拓撲總結
拓撲空間
一個集合X上一個拓撲是X的子集的一個族\(\Im\)
它滿足以下條件：
\((i) \varnothing\)和\(X\)都要在\(\Im\)中
\((ii)\Im\)的任意子族的元素的並都要在\(\Im\)中
\((iii)\Im\)的任意有限子族的元素的交都要在\(\Im\)中
一個指定了拓撲\(\Im\)的集合X叫做一個拓撲空間(拓撲空間指的是有序對(\(\Im,X\)),一般來說不專門提到\(\Im\)
從某種角度來說，我們可以認為拓撲空間指的是一個集合X連同它的子集的一個族(拓撲空間指的是集合的某種組合)
\(X\)的子集的全部組合我們稱之為冪集\(2^X\)
例子：
1.1:\(X=\{a,b,c,d,e,f\},\Im_{1} =\{X,\varnothing,\{a\},\{c,d\},\{a,c,d\},\{b,c,d,e,f\}\}\)則\(\Im_{1}\)滿足上述的性質，\(\Im_{1}\)為X上的一個拓撲
1.2:\(X=\{a,b,c,d,e\},\Im_{2} =\{X,\varnothing,\{a\},\{c,d\},\{a,c,e\},\{b,c,d\}\}\)，\(\{a\}\cup\{c,d\} \nsubseteq \Im_{2}\),則\(\Im_{2}\)不是X上的拓撲
1.3\(X=\{a,b,c,d,e\},\Im_{3} =\{X,\varnothing,\{a\},\{f\},\{a,c,f\},\{b,c,d,e,f\}\}\)，\(\{a\}\cap\{f\}\cap\{a,c,f\}\nsubseteq\Im_{3}\),則\(\Im_{3}\)不是X上的拓撲
1.4\(\mathbb{N}\),\(\Im_{4}\)為\(\mathbb{N}\)組成的所有有限子集，\(\Im_{4}\)不是X上的拓撲