四種基本子空間
這節課我們將研究四種基本子空間及其關系。
假設有 \(m*n\) 矩陣 \(A\)
四種基本子空間：
1）列空間 \(C(A)\)
在 \(R^m\) 空間，因為列向量是 \(m\) 維的
2）零空間 \(N(A)\)
在 \(R^n\) 空間，因為她是 \(Ax=0\) 的解，\(x\) 是 \(n\) 維向量
3）行空間 \(C(A^{T})\)
矩陣 \(A\) 所有行的線性組合，將矩陣轉置，我們就能像以前像列空間一樣處理，即變成 \(A\) 轉置的列的所有的線性組合。
在 \(R^n\) 空間，因為 \(A^T\) 列向量是 \(n\) 維向量
4）\(A\) 轉置的零空間，記為 \(N（A^T）\)，通常叫做左零空間，
在 \(R^m\) 空間，因為她是 \(A^Tx=0\) 的解，\(x\) 是 \(m\) 維向量
理解這些空間，我們需要解決兩個問題：
1）她們各自的基是什么？
2）她們是幾維空間？
列空間
假設有 \(m*n\) 矩陣 \(A\) ，矩陣的秩就是維數，就是主列的個數。
行空間的維數
行空間的維數也是 \(r\) 。
性質：
行空間和列空間維數相等 。
舉例
從行空間角度看，很明顯主行可以是 行1和行3，秩為2，行空間是個二維子空間。
根據性質，列空間也是2維。
零空間的維數
零空間維數為 \(n-r\) ,就是自由變量的個數。
特殊解可以構成零空間的一組基。
- 行空間和零空間都在 \(R^n\) ,行空間是 \(r\) 維，零空間是 \(n-r\) 維，兩個加起來正好是 \(n\) ，也就是矩陣 \(A\) 的列的數目
類似於，有 \(n\) 個變量，\(r\) 個主變量， \(n-r\) 個是自由變量，加起來是 \(n\) .
左零空間的維數
左零空間的維數是 \(m-r\)
- 列空間和零空間都在 \(R^m\) ,列空間是 \(r\) 維，零空間是 $ m-r$ 維，兩個加起來正好是 \(m\) ，也就是矩陣 \(A^T\) 的列的數目。
所以兩個結論其實是一樣的，兩個維度加起來都等於列的數目。只不過 \(A^T\) 有 \(m\) 列，\(A\) 有 \(n\) 列。
列空間的基
前面我們已經知道，矩陣的主列可以構成列空間的一組基，
行空間的基
假設
主列是列1和列2
我們對她進行消元：
注意，\(R\) 的列空間不等於 \(A\) 的列空間。例如 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)\) 顯然再 \(A\) 里面，但不在 \(R\) 里面。
- 初等行變換不會改變行空間，列空間發生了改變。
消元屬於初等行變換，初等行變換包含三種類型：
- 某一行，乘以一個非零倍數
- 某一行，乘以一個非零倍數，加到另一行（列）
- 某兩行，互換
初等行變換不會改變行空間，
- 行向量乘以倍數只是對向量進行縮放，
- 行向量乘以一個倍數，加到另一行，顯然結果是原來兩行的線性運算，
前面說過，向量空間滿足加法和數乘封閉性。所以進行線性變換后結果仍然在行空間中。
下面是截取知乎兩個理解：
https://www.zhihu.com/question/66712234
-
上面兩種情況都不會改變張成行空間的基，也就是保證行空間不變，零空間不變。
-
因為初等行變換都是線性變換，我舉一個變換的例子好了。
假設有兩個行向量分別為a和b，且我現在做了個行變換比如把a變成a+mb（m是常數），我們來討論a+mb和b的關系，因為mb和b肯定成線性關系，所以a+mb和b的關系就等價於a和b的關系，所以它倆還是該相關就相關，該不相關就不相關。
其他的兩種變換同樣也可以證明。 -
行向量a1，a2，……an張成行空間。里面的任意向量都可表示為a1，a2……an的線性組合。對行向量的任意初等變換，變換后所得的行向量仍在行空間中。所以行空間沒變，但列空間變了。若對列向量做初等變換，則列空間沒變，行空間變。
所以 \(A\) 和 \(R\) 的行空間一樣， \(R\) 行空間的基就是 \(A\) 行空間的基。
\(R\) 行空間的基就是前兩行。
結論：
對於 \(A、R\) ，基都是 \(R\) 的前 \(r\) 行。
注意，不是 \(A\) 的前 \(r\) 行，因為這不一定成立，行變換不改變行空間，但可能改變基，該例子就不改變。
所以行空間的一組基就是 \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)\) .
左零空間的基
為了和零空間區分，設為 \(A^Ty=0\) ,
左零空間和零空間的區別：
- 求矩陣的左零空間,就是求一個讓矩陣的行產生零行向量的行組合.
- 求矩陣的零空間,就是求一個讓矩陣的列產生零列向量的列組合.
為什么叫左零空間？
因為這里如果不矩陣 \(A^T\) 轉置，式子中 \(y\) 就在左邊。
兩邊轉置，兩矩陣相乘轉置后需要反順序相乘：
\(y^T\) 對 \(A\) 左乘，所以稱為左零空間.
但習慣上保留 \(A^T.y=0\) 形式.
怎么求她的基?
之前我們求解零空間是通過 \(A\) 化簡為 \(R\) ,也許這些步驟可以揭示左零空間的秘密.
重新思考一下步驟,乘以一個什么矩陣能夠使 \(A\) 變成 \(R\) ,
我們可以使用高斯-若爾當消元法,
所有引入的消元可以合並為左邊的一個矩陣 \(E\) ,\(E\) 記錄着對矩陣 \(A\) 所有的行初等變換.我們只需要在 \(A\) 后面加上單位陣,消元后就可以把它求出來,只不過之前我們用她來求可逆方陣的逆,可逆方陣消元后就是 \(I\) ，這時 \(E=A^{-1}\)
現在, \(E.A=R\) ,因為 \(A\) 不可逆,她是長方形矩陣.
我們在 \(A\) 后面加上 單位陣,可以求出 \(E\) :
可以通過 \(E.A=R\) 檢驗她.
我們知道左零空間維數是 \(m-r\) ,所以這里 左零空間是一維空間,左零空間的基只有一個向量,說明存在一個線性組合使得 \(A\) 三行的結果為0,這個線性組合就是左零空間的基.
該例子這個向量就是等效消元矩陣 \(E\) 的最后一行.
左乘 \(E\) 最后一行 ,就是一個讓矩陣 \(A\) 的行的線性組合為0的向量.
因為 \(E\) 是對 \(A\) 所有初等行變換的等效.
所以求左零空間的基,無法直接從 \(R\) 看出來,必須先和 \(E\) 聯系起來 .