群論第三章（3）總結

1.1節 群的線性表示
1.標量函數變換算符
1）標量函數
2）標量函數變換算符 $P_R$、坐標變換R
3） 對稱變換群：
4）線性算符L(x)在標量函數進行變換時的的變換規律：
2.線性表示在量子理論中的意義
3.群的線性表示的定義
1）定義：矩陣群D(G) 與已知 群 G 同構或同態 （背）（特別記住同態時一對多，群G中的元素更多）， 則 矩陣群D(G) 稱為 群 G 的一 個 m 維線性表示 ， 簡稱表示。
2）線性表示的物理意義：
4）特征標
5）性質
1.2節 等價表示、表示的幺正性和可約表示
1.等價表示
1）表示空間：
4）兩表示等價的充要條件：每個元素在兩表示中的特征標對應相等（背）
2.表示的幺正性
3.可約表示
1）定義：若群G的表示D(G)的每一個表示矩陣D(R)都能通過同一相似變換X化成同一形式的階梯矩陣（左下角為零或右上角為零或左下角右上角都為零）
2）表示可約性的等價定義：表示空間存在非平庸不變子空間的表示稱為可約表示，否則稱為不可約表示
3）完全可約表示
5)尋找群的所有表示—>尋找所有不等價表示—>尋找所有不等價不可約表示
6)有限群的表示D(G)或者是不可約的，或者可以約化為一系列不可約表示 $D^{(j)}(G)$的直和：
1.3節 群代數和有限群的正則表示
1.群函數
2.群空間：群元素為基（自然基），其所有復線性組合構成的線性空間（背）
3.群代數：在群空間中定義矢量乘法，...，這樣的群空間稱為群代數
4.正則表示
1）群 G 的 正則表示
3）由群的乘法表求正則表示（左正則表示）的方法：
1.4節 有限群的表示理論
3）舒爾定理推論
3）正交定理（背）：設有限群的兩個不等價不可約幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空間中以群元素為基的一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值，即 $X=\underset{R}{\sum }{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一個矢量 $Y$的坐標類似地可以取為不可約表示 $D^j(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F‘(G)的g個函數值，即 $Y=\underset{S}{\sum }{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；這兩個矢量滿足正交關系：
5）正交定理的推論（所有這些推論都不需要加幺正兩個字。真的只需要背推論二和推論五）
6）將可約表示向不可約表示約化（背，特別是背這3個公式）：
7）找到一個群的所有不等價不可約表示的方法：
例題1：D3群
3.完備性定理（完備性定理及其推論3很重要，背：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數；有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數）
1）完備性定理：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2=g$
推論一：有限群不等價不可約幺正表示的矩陣元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作為群空間的矢量（一個 $i\mu \nu$對應一個矢量），構成群空間的正交完備基
推論二：有限群不等價不可約表示的特征標 ${\chi }^j(G)$ ，作為類空間的矢量（一個j對應一個矢量），構成類空間的正交完備基
1.5節 新表示的構成
1）定理一：商群的不可約表示也是原群的不可約表示
2）定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一維表示，則 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可約表示
2）定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一維表示，則 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可約表示
3）定理三：若有限群 $G$ 等於兩子群的直乘 $,G=H_1\otimes H_2$ , 則群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_1$ 和 $H_2$ 不等價不可約表示的直乘
2.分導表示和誘導表示
1）分導表示：知道了原群的不可約表示怎么知道子群的不可約表示
1.2節 有限群不可約表示的特征標表（老師說這一節“特征標表”一定會考，故這幾個例子一定要自己看看，但考試比我們講得更簡單，考試只是在特征標表中去掉幾個空，不用分析其不變子群，只需要根據每一行正交歸一，每一列正交歸一即可填空。作業題中沒有這樣的題，作業題中特征標那題不是填空，而且復雜，應該不考）
正交定理：
正交定理推論：
完備性定理：
特征標表

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1.1節 群的線性表示

1.標量函數變換算符

1）標量函數

2）標量函數變換算符 $P_R$、坐標變換R

（背）

3） 對稱變換群：

對稱變換群：一般地，線性算符群 $P_G$ 與群G並不嚴格區分，都稱為對稱變換群。

4）線性算符L(x)在標量函數進行變換時的的變換規律：

2.線性表示在量子理論中的意義

對稱變換：在與變換R對應的算符 $p_R$的作用下，哈密頓算符不變。設 $p_R$為對稱變換算符



故 也是哈密頓算符同一能級的本征函數，可以用這個m個線性無關的本征函數展開：

矩陣形式：

是基矢量！

矩陣群D(G)稱為群G的一個m維線性表示，它描寫了哈密頓量本征函數在對稱變換中的變換規律

3.群的線性表示的定義

1）定義：矩陣群D(G) 與已知 群 G 同構或同態 （背）（特別記住同態時一對多，群G中的元素更多）， 則 矩陣群D(G) 稱為 群 G 的一 個 m 維線性表示 ， 簡稱表示。

2）線性表示的物理意義：

（1）量子理論中，線性表示（即矩陣群D(G)）描寫不變函數空間中函數的變換規律。（背）
（2）線性表示描寫二維或三維空間點的坐標變換規律。（背）

4）特征標

共軛元素的特征標相同，即同類元素的特征標相同。（背）

5）性質

• 恆元的表示矩陣為單位矩陣：
• 互逆元素的表示矩陣互為逆矩陣：
• 真實表示 ：D(G) 與 G同構
• 非真實表示：D(G) 與 G同態
• 只要知道生成元的表示矩陣就可以求出矩陣群（背）
• 幺正表示：表示矩陣是幺正矩陣的表示
• 復共軛表示：將一表示的所有表示矩陣都取其復共軛矩陣
• 自共軛表示：特征標都是實數的表示
  自共軛表示D(G)的另一個定義：一個表示D(G)的表示矩陣都取復共軛后得到的復共軛表示與原來的表示D(G)等價，則稱表示D(G)為自共軛表示。
  
  
  以函數為基，求矩陣群：（背）
  
  5*只要知道生成元的表示矩陣就可以求出矩陣群，故可以得到矩陣群。
  特別記住2中應先求R的矩陣表示的逆（考試不要忘）

1.2節 等價表示、表示的幺正性和可約表示

1.等價表示

1）表示空間：

• 表示空間在量子理論中就是簡並的波函數基矢量 ${\psi }_{\mu }(x)$構成的不變函數空間。在三維空間的坐標變換中，算符就是R，基是 $e_x、e_y、e_z$，則表示空間就是三維空間。（背，重要，從而知道表示空間是什么）
• 表示空間基的選取並不唯一，當重新選取基后，新基取為原來的基的線性組合時， $P_R$的矩陣形式作相似變換，從而得到一個新的表示（背）
  原來的基 ${\psi }_v$，新基 ${\phi }_{\mu }$
  
  新的表示矩陣和原表示矩陣通過相似變換矩陣X聯系起來：
  等價表示：若（群G所有元素R）（在兩個表示 $D(G)$和 $\bar{D}(G)$中的表示矩陣）存在同一相似變換關系（背）

4）兩表示等價的充要條件：每個元素在兩表示中的特征標對應相等（背）

檢驗兩表示是否等價時，只需在每個類中選一個元素，檢驗它在兩表示中的特征標是否相等（背）

2.表示的幺正性

定理：有限群的線性表示會等價於幺正表示；兩個等價的幺正表示一定可以通過幺正的相似變換相聯系。

• 對有限群，只需要研究幺正表示和幺正的相似變換

3.可約表示

1）定義：若群G的表示D(G)的每一個表示矩陣D(R)都能通過同一相似變換X化成同一形式的階梯矩陣（左下角為零或右上角為零或左下角右上角都為零）

則此表示D(G)稱為可約表示，否則稱為不可約表示。

• 若設 $\bar{D}(R)=X^{-1}D(R)X$，則由前面等價表示的定義知， $\bar{D}(G)$與 $D(G)$是等價表示。
• 可約表示的表示空間 存 在 着 非平庸的不變子空間， 反之亦 然（背）

2）表示可約性的等價定義：表示空間存在非平庸不變子空間的表示稱為可約表示，否則稱為不可約表示

3）完全可約表示

如果D(G)的表示空間存在兩個互補的不變子空間

該表示D(G)稱為完全可約表示，表示的這種形式 $\bar{D}(G)$稱為已約表示。

• 完全可約表示的表示空間可寫為兩個互補的不變子空間的直和

5)尋找群的所有表示—>尋找所有不等價表示—>尋找所有不等價不可約表示

對於有限群來說，只需要研究不等價不可約幺正表示

6)有限群的表示D(G)或者是不可約的，或者可以約化為一系列不可約表示 $D^{(j)}(G)$的直和：

1.3節 群代數和有限群的正則表示

1.群函數

記作F(G)（注意G是群）
群函數：輸入一個群元素R，輸出一個東西，輸入另一個群元素S，又輸出一個東西。（背）

2.群空間：群元素為基（自然基），其所有復線性組合構成的線性空間（背）

群空間的一個矢量，如 $X=\underset{R\in G}{\sum }F(R)R$

• 一個矢量的坐標對應一個群函數F(G）的g個函數值。（背）
  • 群空間只有g個線性無關的矢量（背）。

3.群代數：在群空間中定義矢量乘法，...，這樣的群空間稱為群代數

4.正則表示

1）群 G 的 正則表示

• 把作為算符的S左乘到作為矢量基的R上 ，將得到的矢量用矢量基展開，展開系數排列成矩陣，構成算符S在矢量基R中的矩陣形式D(S)
  
• 群 G 的 正則表示：矩 陣 D(S) 的集合構成的矩陣群D(G) （背）
  D(G) 是與群 G 同構的群

3）由群的乘法表求正則表示（左正則表示）的方法：

根據乘法表和


就可以求出正則表示的表示矩陣；先求出生成元的表示矩陣，根據矩陣乘法就能求出正則表示的所有表示矩陣。（背，重要

1.4節 有限群的表示理論

3）舒爾定理推論

推論一：與不可約表示 $D(G)$ 的所有表示矩陣 $D(R)$ 都對易的矩陣必為常數 矩陣，即若 $D(R)X=XD(R),$ 則 $X=\lambda I,\lambda$ 為常數

3）正交定理（背）：設有限群的兩個不等價不可約幺正表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ ，群空間中以群元素為基的一個矢量 $X=\underset{R}{\sum }F(R)R$的坐標可以取為不可約表示 $D^i(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F(G)的g個函數值，即 $X=\underset{R}{\sum }{D}_{\mu \rho }^i(R)R$；另一個矢量 $Y$的坐標類似地可以取為不可約表示 $D^j(G)$ 的表示矩陣的某行某列的矩陣元這個群函數F‘(G)的g個函數值，即 $Y=\underset{S}{\sum }{D}_{\nu \lambda }^j(S)S$；這兩個矢量滿足正交關系：

$$⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{\mathit{R}}{\sum }{\mathit{D}}_{\mu \rho }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\mathit{D}}_{\nu \lambda }^j(\mathit{R})=\frac{g}{m_j}{\delta }_{ij}{\delta }_{\mu v}{\delta }_{\rho \lambda }$$

其中 $g$ 是群 $G$ 的階, $m_j$ 是表示 $D^j$ 的維數, 當 $i=j$ 時, $D^i(R)=D^j(R)$。
(1)可以去掉幺正性條件的限制：設有限群 $G$ 兩個不同的不等價不可約表示，其各自某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量互相正交。（背，與例題有關）
(2) 有限群 $G$同一不可約幺正表示，其 $m^2$ 個某行某列的矩陣元，作為群空間的矢量也互相正交，且它們的模方都等於群G的階數除以表示矩陣的維數，即 $g/m$，m是這個矢量所對應的不可約幺正表示的維數.（背，與例題有關）
注意這里不能去掉幺正性的限制。

5）正交定理的推論（所有這些推論都不需要加幺正兩個字。真的只需要背推論二和推論五）

• 推論二：有限群兩個不同的不等價不可約表示的特征標，作為群空間的矢量互相正交，滿足： $⟨\mathit{X}\mid \mathit{Y}⟩=\underset{R\in G}{\sum }{\chi }^i(\mathit{R}{)}^{\ast }{\chi }^j(\mathit{R})=g{\delta }_{ij}$（背）
• 推論五：判斷有限群表示為可約表示還是不可約表示的方法：有限群表示為不可約表示的充要條件是：特征標模方對群元素求和等於g： $\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
• 所有一維表示都是不可約的（背）

6）將可約表示向不可約表示約化（背，特別是背這3個公式）：

（1）根據
求出重數 $a_j$，對任何一個可約表示，相當於是知道了約化之后右邊的矩陣。
（2）根據
求出相似變換矩陣X（因為和已知）
（3）根據

求出荷載不可約表示的基。
因為是，而荷載是基，故有幾個是和有關的，稱這幾個荷載 $D^j(G)$。

7）找到一個群的所有不等價不可約表示的方法：

根據完備性定理一節得到的兩條：
（1）有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2=g$.
（2）有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數： $\underset{j}{\sum }1=g_c$.
可以求出低階群的不等價不可約表示。（背）

例題1：D3群

• 先求出表示矩陣，再寫出特征標表，
  
  
• 判斷是否可約：有限群表示為不可約表示的充要條件是 ：特征標模方對群元素求和等於g： $\underset{R\in G}{\sum }|\chi (\mathit{R}){|}^2=g$ .（背）
  
  不等於6，故是可約表示。
  也可以通過前面例題知，因為不等價不可約表示的個數等於類的個數，D3群有3個類，故它只有3個不可約表示，就是前面例題中的3個。故這個三維表示是可約表示。
• 可約表示向不可約表示約化：
  （1）根據
  求出重數 $a_j$，對任何一個可約表示，相當於是知道了約化之后右邊的矩陣。
  根據（注意是對群元素求和，而同類元素特征標相同）和特征標表可以計算出：
  對一維恆等表示，重數：
  對一維非恆等表示：
  對二維表示：

（2）根據
求出相似變換矩陣X（因為和已知）
可以寫出：

注意等式右邊先寫誰后寫誰沒有關系，也可以寫成，沒關系。只是因為這里D的表示矩陣
，故二維表示寫在左上角，一維表示寫在右下角時計算更簡單。
根據前面例題已經求出的一維非恆等表示和二維表示，知：
對元素D：
對元素A：
根據以上兩個公式可以解得

（3）根據

求出荷載不可約表示的基。
因為是，而荷載是基，故有幾個是和有關的，稱這幾個荷載 $D^j(G)$。

根據表示的計算過程：（這里R就相當於 $P_R$)知，荷載之前的可約表示的基 ${\psi }_{\mu }$為 $e_x、e_y、e_z$，根據求出，從而知道荷載二維表示的是 ${\varphi }_1$、 ${\varphi }_2$，荷載一維非恆等表示的是 ${\varphi }_3=e_z$。

3.完備性定理（完備性定理及其推論3很重要，背：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數；有限群不等價不可約表示的個數等於群的類數）

1）完備性定理：有限群不等價不可約表示維數的平方和等於群的階數： $\underset{j}{\sum }{m}_j^2=g$

推論一：有限群不等價不可約幺正表示的矩陣元素 $D_{\mu \nu }^i(G)$ , 作為群空間的矢量（一個 $i\mu \nu$對應一個矢量），構成群空間的正交完備基

完備性定理的數學描述
（背）
正交定理
（背）

推論二：有限群不等價不可約表示的特征標 ${\chi }^j(G)$ ，作為類空間的矢量（一個j對應一個矢量），構成類空間的正交完備基

類空間正交完備基 ${\chi }^j(G)$ 完備性的數學描述
（背）
正交定理推論二
（背）

1.5節 新表示的構成

1）定理一：商群的不可約表示也是原群的不可約表示

2）定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一維表示，則 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可約表示

2）定理二：有限群 $G$ 的兩不可約表示 $D^i(G)$ 和 $D^j(G)$ 的直乘 $D(G)=D^i(G)\otimes D^j(G)$ 仍是群 $G$ 的表示; 若 $D^i(G)$ 是一維表示，則 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可約表示

3）定理三：若有限群 $G$ 等於兩子群的直乘 $,G=H_1\otimes H_2$ , 則群 $G$ 的不等價不可約表示都可表示為兩子群 $H_1$ 和 $H_2$ 不等價不可約表示的直乘

C6群是（一個C2，一個C3）的直乘，比如V4群是（兩個C2）的直乘

定理二說的是，同一個群有兩個表示，將這兩個表示直乘起來，即對於群的每一個元素，將其對應的表示矩陣直乘。若參與直乘的表示有一個是一維的，則 $D(G)$ 是群 $G$ 的不可約表示。
定理三說的是，一個群是兩個子群的直乘群，則它的不等價不可約表示都可表示為兩子群不等價不可約表示的直乘。

2.分導表示和誘導表示

1）分導表示：知道了原群的不可約表示怎么知道子群的不可約表示

把群 $G$ 的不可約表示 $D^{\mathrm{\prime }}(G)$ 中與子群 $H$ 元素有關的表示矩陣挑出來, 構成子群 $H$ 的一個表示，這個表示稱為群 $G$ 的不可約表示 $D^j(G)$ 關於子群 $H$ 的分導表示，記為 $D^i(H)$。
分導表示一般是可約的，可按子群 $H$ 的不可約表示 ${\bar{D}}^k(H)$ 約化：

1.2節 有限群不可約表示的特征標表（老師說這一節“特征標表”一定會考，故這幾個例子一定要自己看看，但考試比我們講得更簡單，考試只是在特征標表中去掉幾個空，不用分析其不變子群，只需要根據每一行正交歸一，每一列正交歸一即可填空。作業題中沒有這樣的題，作業題中特征標那題不是填空，而且復雜，應該不考）

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正交定理：

正交定理推論：

完備性定理：

老師說所見到群的表示都可以這樣求出。

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特征標表

行的正交關系 $:\underset{\alpha =1}{\overset{g_c}{\sum }}\frac{n(\alpha )}{g}{\chi }_{\alpha }^{i\ast }{\chi }_{\alpha }^j={\delta }_{ij}$
（正交性，注意其中有復共軛）
列的正交關系 $:\underset{j}{\sum }\frac{n(\alpha )}{g}{\chi }_{\alpha }^{j^{\ast }}{\chi }_{\beta }^j={\delta }_{\alpha \beta }$
（完備性，注意其中有復共軛）

來自為知筆記(Wiz)