關於最簡行階梯矩陣和矩陣秩，可參考《線性代數筆記7——再看行列式與矩陣》
召喚一個方程Ax = b：
3個方程4個變量，方程組有無數解，現在要關注的是b1b2b3之間滿足什么條件時方程組有解，它的解是什么？
在這個例子中可以馬上看出，b1+b2 = b3，一般的方法是消元法化簡：
化簡到這一步就可以確定主元是x1和x3。通過最后一行可知，b3 – b2 - b1 = 0。b1b2b3可以是任意數，所以只要滿足b3 – b2 - b1 = 0，方程組就有解。這樣的組合很多，可以很容易找到一個特解：
現在我們知道了b中三個分量的關系，並且還知道只有當 b屬於A的列空間時有解。通過上一章的方法可知，列空間的基就是主元所在的列：
到此為止回答了第一個問題，什么樣的b才能使Ax = b有解。現在需要回答另一個問題，Ax = b的所有解是什么？
可以先找出一個特解，方法是令所有自由元為0，然后解出主元：
已經找到了一個特解，那么方程組的其它解，也就是通解是什么呢？
假設Ax= 0的零空間的任意向量是xn，Ax = b有一個特解xp，那么有：
二者相加：
所以方程組的通解是xn + xp。對於方程組的某解xp來說，xp與零空間內任意向量之和仍為解。現在看看零空間：
綜合特解，得到Ax = b的通解：
矩陣的秩和主元個數相同。如果A是一個m行n列的矩陣，其主元的個數一定小於m，並且也小於n。如果A的每一列都有主元，那么A是滿秩矩陣，沒有自由元，如果此時有解，則解是唯一的，就是特解，即x = xp，此時不需要求解零空間，零空間只包含零向量。
作者：我是8位的
