线性代数的本质(2)——线性空间、张成的空间&基

2.1 线性组合

定义：向量 及 的线性组合（Linear Combination）为 。

线性组合的各种情况：

• （线性的含义）固定一个向量，让另外一个向量自由伸缩，那么所产生向量的终点最终落在一条直线上 ;
• 让两个向量自由移动，这样加和后我们就能得到所有可能的向量
• 如果两个向量共线时，这样所产生的的向量就会固定在一条过原点的直线上
• 如果两个向量都是零向量，这样始终保持在原点

2.2张成的空间

 

定义：向量 及 的的全部线性组合（Linear Combination, ）构成的向量空间称为“张成(Span)的空间”，实际上，对于张成空间而言，就是让 在实数空间中自由变化，删掉张成空间中的一个向量不会影响结果。

线性组合对应的张成空间：

固定一个向量，让另外一个向量自由伸缩，那么所产生向量的终点最终落在一条直线上， 张成的空间为直线；
让两个向量自由移动，这样我们就能得到所有可能的向量， 张成的空间为整个空间
如果两个向量都是零向量，这样始终保持在原点， 张成的空间为原点。

（一）线性相关：

• 如果两个向量共线时，这样所产生的的向量就会固定在一条过原点的直线上，这样就意味着存在一个多余的向量，删掉其中一个向量不会影响张成的空间。当这种情况发生时，我们就成为“线性相关（Linear dependent， ），意味着向量可以用其他向量的线性组合来表示，因为该向量已经落在了线性组合张成的空间中”

（二）线性无关：

如果所有向量给张成的空间添加了新的维度，我们就称为“线性无关（Linear independent， ）”，

2.3 基 basis

 

向量空间中的基是张成该空间中的一个线性无关的向量集合。

2.4 向量的另一种表示形式

利用基向量的线性组合表示向量

如：在二维空间中，设基向量

这个过程过程相当于对基向量进行了缩放，然后进行加和的结果。

那么，我们可以选择不同的向量基，进而构建一个合理的坐标系。

2.5 总结

因此，这样就建立起了线性组合、张成空间&基之间的关系：

• 线性组合全部的向量集合能够构成张成空间；
• 线性无关的向量集合构成了空间的基。