算法第三章作業
如果一個問題可以用動態規划算法解決，則總是可以在多項式時間內解決的。
T F
1-2
最優二叉搜索樹的根結點一定存放的是搜索概率最高的那個關鍵字。
F
1-3
用動態規划而非遞歸的方法去解決問題時，關鍵是將子問題的計算結果保存起來，使得每個不同的子問題只需要被計算一次。子問題的解可以被保存在數組或哈希散列表中。
T
D、在動態規划中，我們要推導出一個子問題的解與其他子問題解的遞推關系。要將這種關系轉換為自底向上的動態規划算法，我們需要以正確的順序填寫子問題解的表格，使得在解任一子問題時，所有它需要的子問題都已經被解決了。在下列關系式中，哪一個是不可能被計算的？ (2分)
A(i,j)=min(A(i−1,j),A(i,j−1),A(i−1,j−1))
A(i,j)=F(A(min{i,j}−1,min{i,j}−1),A(max{i,j}−1,max{i,j}−1))
A(i,j)=F(A(i,j−1),A(i−1,j−1),A(i−1,j+1))
A(i,j)=F(A(i−2,j−2),A(i+2,j+2))
2-2
C、給定遞推方程 f
i,j,k
=f
i,j+1,k
+min
0≤l≤k
{f
i−1,j,l
+w
j,l
}。
D、要通過循環解此方程，我們一定不能用下列哪種方法填表？ (2分)
for k in 0 to n: for i in 0 to n: for j in n to 0
for i in 0 to n: for j in 0 to n: for k in 0 to n
for i in 0 to n: for j in n to 0: for k in n to 0
for i in 0 to n: for j in n to 0: for k in 0 to n
2-3
切原木問題：給定一根長度為N米的原木；另有一個分段價格表，給出長度L=1,2,⋯,M對應的價格P
L
。要求你找出適當切割原木分段出售所能獲得的最大收益R
N
。例如，根據下面給出的價格表，若要出售一段8米長的原木，最優解是將其切割為2米和6米的兩段，這樣可以獲得最大收益R
8
=P
2
+P
6
=5+17=22。而若要出售一段3米長的原木，最優解是根本不要切割，直接售出。
Length L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Price P
L
1 5 8 9 10 17 17 20 23 28
下列哪句陳述是錯的？(3分)
此問題可以用動態規划求解
若N≤M，則有R
N
=max{P
N
,max
1≤i<N
{R
i
+R
N−i
}}
若N>M，則有R
N
=max
1≤i<N
{Ri+RN−M }算法的時間復雜度是O(N2 )
單調遞增最長子序列
設計一個O(n2)時間的算法，找出由n個數組成的序列的最長單調遞增子序列。
#include <iostream>
using namespace std;
int dl(int a[], int b[],int n) {
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++)
{
if (a[j] < a[i]&& b[j]>b[i] - 1) {
b[i] = b[j] + 1;
}
}
}
int t = b[1];
for (int k = 0; k < n; k++)
{
if (b[k] > t) {
t = b[k];
}
}
return t;
}
int main() {
int n;
cin >> n;
int *a = new int[n];
int *b = new int[n]();//置為0；
for (int i = 0; i < n; i++) {
b[i]++;
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> a[i];
}
cout << dl(a, b, n);
system("pause");
}
租用游艇問題 （17 分）
題目來源：王曉東，《算法設計與分析》
長江游艇俱樂部在長江上設置了n個游艇出租站1，2，…，n。游客可在這些游艇出租站租用游艇，並在下游的任何一個游艇出租站歸還游艇。游艇出租站i到游艇出租站j之間的租金為r(i,j),1<=i<j<=n。試設計一個算法，計算出從游艇出租站1 到游艇出租站n所需的最少租金。
#include <iostream>
int dp[100][100];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
scanf("%d",&dp[i][j]);
}
}
for(int k=2;k<n;k++)
{
for(int i=1;i<=n-k;i++)
{
int j=i+k;
for(int z=i+1;z<=j;z++)
{
int temp=dp[i][z]+dp[z][j];
if(dp[i][j]>temp)
dp[i][j]=temp;
}
}
}
printf("%d\n",dp[1][n]);
return 0;
}