【線性代數】四個基本子空間

矩陣A一共對應着4個基本子空間，分別是列空間、行空間、零空間以及左零空間

行空間

設一m行n列實元素矩陣為\(A\)(mxn),則其行空間(Row Space)是由矩陣A的所有行向量所生成的\(R^n\)上的子空間，記作\(C(A^{\mathrm{T}})\)或\(R(A)\)。其中，矩陣\(A^{\mathrm{T}}\)是矩陣A的轉置。

矩陣A的行空間中的所有向量均為矩陣A的行向量的某種線性組合，都為\(R^n\)上的向量（即n維向量）。

矩陣A對應的行空間維度等於矩陣A的行秩，最大為min(m,n)。即：

dim \(C(A^{\mathrm{T}})\) = dim \(R(A)\) = rank(\(A^{\mathrm{T}}\)) ≤ min(m,n)

行空間\(C(A^{\mathrm{T}})\)的一組自然基底是矩陣A的行向量的最大線性無關組。

列空間

既然行空間是矩陣A所有行向量的線性組合，那么可以想到A對應的列空間應該是所有列向量的線性組合。

設一m行n列實元素矩陣為\(A\)(mxn),則其行空間(Col Space)是由矩陣A的所有列向量生成的\(R^m\)上的子空間，記作\(C(A)\)。

矩陣A的列空間\(C(A)\)中的所有向量均為矩陣A中列向量的某種線性組合，都為\(R^m\)上的向量（即m維向量）。

\(C(A)\)的維度等於矩陣A的列秩，最大為min(m,n)。即：

dim \(C(A)\) = rank(\(A\)) ≤ min(m,n)

列空間\(C(A)\)的一組自然基底是矩陣A的列向量的最大線性無關組。

零空間

在數學中，一個矩陣A的零空間是方程\(Ax = 0\)的所有解\(x\)的集合。它也叫做A的核, 核空間，記為\(Null(A)\)。

想像一下，方程\(Ax = 0\)的解通常有哪種可能？我想大概分為兩種可能：

1. \(Null(A)\)僅有零解
2. \(Null(A)\)包含零解和無窮多個非零解

所以，不管怎么樣，\(Null(A)\)都至少包含零向量

左零空間

與零空間類似，只不過A的左零空間是方程\(A^{\mathrm{T}}x = 0\)的所有解\(x\)的集合。記為\(Null(A^{\mathrm{T}})\)

同樣的，解集同樣至少包含零解

四個基本子空間的性質

對於一個mxn矩陣\(A\)來說：

1. 行空間與零空間正交
2. 列空間與左零空間正交
3. dim \(R(A)\) + dim \(Null(A)\) = m，即行空間的維度+零空間的維度=行數
4. dim \(C(A)\) + dim \(Null(A^{\mathrm{T}})\) = n，即列空間的維度+左零空間的維度=列數

性質證明

要證明兩個子空間正交，先來給定子空間正交的定義是什么：若(內積空間)的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那么它們互為正交子空間。其中內積空間是添加了內積運算的向量空間。

好吧，反正就是證明矩陣A對應的行空間中的每個向量都與零空間中每個向量正交即可。有mxn矩陣\(A\)，將它寫為下面這個形式:$$
\left[
\begin{matrix}
row & 1 & of & A \
row & 2 & of & A \
row & 3 & of & A \
&\ .\
&\ . \
&\ . \
row & m & of & A
\end{matrix}
\right]

\[我們要求$Ax = 0$，讓我們用上面這種形式寫一遍：\]

\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
row & 1 & of & A \
row & 2 & of & A \
row & 3 & of & A \
&\ .\
&\ . \
&\ . \
row & m & of & A
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1\
x_2\
x_3\
.\
.\
.\
x_n
\end{matrix}
\right]=\left[
\begin{matrix}
0\
0\
0\
.\
.\
.\
0
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[所以，如果有一個向量$v$屬於$Null(A)$，顯然，將$v$帶入(1)式是成立的。所以A中的每一行，即每個行向量都與向量$v$都正交。而A的行空間是行向量們的線性組合，所以$v$與A的行空間是正交的。同理，對於$Null(A)$中的其他向量，也和$v$一樣與A的行空間是正交。因此，足以證明A行空間與零空間正交。 同樣的，可以證明A的列空間與左零空間正交，這里不再贅述。 ### 舉例 好吧，舉個實際的例子，這樣以后看到也能馬上想起來，哦，確實是這樣。 給出一個3x2的矩陣$$A= \left[ \begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{matrix} \right]\]

這個矩陣是我胡編的，讓我們分別求一下A對應的行空間、列空間、零空間以及左零空間

求解行空間

顯然，在A矩陣里有兩個行向量\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}\)，它們分別是$$
\overrightarrow{r_1}=\left[
\begin{matrix}
2\
4\
1
\end{matrix}
\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\overrightarrow{r_2}=\left[
\begin{matrix}
3\
1\
2
\end{matrix}
\right]

\[它們線性無關，所以$\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}$可以作為行空間中的一組基。它倆張成了A的行空間，$R(A)$中的任意一個向量都可以表示為\]

\begin{equation}
λ_1\left[
\begin{matrix}
2\
4\
1
\end{matrix}
\right]+
λ_2\left[
\begin{matrix}
3\
1\
2
\end{matrix}
\right]，其中λ_1、λ_2是任意實數
\end{equation}

\[我們已經求得了A的行空間$R(A)$ #### 求解列空間 顯然，在A矩陣里有三個列向量$\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \overrightarrow{r_3}$，它們分別是\]

\overrightarrow{r_1}=
\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2\
3
\end{matrix}
\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\overrightarrow{r_2}=\left[
\begin{matrix}
4\
1
\end{matrix}
\right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\overrightarrow{r_3}=\left[
\begin{matrix}
1\
2
\end{matrix}
\right]
\end{equation}$$
它們線性無關，所以\(\overrightarrow{r_1}, \overrightarrow{r_2}, \overrightarrow{r_3}\)可以作為行空間中的一組基，張成了A的列空間，\(C(A)\)中的任意一個向量都可以表示為$$
λ_1\left[
\begin{matrix}
2\
3
\end{matrix}
\right]+
λ_2\left[
\begin{matrix}
4\
1
\end{matrix}
\right]+
λ_3*\left[
\begin{matrix}
1\
2
\end{matrix}
\right]，其中λ_1、λ_2、λ_3是任意實數

\[我們已經求得了A的列空間$R(A)$。 **這里的行空間與列空間剛好由矩陣A的每行每列表示是因為我選的矩陣恰好是行滿秩與列滿秩，行空間由行向量組成的極大線性無關組表示，同理，列空間由列向量組成的極大線性無關組表示** #### 求解零空間 那就是求解\]

\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2 & 4 & 1 \
3 & 1 & 2
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1 \
x_2 \
x_3
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
0 \
0 \
0
\end{matrix}
\right]
\end{equation}$$
使用高斯消元等到A矩陣的行最簡形$$
U=\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
-1 & -3 & 1 \
0 & 10 & -1
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[可以得到解的集合為\]

x=k
\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
14 \
-1 \
10
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[ #### 求解左零空間 將矩陣A轉置有\]

A^{\mathrm{T}}=
\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 \
4 & 1 \
1 & 2
\end{matrix}
\right]
\end{equation}

\[求解\]

\begin{equation}
\left[
\begin{matrix}
2 & 3 \
4 & 1 \
1 & 2
\end{matrix}
\right]
\left[
\begin{matrix}
x_1 \
x_2
\end{matrix}
\right]
=\left[
\begin{matrix}
0 \
0
\end{matrix}
\right]
\end{equation}$$
以我多年的做題經驗（笑），這個應該只有零解。

總結

四個空間都求出來了，加加它們的維度也是滿足之前給出的子空間的性質，不同空間對應的基包含的向量也是相互正交的。