同濟大學《線性代數》第四章知識點-復習用

第四章 向量組的線性相關性

&1 線性方程組的解的判定

1. 對於 非齊次 線性方程組例題引入：

• 總結：

划重點：系數矩陣的 秩 要 小於 未知數的個數n 才能有無數多解

2. 對於 齊次 線性方程組

&2 線性方程組的求解

1.復習一下克拉默法則

  * 定義：如果系數矩陣A的行列式不等於0，|A|！=0，那么根據克拉默法則，方程組有唯一解。

2.例題1當只有一個參數時：

3. 例題2當有2個參數時：

&3 向量組的線性表示與等價

n元向量及向量組

5

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&4 向量組的秩和極大無關組

例題1：

R(A)=2原因如下圖：

例題2

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例題3

求解極大無關組，並用其表示其他向量的方法

1. 由列向量組構造矩陣A
2. 用初等行變換化矩陣為行最簡形
3. 選取行最簡行矩陣中每一行首非零元所在的列向量，對應在原矩陣A中的列向量即為所求的極大無關組

&5 齊次線性方程組的解的性質

性質如下：

例題1

例題2

R(S) = n - R(A) ,Ax=0的全體解向量構成的集合記作S，則S為(解)向量組，R（S）的值=1，即Ax=0的任何一個非零解即為它的基礎解系

所以Ax=0的通解是k1$1+k2$2,即D答案
Ax=0的基礎解系中所含向量的個數（即Ax=0解集S的秩）為 n - r ,其中n是未知數的個數，r是A的秩

例題3

&6 非齊次線性方程組解的性質

&7 非齊次線性方程組的解的結構

例題1

例題2

1. 由性質一：n1，n2是Ax=b的解，則n1-n2是對應的齊次線性方程的解，所以本題把，n1和n2+n3化成2*n1-(n2+n3)=(n1-n2)+(n1-n3)，則該式是齊次線性方程Ax=0的解
2. 由性質二：x=n是Ax=b的解，x=$是方程Ax=0的解，則x=n+$是方程Ax=b的解。
   

例題3

小結

例題：