想寫什么寫什么，學了什么寫什么，可能對其他人毫無價值。
零、引
什么是線性代數？
不知道。
感性理解就是：二喜哥的回答(安利)。
理性理解就是：百度百科。
百度百科老謎語人了。
一、矩陣
當我最開始學矩陣的時候，就只記住了乘法可以用來矩陣加速，並且規則是左行右列，也算是個小口訣吧。
現在我知道了，矩陣可以用來表示向量！
比如一個 \(n\times m\) 的矩陣可以用來表示 \(n\) 維的行向量或是 \(m\) 維的列向量。
特殊的， \(n=m\) 的矩陣叫做方陣。
而這些向量可以看作高維空間的基底。
二、矩陣的初等變換
1.交換行(列)
交換兩個向量。
2.將某行(列)擴大 \(k\) 倍
相當於向量擴倍，顯然方向不會改變，所以可以認為是線性變換。
3.將某行(列)的 \(k\) 倍加到另一行(列)
顯然，該是基底的還是基底。
三、行列式 det
只有方陣才存在行列式，矩陣 \(A\) 的行列式用 \(det(A)\) 或者 \(|A|\) 表示。
1.線性相關與無關
有混子就是線性相關，表示某些向量可以填上一些系數來表示其它向量，而被表示的向量其實就是混子。
沒有混子就是線性無關，在這個大家庭中，人人都有自己的作用。
2.行列式表示什么
上文提到，向量可以看作是基底，而行列式有很多作用，比如它如果是零，那么表示基底當中有混子！
可以用二維中三點共線，三維中四點共面來幫助理解。本來我可以表示更高維度的東西，但是我們當中有混子，所以只能降維度。而求行列式的過程和高斯消元前半部分不謀而合，行列式為 \(0\) 即出現了自由變元，也可以解釋降維。
3.逆矩陣
如果行列式為 \(0\)，表示降維了，你無法得到它的逆矩陣，也就是說降維后你無法還原出它原來的樣子。
否則你可以求出它的逆矩陣。
滿足這樣一個關系：
\(\left[\begin{matrix} 原 矩 陣 \end{matrix} \right] \times \left[\begin{matrix} 逆 矩 陣 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 單 位 矩 陣 \end{matrix} \right]\)
4.行列式的變與不變
對一個矩陣轉置，行列式不變。
初等變換 \(1\) 使行列式變號。
初等變換 \(2\) 使行列式擴大 \(k\) 倍。
初等變換 \(3\) 不會改變行列式。
5.行列式計算
(1).高斯消元
消成上三角然后將主對角線乘起來即可。
盡管它跟高斯消元沒有半毛錢關系，但是它們卻是同一個實現方法，所以還是把這個方法叫做高斯消元。
(2).矩陣乘法
①簡單情況
對於 \(A,B\) 兩個方陣，有：
\(|AB|=|A|\times |B|.\)
當然它們得是同階的。
②復雜情況
建議先把下面的 四、秩 rank 看了。
即 \(A,B\) 為矩陣，其中 \(A\) 為 \(s\times n\) 的矩陣，\(B\) 為 \(n \times s\) 的矩陣。\((s<n)\)
索引：\(s>n\) 的情況在下文的 四、秩 3.不等式們 中有提到。
介紹一個新工具：\(\tt Binet-Cauchy\) 定理。
簡單來講，就是講 \(A,B\) 的 \(s\times s\) 的子矩陣依次全部搞出來，然后對應兩兩相乘后求行列式，再把所有的都加起來就得到了 \(|AB|\)。
兩兩相乘求行列式可以用簡單情況的方法做。
四、秩 rank
1.什么是秩？
我們可以理解為一個矩陣中向量最高可以表示的維度。
因此行向量的秩稱為行秩，列向量的秩稱為列秩，兩者一定相等，稱為該矩陣的秩。
比如一個 \(3\times 3\) 的矩陣，這三個向量如果可以組成三維空間，那么秩為 \(3\)。
如果落在一個平面內，那么秩為 \(2\)。
更混的，如果它們全部在一條直線上，秩為 \(1\)。
2.滿秩
如果這個矩陣當中沒有混子，也就是沒有降維，則稱這種情況為滿秩。
即矩陣 \(A\) 滿秩的充要條件為 \(|A| \not= 0\)。
3.不等式們
(1).
由上面的定義，我們可以輕松得到這樣一個不等式：
對於一個 \(n\times m\) 的矩陣 \(A\)，\(rank(A)\le \min\{n,m\}.\)
(2).
\(rank(AB)\le \min\{rank(A),rank(B)\}.\)
證明(不是很嚴謹)：
令 \(C=AB\)，將 \(A\) 看做多個向量，\(B\) 看做常數，於是乎 \(C\) 可以由 \(A\) 線性表達得到，所以 \(rank(C)\le rank(A)\)；
\(C^T=(AB)^T=B^TA^T\)，而轉置后秩不變，所以 \(rank(C)=rank(C^T)\le rank(B^T)=rank(B).\)
好像也不是那么不嚴謹。
因此我們可以證明這樣一個小結論：
若有一個 \(s\times n\) 的矩陣 \(A\) 和 \(n\times s\) 的矩陣 \(B(s>n)\)，那么 \(|AB|=0\)，即不滿秩。
五、維數 dim
與秩進行區分，秩是向量可以表示的最高維度，或者說是其生成的空間的維度。
維數是基底中向量的個數。
兩者無本質聯系。
六、ker 和 im
咕咕咕~