第四章 歐拉圖與哈密爾頓圖
(一)、歐拉圖及其性質
(1)、問題背景---歐拉與哥尼斯堡七橋問題
問題：對於圖G，它在什么條件下滿足從某點出發，經過每條邊一次且僅一次，可以回到出發點？
注：一筆畫----中國古老的民間游戲（存在歐拉跡）
要求：對於一個圖G, 筆不離紙, 一筆畫成.
拓展：三筆畫：在原圖上添加三筆，可使其變為歐拉圖。
定義1 對於連通圖G，如果G中存在經過每條邊的閉跡，則稱G為歐拉圖，簡稱G為E圖。歐拉閉跡又稱為歐拉環游，或歐拉回路。
定理1 下列陳述對於非平凡連通圖G是等價的：
(1) G是歐拉圖；
(2) G的頂點度數為偶數；
(3) G的邊集合能划分為圈。
推論1 連通圖G是歐拉圖當且僅當G的頂點度數為偶。
推論2 連通非歐拉圖G存在歐拉跡當且僅當G中只有兩個頂點度數為奇數。
證明：若G和H是歐拉圖，則\(G\times H\)是歐拉圖。
若G是非平凡的歐拉圖，則G的每個塊也是歐拉圖。
(二)、Fleury算法(歐拉圖中求出一條具體歐拉環游的方法)
方法是盡可能避割邊行走
(三)、中國郵路問題（最優歐拉環游，管梅谷）
定理2 若W是包含圖G的每條邊至少一次的閉途徑，則W具有最小權值當且僅當下列兩個條件被滿足：
(1) G的每條邊在W中最多重復一次；
(2) 對於G的每個圈上的邊來說，在W中重復的邊的總權值不超過該圈非重復邊總權值。
(四)、哈密爾頓圖的概念
定義1 ： 如果經過圖G的每個頂點恰好一次后能夠回到出發點，稱這樣的圖為哈密爾頓圖，簡稱H圖。所經過的閉途徑是G的一個生成圈，稱為G的哈密爾頓圈。
定義2: 如果存在經過G的每個頂點恰好一次的路，稱該路為G的哈密爾頓路，簡稱H路。
(五)、哈密爾頓圖性質與判定
1、性質定理【必要條件】；
定理1 (必要條件) 若G為H圖，則對V(G)的任一非空頂點子集S，有：
注：不等式為G是H圖的必要條件，即不等式不滿足時，可斷定對應圖是非H、圖。滿足定理1不等式的圖不一定是H圖。
著名的彼德森圖是非H圖
若連通圖G不是2-連通的，則G不是哈密爾頓圖
2、狄拉克定理【充分條件】；
定理2 (充分條件) 對於n≧3的單圖G，如果G中有： \(\delta(G) \geq \frac{n}{2}\) ,則G是H圖.
3、奧爾定理【充分條件】；
定理3 (充分條件) 對於n≧3的單圖G，如果G中的任意兩個不相鄰頂點u與v，有：
那么，G是H圖。
4、邦迪定理（閉包定理）【充分必要條件】；
定義3 在n階單圖中，若對d (u) + d (v) ≧n 的任意一對頂點u與v，均有u adj v , 則稱G是閉圖。
引理1 若G1和G2是同一個點集V的兩個閉圖，則G = G1∩G2是閉圖。
注：G1與G2都是閉圖，它們的並不一定是閉圖。
定義4 如果\(\overline{G}\)是包含G的極小閉圖，則其是圖G的閉包
圖的閉包的構造方法：將圖中度數之和至少是圖的頂點個數的非鄰接頂點對遞歸地連接起來，直到不再有這樣的頂點對存在時為止。
引理2 圖G的閉包是唯一的
引理3 對於單圖G，如果G中有兩個不相鄰頂點u與v，滿足：
那么G是H圖當且僅當G + uv是H圖 。
定理4(幫迪——閉包定理) 圖G是H圖當且僅當它的閉包是H圖。【引理3證】
說明：1、對於一個具體的圖，我們可以作出其閉包，若能夠斷定閉包是H圖，則原圖為H圖。否則，定理失效！【太麻煩】
2、如果對滿足一定條件的圖G，能夠從邏輯上說明其閉包是H圖，則可以斷定G是H圖【掌握一點，看下面的例子】。
推論1：設G是n≧3的單圖，若G的閉包是完全圖，則G是H圖。
5、邦迪-沙瓦達定理（度序列判定法）【充分條件】。
定理5(Chvátal——度序列判定法) 設簡單圖G的度序列是(d1,d2,…,dn), 這里，d1≦d2≦…≦dn,並且n≧3.若對任意的m<n/2,或有 dm>m,或有dn-m ≧ n-m,則G是H圖。【可以證明，滿足條件的圖的閉包是完全圖】
6、 范定理
若連通圖中每對距離為2的點中有一點的度數至少是圖的點數的一半，則該圖是哈密爾頓圖。
7、邊數判定法
設G是n階簡單圖。若n≥3且\(|E(G)>\left( \matrix{{n-1}\\2}\right)+1\)則G是H圖；並且具有n個頂點條\(\left( \matrix{{n-1}\\ 2} \right)+1\)邊的非H圖只有\(C_{1,n}\)以及\(C_{2,5}\)
(六)、非哈密爾頓圖與TSP問題
一、非哈密爾頓圖特征
定義1 圖G稱為度極大非H圖，如果它的度不弱於其它非H圖。
定義2 對於\(1\leq m \leq \frac{n}{2}\), \(C_{m,n}\) 圖定義為：
引理1 對於\(1\leq m \leq \frac{n}{2}\), \(C_{m,n}\) 圖是非H圖。
定理1 (Chvátal,1972) 若G是n≧3的非H單圖，則G度弱於某個\(C_{m,n}\)圖。(性質)
注： (1) 定理1刻畫了非H單圖的特征：從度序列角度看，\(C_{m,n}\) 圖族中某個圖是某個n階非H單圖的極圖。
(2) \(C_{m,n}\) 圖族中的圖是度極大非哈密爾頓簡單圖。
(3) 定理1的逆不能成立！但有結論：n(≥3)階單圖若度優於C m, n 圖族中所有圖，則G是H圖。
推論（邊數判定法！） 設G是n階單圖。若n≧3且\(|E(G)> \left( \begin{array}{c} {n-1} \\2 \end{array} \right)+1|\)，則G是H圖。並且，具有n個頂點 \(\left( \matrix{{n-1}\\2}\right)+1\) 條邊的非H圖只有\(C_{1,n}\)以及\(C_{2,5}\).
二、TSP問題(旅行售貨員問題)
在賦權圖中求最小H圈是NP—難問題。理論上也已經證明：不存在多項式時間近似算法，使相對誤差小於或等於某個固定的常數ε,即便是ε=1000也是如此。
(一)、邊交換技術【賦權完全圖中】
注：為了得到進一步的優解，可以從幾個不同的初始圈開始，通過邊交換技術得到幾個近似最優解，然后從中選取一個近似解。
(二)、賦權完全圖中最優H圈下界估計
(七)、超哈密爾頓圖與超可跡圖問題
(一)、超H圖與超可跡圖【訓練邏輯演繹】
定義1 若圖G是非H圖，但對於G中任意點v,都有G-v是H圖，則稱G是超H圖。
定理1 彼得森圖是超H圖。
定義2 若G中沒有H路，但是對G中任意點v，G-v存在H路，則稱G是超可跡的。
1、加萊猜想：不存在超可跡的圖。 錯誤
2、泰特猜想：任何3連通3正則可平面圖是H圖。 錯誤
3、納什—威廉斯猜想：每個4連通4正則圖是H圖。 錯誤
4、托特猜想：每個3連通3正則偶圖是H圖。 錯誤
5、普魯默猜想：每個2連通圖的平方是H圖。 正確
定義：圖G的平方\(G^2\)是這樣的圖:
1.1 H圖中H圈的計數問題。
定理：每個3正則H圖至少有3個生成圈。
(二)、E圖和H圖的關系
1、線圖概念
定義3 設G是圖，G的線圖L(G)定義為：
2、線圖的性質
(1) 線圖L(G)頂點數等於G的邊數；若e=u v是G的邊，則e作為L(G)的頂點度數為：d(e)=d(u)+d(v)-2 .
(2) 若G=(n, m), 則線圖L(G) 邊數為：
(3) 一個圖同構於它的線圖，當且僅當它是圈。
(4) 若圖G和G1有同構的線圖，則除了一個是K3而另一個是\(K_{1,3}\)外，G和G1同構。
3、從線圖的角度考察E圖與H圖的關系
定義4 稱\(S_n(G)\)是圖G的n次細分圖，是指將G的每條邊中都插入n個2度頂點。又記：
定理3 (1)若G是E圖，則L(G) 既是E圖又是H圖。
(2)若G是H圖，則L(G)是H圖。
定理4 一個圖G 是E圖的充要條件是\(L_3(G)\)為H圖
定理5 （Chartarand）若G 是n個點的非平凡連通圖，且不是一條路，則對所有\(m \geq n-3\)，\(L^m(G)\)是H圖。
總結：常用符號
\(C_{m,n}\) 一種度極大非H圖族
\(S_n(G)\) 是圖G的n次細分圖,是指將G的每條邊中都插入n個2度頂點。
\(L(G)\) G的線圖
總結：常用性質定理
1、歐拉圖及其性質
-
連通圖G是歐拉圖當且僅當G的頂點度數為偶。
-
連通非歐拉圖G存在歐拉跡當且僅當G中只有兩個頂點度數為奇數。
2、最優歐拉環游
如果一個非負權的邊賦權圖G中只有兩個奇度頂點u與y，求其最優歐拉環游的算法。
（1）、在u與v間求出一條最短路P；（最短路算法）
（2）、在最短路P上，給每條邊添加一條平行邊得G的歐拉母圖G；
（3）、在G的歐拉母圖G中用Fleury算法求出一條歐拉環游。
3、哈密爾頓圖性質與判定
1、性質定理【必要條件】:若G為H圖，則對V(G)的任一非空頂點子集S，有：\(w(G-S)\leq | S|\)
2、狄拉克定理【充分條件】:對於n≧3的單圖G，如果G中有： \(\delta(G) \geq \frac{n}{2}\) ,則G是H圖.
3、奧爾定理【充分條件】:對於n≧3的單圖G，如果G中的任意兩個不相鄰頂點u與v，有：\(d(u) + d(v) \geq n\)，那么，G是H圖。
4、邦迪定理（閉包定理）【充分必要條件】:圖G是H圖當且僅當它的閉包是H圖
5、邦迪-沙瓦達定理（度序列判定法）【充分條件】:設簡單圖G的度序列是(d1,d2,…,dn), 這里，d1≦d2≦…≦dn,並且n≧3.若對任意的m<n/2,或有 dm>m,或有dn-m ≧ n-m,則G是H圖
7、邊數判定法:設G是n階簡單圖。若n≥3且\(|E(G)>\left( \matrix{{n-1}\\2}\right)+1\)則G是H圖；並且具有n個頂點條\(\left( \matrix{{n-1}\\2}\right)+1\)邊的非H圖只有\(C_{1,n}\)以及\(C_{2,5}\)
總結：一些結論
- 著名的彼德森圖是非H圖
- 若連通圖G不是2-連通的，則G不是哈密爾頓圖
- G為n階簡單圖，若任意兩個頂點存在d(u)+d(v)大於等於n-1，則該圖G存在H路
歐拉圖相關等價命題：
- 每個點的度為偶數
- 是連通圖
- 邊集可以划分為邊不重的圈的並
歐拉圖的相關結論：
- 一定是連通圖
- 歐拉圖不一定沒有割點，比如8字形的圖
- 歐拉圖一定沒有割邊
- 非平凡的歐拉圖中一定有圈
- 至少具有兩個點的無環歐拉圖一定是2邊連通的
彼得森圖
，其相關結論有：
- 點連通度為3，邊連通度為3
- 是一個3正則圖
- 點色數為3，邊色數為4
- 半徑與直徑均為2
- 不是H圖（刪去任意頂點后為H圖）
- 是不可平面圖
- 存在完美匹配
- 雖然該圖無割邊，但也不可1-因子分解（3正則圖有割邊，不能1-因子分解）
- 是一個1-因子和一個2-因子的並
歐拉跡相關結論：
- 連通圖存在歐拉跡當且僅當G最多有兩個奇度頂點
- 有向圖中存在歐拉跡，當且僅當D連通且除了兩個點外，每個點出度與入度相等。而這兩個點中，一個點入度比出度大1，另一個點出度比入度大1
H圖相關結論：（舉反例想到長度為５的圈）
- 一定沒有割邊
- 不一定沒有割點，比如H圖+自環（也是H圖，而自環讓該點成為了割點）
- 一個簡單圖是H圖當且僅當它的閉包是H圖
- G是n≥3的簡單圖，若G的閉包是完全圖，則G是H圖
- 若G是階數至少為3的簡單圖，其中任何兩個不鄰接的點u和v均有d(u)+d(v)≥n，則 G是H圖
- 若G是階數至少為3的簡單圖，若G中每個點的度d(v)≥n/2，則G是H圖
- 圖G的閉包是Kn，則G是H圖
- G為階數至少為3的非H的簡單圖，G度弱於某個Cm,n圖（度極大的H圖）
- H圖不一定是完全圖，比如長度為5的圈
- G為階數至少為3的H簡單圖，若n為奇數，則G一定不是偶圖