線性代數筆記5——平面方程與矩陣

線性方程的幾何意義

二元線性方程

　　該方程是一個二元線性方程組，包含兩個方程，每個方程是一條直線，兩條直線的交點就是該方程有唯一解，這就是二元線性方程的幾何意義。

平面方程

　　空間內不在同一直線上的三點構成一個平面，平面方程可表示為ax + by + cz = d。平面方程也稱為三元線性方程。

　　方程x + 4y + z = 8，在xyz三個坐標軸上的截距分別是(8,0,0),(0,2,0),(0,0,8)，下圖是該函數在坐標軸上的示意圖：

　　需要注意的是，平面是無限延伸的。

根據法向量求平面方程

　　現在需要找到一個過原點的平面，它有一個過原點的法向量是<1, 5, 10>。

 

 

　　如上圖所示，P<x, y, z>是所求平面上的向量，法向量N⊥OP，因此：

 

　　這就是平面方程。

　　再看一個稍微不同點的問題，一個平面的法向量是N<1, 5, 10>，該平面經過P₀(2, 1, -1)，求該平面方程。

　　由於擁有同一個法向量，所以這是與上一個平面平行的平面：

　　平面上的任意點P₁是(x, y, z)，向量P₀P₁⊥N：

　　上面兩個方程唯一的不同點就是ax + by + cz = d 中的d，其它參數對應了穿過原點的法向量，實際上，d兩個平行平面的距離。根據這個特點，可以很快求得第二個平面方程：

 

　　示例

　　向量V = <1, 2, -1>與平面x + y + 3z = 5的關系？

　　平面的法向量N = <1, 1, 3>，容易看出，V·N = 1×1 + 2×1 + (-1)×3 = 0，V⊥N，向量V與平面平行。需要注意的是，向量不是點（實際上向量有無數點），<1, 2, -1>不同於(1, 2, -1)，在沒有特殊說明的情況下，可以認為向量從原點出發。如果向量V從原點出發，V經過點(1, 2, -1)，但該點並不在平面上。

平面方程組的解

　　三元線性方程組，設三個平面分別是P₁,P₂,P₃，該方程組有唯一解，即這三個平面相交於一點，三個方程兩兩相交於一條直線：

　　平面方程組也可能出現無解的情況，一種典型的情況是三個平面平行。如果P₁∩P₂≠φ，即二者相交於一條直線，根據P₃的位置，平面方程組可能有唯一解，無解，或有無數解。下面是無數解和無解的情況：

 

無數解和無解

　　總結一下，如果P₁與P₂相交，它們的交線：

1. 與P₃相交於一點，則方程組有唯一解；
2. 在P₃上，則方程組有無數解；
3. 與P₃平行，且不在P₃上，方程組無解。

　　當然，如果P₃與P₁或P₂中一個相同，則結集是一個平面。

點到平面的距離

　　平面方程是ax + by + cz = d，平面外一點P = (x₀, y₀, z₀)，求該點到平面的距離。

 

　　PQ垂直於平面，現在要求PQ的長度，但是並不知道Q點的具體數值。

　　設P’ = (x₁, y₁, z₁)是平面上的一點，現在將問題轉換為向量：

 

　　向量QP是P’ P在法向量N方向上的分量，也就是P’ P與N相同方向的單位向量的點積。（可參考《線性代數筆記3——向量2（點積）》）設距離為D，則：

 

求解線性方程

　　當然可以使用初中的代數知識求解線性方程組，這里主要討論如何用矩陣求解。

消元法

　　

　　首先將方程組以矩陣的方式表示：

　　該矩陣稱為增廣矩陣。由於是線性方程組，可以省略未知數：

 

　　現在可以對其進行消元，首先消去x，方法與普通代數法類似：

　　用同樣的方法對y消元：

　　矩陣第三行對應-31z = 62，z = -2

　　最終可解得

　　可以看出，消元法本質上與初中的代數法沒有區別，只是換了一種較為簡單的表現形式，對於多元線性方程組，其消元過程十分繁瑣。

矩陣法

　　

　　這里需要使用列向量的概念，列向量是一個 n×1 的矩陣，即矩陣由一個含有n個元素的列所組成：列向量的轉置是一個行向量，反之亦然。

　　將上面的方程組用矩陣和向量表示：

　　實際上可看作 x = b/A，有點意思了，可以通過一個除法運算直接求得方程的解。

　　解得

　　對於多元線性方程組，使用矩陣法求解比消元法簡單的多。

　　我們用python求解消元法中的方程組

import numpy as np 2 
a = np.matrix([[-1,2,-1],[3,-7,-2],[2,2,1]]) 4 c = np.matrix([[9,-20,2]]).T 5 result = a**-1 * c 6 print(result)

  

無解的方程組

　　線性方程組在用矩陣向量法轉換后，如果矩陣A是奇異矩陣，A^-1沒有定義，該方程組無解。對於二元線性方程組來說，其幾何意義是兩條平行的直線。

　　如  ，該方程組無解，  是奇異矩陣。下圖是該方程組在坐標軸上的圖像：

 

多個線性方程組

　　現在來看下面的矩陣：

 

　　如果把這個矩陣根據乘法展開，將得到兩個矩陣：

 

　　這就可以看作是兩個線性方程組：AX₁ = b₁，AX₂ = b₂

消元法求逆矩陣

　　上面的示例中， 是的逆，現在嘗試用消元法求解。增廣矩陣形式：

　　我們的目標是將其變為IA^-1：

示例

示例1

　　求下面的平面方程：

　　a)       已知平面的法向量N = <1, 2, 3>，平面過點(1, 0, -1)

　　b)       平面過原點且平行於兩個向量A = <1, 0, -1>和B = <-1, 2, 0>

　　c)       平面過點P1(1, 2, 0), P2(3, 1, 1), P3(2, 0, 0)

　　d)       平面與a中的平面平行，且經過點(1 , 2, 3)

 

　　a.

　　平面方程ax + by + cz = d，N = <1, 2, 3> =<a, b, c>，所以平面方程是x + 2y + 3z = d

　　將點(1, 0, -1) 代入平面方程，1 + 0 -3 = -2 = d

　　平面方程是 x + 2y + 3z = -2

 

　　b.

　　平面方程ax + by + cz = d

　　∵A，B過原點，且與平面平行，並且平面過原點

　　∴A，B在平面上，d = 0

　　已知平面上兩個個向量從同一點出發的向量，計算平面的法向量：

 

　　平面方程是 2x + y + 2z = 0

　　根據叉積計算法向量可參考《線性代數筆記4——向量3（叉積）》

 

　　c.

 

　　平面方程2x + y – 3z = d，取任意點代入，d = 4。平面方程是2x + y – 3z = 4

 

　　d．

　　a的平面是x + 2y + 3z = -2，由於該平面平行於a，所以該平面是x + 2y + 3z = d。

　　將點(1 , 2, 3)代入，1 + 2×2 + 3×3 = 14 = d

　　平面方程是x + 2y + 3z = 14

 示例2

　　求原點到平面2x + y -2z = 4的距離。

 

總結

1. 二元線性方程組的幾何意義是平面上的兩條直線，其解是二者的交點
2. 三元線性方程組的幾何意義是三維空間上的三個平面，可能存在唯一解、無數解或無解
3. 平面方程用ax + by + cz = d，點到平面的距離
4. 如果線性方程組對應的矩陣是奇異矩陣，則該方程組無解

 

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 　　作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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