符號說明： A 矩陣
U 行階梯形矩陣
R 行最簡形矩陣
消元(elimination)
示例：
對應矩陣：
首先消除第二行主元[1]：
第三行主元[1]已被消除，無需消元
接下來，消除第三行主元[2]
引入向量b（增廣矩陣）進行消元，步驟與上面一致：
最終消元結果為：
注：主元必須不為零，但如果0占據了主元位置，則需要交換行使主元不為0，前提需要主元所在下行位置不能為0。如果主元為0，且無法與下行交換使之不為0，則矩陣不可逆，即消元失效。
回代(back substitution)
將以上消元的結果代入方程組：
得到
消元矩陣
根據：
得：
矩陣運算： E32∗(E21∗A)=U
置換矩陣(permutation matrix)
行交換：
左乘交換了相應行的單位矩陣
列交換：
右乘交換了相應列的單位矩陣
