向量:
- n個數a1,...an組成的有序數組叫做向量
向量的線性關系
- 線性組合: β, α1, α2, ...αn是m維向量
- 若存在k1, k2...kn使: β=k1α1 + k2α2 + ... + knαn,則β是α向量組的線性組合(線性表示), k為線性系數
- 零向量可由任意向量組表示, 線性系數為0即可
- 向量組中任以向量可由向量組表示
- 任意向量可由ξ1 = (1,0,0...0), ξ2 = (0,1,0...0), ...ξn = (0,0,0,...1)表示 (方程組有解,才可以表示)
- 向量組的等價
- α1, α2, ...αm, β1...βn同維
- 相互表示: {α1...αn}≡{β1...β2}
- 反射性: {α1...αn}≡{α1...αn}
- 對稱性:
線性相關與線性無關
- α1,...αn是n(個數)個m(維度)維向量, 若存在一組不全為0的k1,...kn, 使得k1α1 + k2α2 + ... + knαn = 0, 則說明α1...αn是線性相關的
- 線性無關:
- 不是相關
- 找不到一組不全為0的k1, k2,...kn使相關成立
- 相關成立, k1,...kn必全為0
- 向量組中兩向量成比例, 向量組線性相關
- 含有0向量的向量組必線性相關
- 只有含有一個0向量的向量組必線性相關
- 一個非零向量必無關
- 一個向量α線性相關的充要條件: α=0
- α1...αr相關, α1...αr.αr+1...αs相關(部分向量組線性相關, 整體向量組線性相關) (整體組無關,部分組無關)
- 線性無關向量組的接長向量組也無關'
- 線性相關的向量組, 截短向量組也相關
- n個n維向量(向量的個數=向量的維數)組成的行列式D≠0, 則這線性無關, D=0, 線性相關
- 將線性向量組是相關還是無關, 轉化成線性方程組的解
- 相關↔非零解
- 無關↔只有零解
- 定理1: α1...αs線性相關↔至少一個向量可由其余向量表示
- 定理2: α1...αs線性無關, α1...αs, β線性無關, β可由α1...αs唯一表示
- 定理3: α1...αs無關, 可由β1...βt表示, 則s≤t
- 定理4: m>n, m個n維向量線性相關(n+1個n維向量線性相關)
- 推論: 兩個等價的線性無關組含向量的個數是相同的
向量組的秩
- 極大線性無關組: α1,α2,...αs的部分組α1,α2則稱為極大線性無關組
- α1, α2無關
- 每個向量均可由α1, α2表示
- 向量組的秩: 極大無關組含向量的個數r(α1,α2,...αs)
- 0 ≤ r(α1...αs)≤min{向量組個數, 維數}
- α1...αs無關 ↔ r=s
- α1...αs相關 ↔ r<s
- 定理: α1...αs可由β1...βt表示, r(α1...αs)≤r(β1..βt)
行秩與列秩
- 定理: 矩陣的行秩=列秩=矩陣的秩r(A)
- 初等行變換不改變矩陣列向量的線性關系
- 求極大線性相關:
- 不管原向量是行或列, 均按列構成矩陣
- 只對行進行化簡行
- 首非零元素所在列, 左極大無關組
- 其余向量表示直接寫出來