Ax=b 克拉默法則
標准正交：
|a|=1,|b|=1,ab=0
正交矩陣：
A*A^t=E的矩陣，即A^t=A-1
線性無關且行/列模都是1的即使正交矩陣
施密特正交化：通過部分基構造標准基
由線性無關向量構造標准正交向量
可逆
行列式 求逆 求Ax=b
分解 1.A=LU(U是A的階梯型，L是A→U化簡過程產生的)，計算Ax=b更快
特征值/特征向量
只有方陣才有特征值，不需要可逆
特征方程，|A-λE|=0的方程
(A-λE)x=0，矩陣(A-λE)每一行都有變量λ，故必然可以求得λ使|A-λE|=0，λ可能為實數可能為虛數
即：方陣必有特征值，可能是實數或復數，必有對應的特征向量(實/復)
故特征空間>=1維
重根：
可能有多個特征值，會有重特征值，如(λ-2)^(λ+1)=0
特殊的，如果A是E，則僅有一個重根，這個重根有n個
特征空間，即(A-λE)x=0的解；每個λ對應的特征向量組成一個特征空間：
1=<維數<=n，因為有非0解所以必然不是滿秩即1=<，當A是E時為0矩陣即<=n
幾何重數：特征空間維數，代數重數：重復的特征值的個數
特征空間的維數與是否是重根有關系
特征空間的維數<=代數重數
而所有特征值對應的代數重數之和=n
所以最多可以取n個線性無關的特征向量，可能最多取出的小於n個
證明：
不同特征值：
不同特征值所對應的特征向量線性無關
反過來，n個線性無關的特征向量，是否有n個不同的特征值?
不是，因為同一個特征值對應的特征空間1=<維數<=n，故可以有多於1個的線性無關特征向量
如A是4x4矩陣，有4個線性無關的特征向量，其中某個特征值的對應的特征空間維數>=2
與A可逆關系
A可逆 → 沒有0特征值，因為如果有0特征值，則Ax=0有非0解
沒有0特征值的矩陣是可逆矩陣？
矩陣本身是如何影響特征值的？？
特征值：實數，虛數，重根
特征分解A：
AX=XM→A=XMX-1，X是特征向量組成的矩陣，M是特征值組成的對角矩陣
可以分解的前提是X必須可逆，即必須可以拿出n個線性無關的特征向量
AX=XM，只要求X的各列即特征向量與M中的特征值對應即可，不對X各列做要求，可以線性相關也可以線性無關
但如果要變成A=XMX-1，則就要求X可逆，即有n個線性無關的特征向量
對角化：
通過A的特征值和特征向量可以構造對角化；與可分解的要求一樣，必須有n個線性無關的特征向量
特殊的，如果有n個不同的特征值則必然可以對角化；因為不同的特征值對應的特征向量線性無關
可以直接求n次方，(P-1AP)^n=P-1A^nP
對稱矩陣：
具有很好的性質：可對角化
任何矩陣和自己的轉置相乘，結果都是對稱矩陣
TODO 任何一個對稱矩陣A是否總能找到一個對應的矩陣B，使得A=B*B^t ？
實對稱矩陣性質：
特征值都是實數（待證）
特征空間維數等於代數重數（待證）
即可推出：實對稱矩陣一定可以對角化，A = S∩S-1，S是A的特征向量組成的正交矩陣，∩ 是對角矩陣由特征值組成
正交對角化
即A = S∩S-1，其中S是對特征向量的正交化
充要條件是A為對稱矩陣
相似：
相似的矩陣A/B，有很多相同的性質
存在可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則A和B相似，(可對角化則必然存在一個相似矩陣)
相似矩陣的特征值相同，代數重數相同
相似矩陣同一個特征值對應特征空間並沒有關聯，故幾何重數不一定相同
相似則秩相等，因為P是可逆矩陣，可逆矩陣是初等矩陣的乘積，而初等變化不改變矩陣的秩，所以A的秩和B相同
相似行列式相同
關於初等變化不改變其秩：
行秩=列秩，對A的列進行初等變換秩不變，故行秩也不變
行秩=列秩的證明：
A=CB，C是A列空間的基
mxn mxr1 r1xn
r1維張成了行空間
r2<=r1A=CB，B是A行空間的基
mxn mxr2 r2xn
r2維張成了列空間
r1<=r2故r1=r2
等價：
A初等變化產生B，則A等價於B