四個基本子空間
四個子空間 Four subspaces
對於任意的 \(m \times n\) 矩陣 \(A\)，若 \(rank(A)=r\) ，則有：
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行空間 \(C(A^T)\)
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\(A\) 的行向量的線性組合在 \(\mathbb{R}^n\) 空間中構成的子空間，也就是矩陣 \(A^T\) 的列空間。
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\(C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r\)：
行空間的基：將矩陣 \(A\) 化為行階梯矩陣：\( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化簡} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \)
行變換影響了 \(A\) 的列空間，所以 \(C(R) \neq C(A)\)，但行變換並不影響行空間，所以可以在矩陣 \(R\) 中看出前兩行就是行空間的一組基。
無論對於矩陣\(A\)還是\(R\)，其行空間的一組基，可以由行階梯矩陣 \(R\) 的前 \(r\) 行向量組成。
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零空間 \(N(A)\)
- \(Ax=0\) 的所有解 \(x\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 空間中構成的子空間。
- \(N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r\)，自由元所在的列即可組成零空間的一組基。
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列空間 \(C(A)\)
- \(A\) 的列向量的線性組合在 \(\mathbb{R}^m\) 空間中構成的子空間。
- \(C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r\)，主元所在的列即可組成列空間的一組基。
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左零空間 \(N(A^T)\)
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矩陣 \(A^T\) 的零空間為矩陣 \(A\) 的左零空間，是 \(\mathbb{R}^m\) 空間中的子空間。
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為什么叫左零空間：\(A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T\)
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\(N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r\)：
左零空間的基：
應用增廣矩陣 \(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times n}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times n}\end{array}\right]\)
將 \(A\) 通過消元得到矩陣 \(R\) ，其消元矩陣記為 \(E\) 。
則有 \(EA=R\) （若 \(A\) 為可逆方陣，則有 \(E=A^{-1}\)）
例子：
\[\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c c|c c c}1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\underrightarrow{消元、化簡}\left[\begin{array}{c c c c|c c c}1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] \]則
\[EA= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \]很明顯，式中 \(E\) 的最后一行對 \(A\) 的行做線性組合后，得到 \(R\) 的最后一行，即 \(0\) 向量，也就是 \(y^TA=0^T\)。
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總結
四個子空間維度以及其之間關系可以參考Gilbert Strang的圖：
- 行空間求法：將矩陣 \(A\) 化為行階梯矩陣，前 r 行向量。
- 零空間求法：將矩陣 \(A\) 化為行階梯矩陣，得出自由列個數，自由列一個個賦1，其他皆0，求解方程，得出自由列個數個特解，特解的線性組合就是 \(A\) 的零空間。
- 列空間求法：主元所在的列即可組成列空間的一組基。
- 左零空間求法：應用增廣矩陣 \(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times n}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times n}\end{array}\right]\) ，套用 \(EA=R\) ，使得 \(R\) 的某行為 \(0\) 的\(E\) 對應行向量。
reference
[1] textbook
[2] mit18.06學習筆記-0
[3] mit18.06學習筆記-1