邊數\(m=n_1n_2\)，且有\(m < \lfloor \frac{n^2}{4} \rfloor\)
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(1)兩個n階圖可能不存在度弱關系：如(1,2,2,7)與(3,1,4,6)就不存在度弱關系；(2)若G度弱於H，一定有\(m(G)<m(H)\),但是，反過來不一定
-
k正則二部圖（k正則偶圖）G的相關結論：
（1）若k≥2，則G無割邊
（2）存在完美匹配
（3）可1-因子化
-
偶圖相關結論
- 平面圖G的對偶圖G*也是平面圖，且G*的點數 = G的面數；G*的邊數 = G的邊數；G*的面數 = G的點數 (G連通)；d(vi*) = deg ( fi )
- 設G*是平面圖G的對偶圖，則G*必連通
- 假定G是平面圖，則(G*)* = G當且僅當G是連通圖
- 若G1≌G2，在一般條件下，只存在非同構的對偶圖G1*與G2*
- 偶圖的補圖是完美圖
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完全圖Kn相關結論
- 點色數為n
- 邊色數為：n（n為奇數時）；n-1（n為偶數時）
- 點連通度為n-1
- 邊連通度為n-1
- 是臨界圖
- 是唯一可着色圖
-
關聯矩陣
- 關聯矩陣的每列和為2
- 其行和為對應頂點的度數
-
完全圖Kn的鄰接譜為：