1. 四個基本子空間
- 行空間 \(C(A^T)\)，一個 \(R^n\) 的子空間，由所有行的線性組合構成，維數為 \(r\)
- 列空間 \(C(A)\)，一個 \(R^m\) 的子空間，由所有列的線性組合構成，維數為 \(r\)
- 零空間 \(N(A)\)，一個 \(R^n\) 的子空間，由所有 \(Ax=0\) 的解的線性組合構成，維數為 \(n-r\)
- 左零空間 \(N(A^T)\)，一個 \(R^m\) 的子空間，由所有 \(A^Ty=0\) 或者 \(y^TA=0^T\) 的解的線性組合構成，維數為 \(m-r\)
2. \(R\) 的四個基本子空間
假設 \(A\) 的最簡行階梯形式為 \(R\)，我們可以很容易地從 \(R\) 找到四個子空間。
矩陣 \(R\) 中有兩個主元，因此其秩為 2。
行空間的維數等於秩，為 2，其中一個基可以取 \(R\) 的前兩行。
列空間的維數等於秩，為 2，主元所在的列為第一列和第四列，因此其中一個基為 \(R\) 中對應的兩列。
零空間的維數等於 \(n-r\)，為 3，有三個自由變量，因此對應着三個特解，它們就是零空間的一個基。
左零空間尋找的是 \(R\) 的行的線性組合來產生一個零向量。
顯而易見，\(y_1\) 和 \(y_2\) 必須為 0，而 \(y_3\) 可以取任意值。左零空間的一個基為 (0, 0, 1)，維數為 \(m-r=1\)。
2. \(A\) 的四個基本子空間
\(R\) 和 \(A\) 有着相同的行空間、維數 \(r\) 和基。
\[EA=R \quad A = E^{-1}R \]
由矩陣乘法可知，\(R\) 的每一行都是對 \(A\) 的行的線性組合，而且 \(A\) 的每一行也都是對 \(R\) 的行的線性組合。因此，消元只是改變了行，並沒有改變行空間。
\(Ax=0\) 當且僅當 \(Rx=0\)，它們的 \(r\) 個主列都是不相關的，它們的列空間維數都為 \(r\)。
其中 \(A\) 的列可以看作是對 \(E^{-1}\) 的列的線性組合，因此 \(A\) 和 \(E^{-1}\) 有着相同的列空間。
\(R\) 和 \(A\) 有着相同的零空間、維數和基，因為消元並不改變方程組的解。
\(A\) 的左零空間維數為 \(m-r\)。
因為 \(R\) 的最后 \(m-r\) 行為全零行，也就是 \(E\) 中最后 \(m-r\) 行對 \(A\) 的行的線性組合產生了零向量，因此它們是左零空間的一個基。
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