線性代數導論 - #6 向量空間、列空間、Rn與子空間
讓我們回想一下#1的內容，當我們在用向量的新視角看待線性方程組時，曾經提到以“向量的圖像”作為代數學與幾何學橋梁的想法。
而現在，讓我們沿着這個想法深入探索下去，將其作為開啟線性代數核心學習的鑰匙。
引入新概念：向量空間。
什么是向量空間？我們把向量構成的空間叫做向量空間。
為了簡化問題，我們先假定研究的對象是某個元素數為2或3的非零向量。
回歸到向量的幾何定義，一條有向的線段。這條線段會覆蓋從起點到終點的區域。顯然，這個區域不足以以“空間”命名。因為空間應具有如下兩個特性：
1.包含很多元素；
2.封閉，即其中的元素無法突破空間的邊界。
所以我們就從這兩個方面開始下手，想辦法讓這個“區域”里的元素多起來，且成為一個封閉的系統。
從一個向量“衍生”出許多向量的方法是通過某種運算去“生成”。我們會想到運算結果仍然是向量的向量加法和數乘。
通過與任意實數數乘得到的向量，作出圖來，都位於初始向量對應的線段所在的直線上。（包括零向量，這條直線通過零點）
任意取這些向量中的兩個進行相加，結果也位於這條直線上。
所以我們得到了一個包含元素多又封閉的空間——一條經過原點的直線。這就是我們所說的一種“向量空間”。
現在我們將情況一般化。假定構成向量空間的向量為：
1.零向量？
容易想到這個空間就是原點。原點是否符合向量空間的要求呢？我們檢驗其封閉性。在這個空間內任意取兩個元素，顯然都是零向量。它們相加或乘以任意倍數的結果都還是零向量，仍包含在原點這個空間內。所以零向量構成的向量空間是原點。
這個檢驗方法對於原點好像有些無厘頭，但是卻可以有效地檢驗更大的疑似向量空間。
2.兩個向量？
兩個向量任意數乘和相加？換言之，這些運算的結果就是這兩個向量的線性組合。假定這兩個向量為二元或三元向量，根據數乘向量和向量加法的作圖方法，我們可以想見，這所有的線性組合的圖像，覆蓋的空間是一個平面，且該平面一定經過原點（0乘任何數結果為0）。
反向思考，檢驗一個空間是否是向量空間的時候，可以嘗試以下兩種思路證偽：
（1）這個空間不包含原點：不能通過變換系數使得線性組合的元素全為0；
（2）這個空間不對線性運算封閉：寫出一個（兩個）空間內的向量，通過簡單的數乘或加法得到的新向量不在空間內。
比如，請嘗試怎樣最簡潔地說明下圖的（2）和（3）中的空間不是向量空間？
3.多個向量？
多個向量和兩個向量的情況沒有本質的區別。只是我們可以用矩陣的形式去表示這多個向量。在矩陣中，每一列都是一個列向量。列向量的所有線性組合構成的空間，就是一個向量空間。我們給它起了一個別名——列空間。
4.元素數相同的所有向量？
之前的討論中所使用的向量，都限定為二元或三元，這只是為了方便生活在三維世界中的我們想象和作圖表示。可以想見，所有元素數為n的向量，構成的空間應該是整個的n維空間。我們用“Rn”這個記號去表示這個特殊的向量空間。其中R表示這些向量的元素都為實數，n代表向量所包含的元素數量也即空間的維數。
這個看起來很大的空間顯然不是滿足向量空間要求的最小空間，換言之，在向量空間這個層面上，它也是可分的。類比集合中子集的定義，我們把在這個空間內的與之等大或更小的向量空間稱為子空間。舉個例子：對於R3，從大到小，它所有可能的子空間有：
（1）自身：定義使然，沒有為什么；
（2）過原點的平面：比如兩個非零向量的線性組合構成的空間；
（3）過原點的直線：一個非零向量構成的空間；
（4）原點：零向量構成的空間。
當n>3時，我們可以確定的是原點和Rn自身一定是其最小和最大的子空間。至於中間大小的子空間，可能我們就不能用“平面”“直線”這樣熟悉的模型去簡單地描述了。
在之后的學習中，我們將帶着這節課的成果，即對向量空間更清晰的認識，去重新審視我們的老朋友——Ax=b。