電子科技大學研究生試卷
課程名稱 圖論及其應用
教師 學時 60 學分 3
教學方式 堂上授課
考核日期 2017年_6月11日
一．填空題(每空5分，共25分)
1.圖1中頂點a到頂點b的距離d（a，b）=________________________(11)
2.已知圖G的鄰接矩陣
，則G中長度為2的途徑總條數為____________。(30)
3.圖2中最小生成樹T的權值W（T）=________________。(34)
4.圖3的最優歐拉環游的權值為_____________.（38）
5.樹葉帶權分別為1，2，4，5，6，8的最優二元樹權值為w（T）=______________________。（62）
二．單項選擇(每題3分，共15分)
1，關於圖的度序列，下列說法正確的是（）.（C）
（A）對任意一個非負整數序列來說，它都是某圖的度序列；
（B）如果非負整數序列\(\pi=(d_1,d_2,...,d_n)\)滿足
為偶數，則它一定是圖序列；
（C）若圖G度弱於圖H，則圖G的邊數小於等於圖H的邊數；
（D）.如果圖G的頂點總度數大於或等於圖H的頂點總度數，則圖G度優於圖H。
2，關於圖的割點與割邊，下列說法正確的是（）.D
（A）有割邊的圖一定有割點；
（B）有割點的圖一定有割邊；
（C）有割邊的簡單圖一定有割點；
（D）割邊不在圖的任一圈中。
3設\(k(G),\lambda(G),\delta(G)\)分別表示圖G的點連通度，邊連通度和最小度。下面說法錯誤的是（）D
（A）存在圖G，使得\(k(G)=\lambda(G)=\delta(G)\)
（B）存在圖G，使得\(k(G)<\lambda(G)<\delta(G)\)
（C）設G是n階簡單圖，若
,則G連通，且\(\lambda(G)=\delta(G)\).
（D）圖G是k連通的，則G的連通度為k。
4.關於哈密爾頓圖，下列命題錯誤的是( )B
(A) 彼得森圖是非哈密爾頓圖；
(B) 若圖G的閉包是哈密爾頓圖，則其閉包一定是完全圖；
(C) 若圖G的閉包是完全圖，則圖G是哈密爾頓圖；
(D) 設G是三階以上簡單圖，若G中任意兩個不鄰接點u與v，滿足
，則G是哈密爾頓圖。
5.下列說法錯誤的是( )A
(A) 有完美匹配的三正則圖一定沒有割邊；
(B) 沒有割邊的三正則圖一定存在完美匹配；
(C) 任意一個具有哈密爾頓圈的三正則圖可以1因子分解；
(D) 完全圖\(K_{2n+1}\)是n個哈密爾頓圈的和。
三、 (10分) 設無向圖G有10條邊，3度與4度頂點各2個，其余頂點的度數均小於3，問G中至少有幾個頂點？在最少頂點數的情況下，寫出G的度序列，該度序列是一個圖序列嗎？。
解：要使得G中頂點數最少，度數小於3的頂點度數必須取2.
設度數為2的頂點個數為\(x\)，由握手定理：
\(3\times2+4\times2+2x=20\)，解得：\(x=3\)
所以，G中至少頂點個數為7.
G的度序列\(\pi=(4,4,3,3,2,2,2)\)
由於\(\pi_1=(3,2,2,2,2,1),\pi_2=(2,1,1,1,1)\)
所以，度序列為圖序列。
四、 (6分) 求完全圖\(K_n\)的鄰接譜。
解：完全圖\(K_n\)的鄰接矩陣為
五，(6分) 求證：一棵非平凡樹至少有兩片樹葉。
證明 設P=v1v2…vk是非平凡樹T中一條最長路，則v1與vk在T中的鄰接點只能有一個，否則，要么推出P不是最長路，要么推出T中存在圈，這都是矛盾！即說明v1與v2是樹葉。
六，(6分) 求證對於
的圖
是非哈密爾頓圖。
證明：取S=V(km),則ω(G-S)=m+1>|S|=m,所以，由H圖的性質知，G是非H圖。
七.(6分)求證：設\(l\)是賦權完全偶圖G的可行頂點標號，如果其相等子圖存\(G_l\)在完美匹配\(M^*\)，則\(M^*\)是G的最優匹配。
證明：設M*是\(G_l\)的完美匹配，則：
又設M是G的任一完美匹配，則
所以，w (M*)≥w (M)。即M*是G的最優匹配。
八.(6分) 設簡單可平面圖G有10個4度頂點和8個5度頂點，其余頂點度數均為7。求7度頂點的最大可能數量。
解:設7度頂點有\(x\)個。
一方面，由握手定理：\(4\times10+5\times8+7x=2m\)
即：\(m=40+3.5x\)
另一方面：由於圖G是可平面簡單圖，因此：\(m\leq3n-6=3(10+8+x)-6=48+3x\)
解得：\(x\leq16\)
即7度頂點的最大可能數量為16.
九．(10分)求下圖G的色多項式\(p_k(G)\).並求出點色數。
解：做出\(\overline G\):
\(p_k(G)=(x+x^2)(2x^2+x^3)=x^5+2x^4+2x^3=k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4)+2k(k-1)(k-2)(k-3)+2k(k-1)(k-2)\)
\(p_1(G)=0,p_2(G)=0,p_3(G)=12\)
所以點色數為3
十.(10分) 一家公司計划建造一個動物園，他們打算飼養下面這些動物：狒狒(b)、狐狸(f)、山羊(g)、土狼(h)、非洲大羚羊(k)、獅子(l)、豪豬(p)、兔子(r)、鼩鼱(s)、羚羊(w)和斑馬(z)。根據經驗，動物的飲食習慣為：狒狒喜歡吃山羊、非洲大羚羊、兔子和鼩鼱；狐狸喜歡吃山羊、豪豬、兔子和鼩鼱；土狼喜歡吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑馬；獅子喜歡吃山羊、非洲大羚羊、羚羊和斑馬；豪豬喜歡吃鼩鼱和兔子；而其余的則喜歡吃蟲子、蚯蚓、草或其它植物。公司將飼養這些動物，希望它們能自由活動但不能相互捕食。求這些動物的一個分組，使得需要的圍欄數最少。(要求用圖論方法求解)
解：每個動物作為頂點，如果動物x要吃y，則該兩點連線。
問題轉化為：(1)在模型圖中求出其點色數\(\chi(G)\)；(2)用\(\chi(G)\)種顏色對圖G進行正常頂點作色。則色組即為動物分組。
由於在模型圖中存在三角形fsp，所以\(\chi(G)\geq3\)，另一方面，用三種顏色可實現對圖G的正常點作色，得到\(\chi(G)\leq3\)。所以，點色數\(\chi(G)=3\)。
給出的圍欄分組為：\(\{b,f,l\};\{g,k,r,s,w,z\};\{h,p\}\)