什么是參數方程
一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函數：
並且對於t的每一個允許的取值，由方程組確定的點(x, y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數方程，聯系變數x、y的變數t叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關系的方程叫普通方程。
例如在運動學，參數通常是“時間”，而方程的結果是速度、位置等。用參數方程描述運動規律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較復雜的曲線（例如擺線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，有了參數方程，就可以很容易表達。
直線
空間中的直線
空間中兩個平面的交集是一條直線，如果拋開平面，直線可以看作是點勻速直線運動的軌跡。
通過兩點確定一條直線，此外，已知一點和與直線平行的向量也能確定一條直線。
直線的參數方程
一個點在空間中勻速直線運動，它在t = 0和t = 1時刻經過Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3, -1)兩點，Q(t)是該點關於時間t的函數：
如上圖所示，點在t = 0時刻的位置Q0 = Q(0) = (-1, 2, 2)，t = 1時刻的位置Q1 = Q(1) = (1, 3, -1)，那么在任意t時刻，Q的位置Q(t)是哪里？
現在將問題轉換為向量：
由於是勻速運動，所以運動距離與時間成正比：
隨着時間的增長，向量也將增長。由於Q(t)是空間內的點，所以：
這就是該直線的參數方程，其來源是Q0Q(t) = tQ0Q1
如果t = 2，則在該時刻Q(2) = (3, 5, -4)
參數方程的幾何解釋
我們已經知道了直線參數方程的形式，現在看一下它的幾何解釋。
如果二維空間內有兩個點(2,1)和(0,2)，那么經過這兩點的直線方程是什么？
初中的知識可以告訴我們，斜率是k = (y2 – y1)/(x2 – x1)。現在使用向量和參數方程來理解這個問題。假設在二維空間內有兩個向量a<2,1>和b<0,2>，如下圖所示：
一個不太准確的說法是，將b-a的兩端延長，就是所求的直線，只要能夠恰當地表示這條直線就好了。由於向量表示的大小和方向的量，與位置無關，所以可以將b-a平移：
現在使用平移后的b-a，它與b的線性組合就可以表示所求直線（向量終點站直線上）：
將b-a的倍數設為t，那么直線可以表示為：
轉換成x，y的參數方程，x = -2t, y = 2 + t
直線與平面的關系
上面的兩個點Q0 = (-1, 2, 2)和Q1 = (1, 3, -1)對於平面x + 2y + 4z = 7來說，位置關系是什么？在平面的兩側還是一側？是否在平面上？
將Q0和Q1代入平面方程：
由此可見Q0和Q1不在平面上，它們分屬於平面兩側，向量Q0Q1將穿過平面，與平面有唯一的交點，這個交點又是什么？
上節已經求得了直線的參數方程Q(t) = (2t-1, t+2, -3t+2)，直線與平面的交點將滿足：
將直線參數方程代入平面方程也可能出現有無數解或無解的情況，此時直線與平面沒有唯一交點，直線可能在平面上或與平面平行。
總結一下，把直線方程Q(t) = (x(t), y(t), z(t))代入平面方程ax + by + c = d，如果能計算出t的唯一值，直線穿過平面；如果得到一個等於d的常數，則直線在平面上；如果得到一個不等於d的常數，則直線與平面平行。
曲線
對於平面或空間內的任意運動，同樣可以用參數方程表示。
擺線的參數方程
擺線是一種有名的曲線，它描述了當車輛勻速直線運動時，車輪上點的運動軌跡。如下圖所示，P是半徑為a的車輪邊緣上的一點，剛開始時在原點，當車輪向右滾動后，P點將隨之轉動：
我們關注的問題是車輪滾動后P的軌跡，也就是t時刻P點的位置。如果P點是位置關於時間的函數，用參數方程可以表示為Q(t) = (x(t), y(t))。這意味着從時間的角度來表示位置，然而時間並非最好的參變量，因為P的軌跡是與時間無關的，即使車速變快，P的運動軌跡也不會改變。我們注意到，當車輪勻速運動時，P的角度和時間成正比：
∠θ和運動時間成正比，如果θ超過2π，則相當於開始了一個新的周期，對於角度的運算，3π和π是相同的。由此，可以將時間替換為角度，也就是使用車輪轉動角度做參變量將得到更簡單的答案：
將車輪轉換為上圖所示的向量(向量可參考《線性代數筆記2——向量（向量簡介）》)，則向量OP的參數方程就可以表示P點的運動軌跡。
由於車輪是沿着地面轉動，且最初P的位置與O相同，所以在第一圈時，OA = PA的弧長（我承認在畫圖時比較隨意，看起來它們並不相等）：
實際上，無論第幾圈，上式都成立。由於已經知道了OA和AB的長度，可以得出相應的向量：
現在只需要求出向量BP即可。這里並不需要知道點B和點P的坐標，由於向量只描述了大小和方向，所以向量和具體位置無關，因此可以通過將向量BP平移求得BP：
最終：
擺線的斜率
在車輪滾動一圈后，點P回到x軸，開始進入下一個周期，兩個周期相交於一點。有一個值得關注的問題是，如果在該點處作軌跡曲線的切線，切線的斜率是什么？如下圖所示，就是計算P5處軌跡曲線的切線：
為了簡化問題，將當車輪看作單位圓，此時a = 1，
在P5處，θ=2π，斜率：
此時沒有意義，但可以計算極限：
因此，在P5處，斜率趨近於∞，也就是有一條垂直於x軸的切線。
也可以使用泰勒展開式計算斜率（泰勒級數可參考《數學筆記31——冪級數和泰勒級數》)：
示例
示例1
兩條直線L1和L2是否相交，如果相交，其交點是什么？
可以用以往的知識將參數方程轉換為普通方程：
方程組有唯一解，x = 1, y = 2，兩條直線相交於(1, 2)
也可以直接用參數方程求解。如果兩條直線相交，參數方程組有唯一解：
將解代入參數方程：
兩條直線相交於(1, 2)
示例2
直線L經過P(0, -1, 1)和Q(2, 3, 3)兩點，直線與平面2x + y – z = 1的關系？
設直線方程是L(x(t), y(t), z(t))，則：
將L的參數方程代入平面方程：
t有唯一解，指向與平面相交。將t代入直線的參數方程，交點是(1, 1, 2)
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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