代數結構、半群與群——定義與性質

一、代數結構

代數運算

代數運算的定義：設A是非空集合，n∈I₊,函數f:Aⁿ->A稱為A上的一個n元運算，n稱為該運算的階，特別的，A中的每個元素稱為A上的0元運算。

 

代數運算的性質

封閉性：設°是集合A上的n元運算，S是A的非空子集。若 ∀a1,a2,..,an∈S,有°(a1,a2,...,an)∈S,則稱S關於運算°是封閉的。

可交換的：設*是集合A上的二元運算，若∀a,b∈A,有a*b = b*a,則稱*是可交換的，或稱*滿足交換律

可結合的：設*是集合A上的二元運算，若∀a,b，c∈A,有(a*b)*c = a*(b*c),則稱*是可結合的，或稱滿足結合律

分配律：設*和°是集合A上的二元運算。若∀a,b，c∈A,有a*(b°c) = (a*b)°(a*c),則稱*關於°是左可分配的。若∀a,b，c∈A,有(b°c)*a = (b*a)°(c*a),則稱*關於°是右可分配的。

　　　　若*關於°既是左可分配又是右可分配的，則稱*關於°滿足分配律。（由這個定義可以看出，在分配律中，*和°地位是相等的）

 

 

定理：設*是集合A上可結合的二元運算，則∀n∈I₊,∀a1,a2,..,an∈A,表達式a1*a2*..*an經過任意加括號而計算的結果不變。

定理：若*是集合A上可結合的二元運算，則∀a∈A及∀m,n∈I₊,有a^m * aⁿ = a^m+n,(a^m)ⁿ = a^mn.

特殊元素的定義與性質

左幺元：若存在ョel∈A,使得∀a∈A，有e_l * a = a,則稱e_l為關於*的左單位元，也稱左幺元

右幺元：若存在ョer∈A,使得∀a∈A，有a * e_r = a,則稱e_r為關於*的左單位元，也稱右幺元

幺元：若存在ョe∈A,使得∀a∈A，有e * a = a * e =  a,則稱e為關於*的單位元，也稱幺元

左逆元：若存在ョal∈A,使得∀a∈A，有a_l * a = e,則稱a_l為關於*的左逆元

右逆元：若存在ョar∈A,使得∀a∈A，有a * a_r = e,則稱a_r為關於*的右逆元

逆元：若存在ョa’∈A,使得∀a∈A，有a’ * a = a * e =  a,則稱a’為關於*的逆元

消去率：設*是集合A上的二元運算，a∈A。若∀x,y∈A,a*x = a *y ⇒ x=y,則稱a關於*是左可約的。若∀x,y∈A,x*a =  y*a ⇒ x=y,則稱a關於*是右可約的。若∀a∈A，a關於*都是可約的，則稱*滿足消去率。

 

定理：設*是集合A上的二元運算，e_l和e_r分別是關於*的左、右單位元，則e_l = e_r,且它是關於*的唯一單位元。同理有零元存在必唯一、逆元存在必唯一。

代數系統

定義：設S為非空集合，*1，*2，...,*n為S上的代數運算，則稱<S,*1,*2,...,*n>為一個代數系統或代數結構，並稱S為該代數系統的定義域。若S為有限集，則稱<S,*1,*2,...,*n>為有限代數系統，並稱|S|為該代數系統的階.

運算表

各種性質在運算表中的規律：

1. 封閉性：運算表中每個元素都屬於A
2. 可交換性：所有元素關於主對角線對稱
3. 具有等冪性：主對角線上的每個元素與所在行（列）的表頭元素相同
4. 有零元：該元素所在的行和列中的元素都與該元素相同
5. 有單位元：該元素所在的行和列中的元素分別與運算表的行和列表頭元素相同

 

二、半群與亞群

半群和亞群的定義

半群：設<S,·>為代數系統，若·是可結合的二元運算，則稱<S,·>為半群。

亞群：設<M,·>為半群，若關於·有單位元e，則稱<M,·>為亞群，也稱含幺子群或者獨異點。（在強調單位元時，可記作<M,·,e>）

可交換半群（亞群）：若半群（亞群）<S,·>中的運算·是可交換的，則稱<S,·>為可交換半群（亞群）。

半群和亞群的性質

定理：設<S,·>是一個半群，如果S是一個有限群，則必有a∈A,使得a*a=a

證：由於<S,·>是半群，對於任意x∈A,考察序列x,x²,..,xⁿ⁺¹,...,必有xⁱ = x^j,1 ≤ i <  j,令j - i = l,

(a)若j > 2i,記a = x^j-i,則有a * a = a

(b)j ≤ 2i,存在正整數m,使得m*l > i,於是xⁱ = x^j+m*l,j + m*l > 2i,又轉化為情形(1)

 

三、群的定義與性質

群的定義

定義：滿足一下四個條件的代數結構稱為群：(1)封閉性  (2)可結合的 (3)存在單位元  (4)存在逆元

若群中的運算還滿足交換性，則稱其為交換群或阿貝爾群。

有限群：設G是一個群，如果G是有限集，則稱(G,·)為有限群，G中元素的個數稱為階數。

群的判定：

1. 有左單位元，即∃e_l ∈G,使得∀a∈G，e_l * a = a
2. 每個元素有左逆元
3. 則<G,*>是群

群的性質

定理：假設G是一個群，對G中任意元素a，其逆元是唯一的

定理：(消去律)假設G是群，a,b∈G則

1. 若ab = ac,則b = c(左消去律)
2. 若ba = ca,則b = c(右消去律)

定理：設G是群，a,b∈G,則

1. ∀a，b∈A,(a*b)^-1  = b^-1 * a^-1;
2. ∀a,b∈G，方程a*x = b和y*a = b在G中有唯一解
3. (a^-1)^-1 = a
4. G中消去律成立

定理：設G是一個群，則在關於運算*的運算表中任何兩行和兩列都是不相同的，而且每行和每列都是G中元素的一個轉置

證：(1)先證明前面一部分，從每行（列）看，與e所在行（列）相交的元素與表頭相同，相互之間不同，因為表頭每個元素是不相同的

　　（2）證明為一個置換，等價於每行（列）元素兩兩不同。考察第a行，若ab = ac，則由消去律b = c,矛盾

定理：設G是有限群，對任意a∈G，存在正整數r，使得a^r = e.

證：設|G| = n,a,a2,...,aⁿ⁺¹中必有兩項相同，不妨假設a^m = a^l,1≤m≤l≤n+1,令l - m = r,於是由消去律知a^r = e

定理：設G是有限群，對任意a∈G，存在正整數r，使得a^r = a^-1.

證：由上一個定理知，存在r,使得a^r = e,則由消去律得a^r-1 = a^-1。若r-1>0,則結論得到證明。若r-1≤0,r為正整數，則r-1=0,a = e,所以a^r = e = a^-1.

 

子群

定義：假設G是一個群，H∈G是G的一個子群，如果H在G的運算·下也構成群，則稱(H,·)是(G,·)的一個子集(subgroup),記作H≤G

顯然<{e},·>, <{G},·>都是<G,·>的子群，它們稱為<G,·>的平凡子群，而其它子群稱作非平凡子群。

判定：

• H是G的子群當且僅當∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H,且h1^-1∈H
• H是G的有限非空集，則H是G的子群當且僅當∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H
• H是G的子群當且僅當∀h1,h2∈H,有h1*h2^-1∈H

 

群同態與群同構

定義：設<G1,*>和<G2,·>是群，函數h:G1->G2，若∀a，b∈G1，有h(a*b) = h(a)·h(b)，則稱h為<G1,*>到<G2,·>的群同態。若h是雙射，則稱h為群同構

簡單的說就是，先運算再映射與先映射再運算是一樣的。其次，群同構是一種等價關系。

自同構：假設<G,*>是群，若函數f是從<G,*>到<G,*>的同構，則稱f是自同構

一種經典的同構例子：

克萊因四元群和<φ{1,2},⊕>是同構的

其中f的定義為f(e) = Ø，f(a) = {1},f(b) = {2},f(c) = {1,2}

 

參考鏈接：中國大學mooc  劉鐸  離散數學