第三章 圖的連通性
一、割邊、割點和塊
(一)、割邊及其性質
定義1 邊e為圖G的一條割邊，如果 \(w(G-e)>w(G)\)
定理1 邊 e 是圖G的割邊當且僅當 e 不在G的任何圈中。
推論1 e為連通圖G的一條邊，如果e含於G的某圈中，則G-e連通。
(二)、割點及其性質
定義2 在G中，如果E(G)可以划分為兩個非空子集E1與E2,使 G[E1]和G[E2]以點v為公共頂點，稱v為G的一個割點。
定理2 G無環且非平凡，則v是G的割點，當且僅當
定理3 v 是樹T的頂點，則v是割點，當且僅當v是樹的分支點。
定理4 設v是無環連通圖G的一個頂點，則v是G的割點，當且僅當V(G-v)可以划分為兩個非空子集V1與V2,使得對任意x ∈V1, y ∈V2, 點v在每一條x y路上。
證明：
無環非平凡連通圖至少有兩個非割點。
恰有兩個非割點的連通單圖是一條路。
若v是單圖G的割點，則它不是G的補圖的割點。
若v是單圖G的割點，則它不是G的補圖的割點。
(三)、塊及其性質
定義3 沒有割點的連通圖稱為是一個塊圖，簡稱塊；G的一個子圖B稱為是G的一個塊，如果(1), 它本身是塊；(2), 若沒有真包含B的G的塊存在（極大性）。
定理5 若|V(G)|≧3,則G是塊，當且僅當G無環且任意兩頂點位於同一圈上。
(三)、塊割點樹
二、圖的連通度與敏格爾定理
1、點連通度與邊連通度的概念
定義1 給定連通圖G，設 \(V^`\subseteq V(G)\) ，若G -V' 不連通，稱V'為G的一個點割集，含有k個頂點的點割集稱為k頂點割。G中點數最少的頂點割稱為最小頂點割。
定義2 在G中，若存在頂點割，稱G的最小頂點割的頂點數稱為G的點連通度；否則稱n-1為其點連通度。G的點連通度記為k(G), 簡記為k。若G不連通，k(G)=0。
定義3 在G中，最小邊割集所含邊數稱為G的邊連通度。邊連通度記為λ(G) 。若G不連通或G是平凡圖，則定義λ(G) =0
定義4 在G中，若k (G)≧ k, 稱G是k連通的；若λ(G)≧k，稱G是k邊連通的。
2、連通度的性質
定理1 (惠特尼1932) 對任意圖G，有：
定理2 設G是(n, m)連通圖，則：
定理3 設G是(n, m)單圖，若
則G連通。
定理4 設G是(n, m)單圖，若對任意正整數k ,有：
則G是k連通的。
定理5 設G是n階單圖，若\(\delta (G) \geq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，則有
3、哈拉里圖
哈拉里圖:涉及可靠性通信網絡構建
1962年，數學家哈拉里構造了連通度是k,邊數為 \(m=\lfloor \frac{nk}{2} \rfloor\)的圖\(H_{k,n}\),稱為哈拉里圖。
(1) \(H_{2r,n}\)
(1) \(H_{2r+1,n}\) (n為偶數)
(1) \(H_{2r+1,n}\) (n為奇數)
4、描述連通性的其它參數簡介(內容拓展)
1、圖的堅韌度
2、圖的核度
三、圖的寬直徑簡介
(一)、敏格爾定理
敏格爾定理是圖的連通性問題的核心定理之一，它描述了圖的連通度與連通圖中不同點對間的不相交路的數目之間的關系。
定義1 設u與v是圖G的兩個不同頂點，S表示G的一個頂點子集或邊子集，如果u與v不在G-S的同一分支上，稱S分離u和v。
如果圖中兩條（x，y）路,此兩條路僅x和y是其公共點。稱這兩條路為內部不相交的或獨立的
設x與y是圖G中兩個不同點，稱一組點（邊）分離x與y是指G中刪去這組點（邊）后不再有（x，y）路。
定理1 (敏格爾1902---1985)
- 設x與y是圖G中的兩個不相鄰點，則G中分離點x與y的最少點數等於獨立的(x, y)路的最大數目；（點形式）
- 設x與y是圖G中的兩個不同頂點，則G中分離點x與y的最少邊數等於G中邊不重的(x, y)路的最大數目。（邊形式 ）
定理2 (惠特尼1932) 一個非平凡的圖G是k (k≧2)連通的，當且僅當G的任意兩個頂點u與v間，至少存在k條內點不交的(u ,v)路。
例題：
1、設G是k連通圖，S是由G中任意k個頂點構成的集合。若圖H是由G通過添加一個新點w以及連接w到S中所有頂點得到的新圖，求證：H是k連通的。
2、設G是k連通圖，u , v1,v2,…,vk為G中k+1個不同頂點。求證：G中有k條內點不交路(u ,vi) (1≦i≦k)
定理3 (惠特尼1932) 一個非平凡的圖G是k (k≧2)邊連通的，當且僅當G的任意兩個頂點間至少存在k條邊不重的(u ,v)路。
推論 對於一個階至少為3的無環圖G，下面三個命題等價。
(1) G是2連通的；
(2) G中任意兩點位於同一個圈上；
(3) G無孤立點，且任意兩條邊在同一個圈上。
(二)、圖的寬直徑相關概念
(三)、一些主要研究結果簡介
總結：常用符號
\(k(G)\) 表示圖G的點連通度
\(\lambda(G)\) 表示圖G的邊連通度
總結：常用性質定理
1、敏格爾定理
- 設x與y是圖G中的兩個不相鄰點，則G中分離點x與y的最少點數等於獨立的(x, y)路的最大數目；（點形式）
- 設x與y是圖G中的兩個不同頂點，則G中分離點x與y的最少邊數等於G中邊不重的(x, y)路的最大數目。（邊形式 ）
2、惠特尼定理
一個非平凡的圖G是k (k≧2)邊連通的，當且僅當G的任意兩個頂點間至少存在k條邊不重的(u ,v)路。
推論 對於一個階至少為3的無環圖G，下面三個命題等價。
(1) G是2連通的；
(2) G中任意兩點位於同一個圈上；
(3) G無孤立點，且任意兩條邊在同一個圈上。
3、割點割邊塊
- 邊 e 是圖G的割邊當且僅當 e 不在G的任何圈中。
- G無環且非平凡，則v是G的割點，當且僅當\(w(G-e)>w(G)\)
- 若|V(G)|≧3,則G是塊，當且僅當G無環且任意兩頂點位於同一圈上。
4、連通度性質
- 對任意圖G，有：\(k(G)\leq \lambda (G)\leq\delta (G)\)
- 設G是(n, m)連通圖，則：\(k(G) \leq \lfloor \frac{2m}{n} \rfloor\)
- 設G是(n, m)單圖，若 \(\delta (G) \geq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，則G連通。
- 設G是(n, m)單圖，若對任意正整數k ,有：\(\delta (G) \geq \frac{n+k-2}{2}\)， 則G是k連通的。
- 設G是n階單圖，若\(\delta (G) \geq \lfloor \frac{n}{2} \rfloor\)，則有\(\lambda(G)=\delta (G)\)
總結：一些結論
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有割邊的圖不一定有割點，比如K2
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有割點的圖不一定有割邊，比如8字形的圖
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割點至少屬於圖的兩個塊
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割邊不在圖的任意一個圈之中
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無環非平凡連通圖至少有兩個非割點。
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恰有兩個非割點的連通單圖是一條路。
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若v是單圖G的割點，則它不是G的補圖的割點。
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階數至少是3的連通圖中，圖的割點也是子圖的割點
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G為n階簡單圖，若δ(G) ≥n/2，則G連通且λ(G)=δ(G)
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非平凡樹不一定存在割點，但一定存在割邊，比如K2
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完全圖不一定沒有割邊，比如K2
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2連通圖一定沒有割邊
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若圖G是塊，則塊中不一定有圈，比如K2；塊中不一定無環，比如自環
塊的相關性質
- 僅有一條邊的塊，要么是割邊，要么是環
- 僅有一個點的塊，不是孤立點就是自環
- 至少兩個點的塊無環
- 階數至少為3的塊無割邊
- 階數至少為3的塊中的任意兩點都位於同一個圈上
- 階數至少為3的塊中的任意兩條邊都在同一個圈上