代數結構、半群與群——定義與性質


一、代數結構

代數運算

代數運算的定義:設A是非空集合,n∈I+,函數f:An->A稱為A上的一個n元運算,n稱為該運算的,特別的,A中的每個元素稱為A上的0元運算

 

代數運算的性質

封閉性:設°是集合A上的n元運算,S是A的非空子集。若a1,a2,..,an∈S,有°(a1,a2,...,an)∈S,則稱S關於運算°是封閉的。

可交換的:設*是集合A上的二元運算,若∀a,b∈A,有a*b = b*a,則稱*是可交換的,或稱*滿足交換律

可結合的:設*是集合A上的二元運算,若∀a,b,c∈A,有(a*b)*c = a*(b*c),則稱*是可結合的,或稱滿足結合律

分配律:設*和°是集合A上的二元運算。若∀a,b,c∈A,有a*(b°c) = (a*b)°(a*c),則稱*關於°是左可分配的。若∀a,b,c∈A,有(b°c)*a = (b*a)°(c*a),則稱*關於°是右可分配的

    若*關於°既是左可分配又是右可分配的,則稱*關於°滿足分配律。(由這個定義可以看出,在分配律中,*和°地位是相等的

 

 

定理:設*是集合A上可結合的二元運算,則∀n∈I+,∀a1,a2,..,an∈A,表達式a1*a2*..*an經過任意加括號而計算的結果不變。

定理:若*是集合A上可結合的二元運算,則∀a∈A及∀m,n∈I+,有am * an = am+n,(am)n = amn.

特殊元素的定義與性質

左幺元:若存在ョel∈A,使得∀a∈A,有el * a = a,則稱el為關於*的左單位元,也稱左幺元

右幺元:若存在ョer∈A,使得∀a∈A,有a * er = a,則稱er為關於*的左單位元,也稱右幺元

幺元:若存在ョe∈A,使得∀a∈A,有e * a = a * e =  a,則稱e為關於*的單位元,也稱幺元

左逆元:若存在ョal∈A,使得∀a∈A,有al * a = e,則稱al為關於*的左逆元

右逆元:若存在ョar∈A,使得∀a∈A,有a * ar = e,則稱ar為關於*的右逆元

逆元:若存在ョa’∈A,使得∀a∈A,有a’ * a = a * e =  a,則稱a’為關於*的逆元

消去率:設*是集合A上的二元運算,a∈A。若∀x,y∈A,a*x = a *y ⇒ x=y,則稱a關於*是左可約的。若∀x,y∈A,x*a =  y*a ⇒ x=y,則稱a關於*是右可約的。若∀a∈A,a關於*都是可約的,則稱*滿足消去率。

 

定理:設*是集合A上的二元運算,el和er分別是關於*的左、右單位元,則el = er,且它是關於*的唯一單位元。同理有零元存在必唯一、逆元存在必唯一。

代數系統

定義:設S為非空集合,*1,*2,...,*n為S上的代數運算,則稱<S,*1,*2,...,*n>為一個代數系統或代數結構,並稱S為該代數系統的定義域。若S為有限集,則稱<S,*1,*2,...,*n>為有限代數系統,並稱|S|為該代數系統的階.

運算表

各種性質在運算表中的規律:

  1. 封閉性:運算表中每個元素都屬於A
  2. 可交換性:所有元素關於主對角線對稱
  3. 具有等冪性:主對角線上的每個元素與所在行(列)的表頭元素相同
  4. 有零元:該元素所在的行和列中的元素都與該元素相同
  5. 有單位元:該元素所在的行和列中的元素分別與運算表的行和列表頭元素相同

 

二、半群與亞群

半群和亞群的定義

半群:設<S,·>為代數系統,若·是可結合的二元運算,則稱<S,·>為半群。

亞群:設<M,·>為半群,若關於·有單位元e,則稱<M,·>為亞群,也稱含幺子群或者獨異點。(在強調單位元時,可記作<M,·,e>)

可交換半群(亞群):若半群(亞群)<S,·>中的運算·是可交換的,則稱<S,·>為可交換半群(亞群)。

半群和亞群的性質

定理:設<S,·>是一個半群,如果S是一個有限群,則必有a∈A,使得a*a=a

證:由於<S,·>是半群,對於任意x∈A,考察序列x,x2,..,xn+1,...,必有xi = xj,1 ≤ i <  j,令j - i = l,

(a)若j > 2i,記a = xj-i,則有a * a = a

(b)j ≤ 2i,存在正整數m,使得m*l > i,於是xi = xj+m*l,j + m*l > 2i,又轉化為情形(1)

 

三、群的定義與性質

群的定義

定義:滿足一下四個條件的代數結構稱為群:(1)封閉性  (2)可結合的 (3)存在單位元  (4)存在逆元

若群中的運算還滿足交換性,則稱其為交換群阿貝爾群

有限群:設G是一個群,如果G是有限集,則稱(G,·)為有限群,G中元素的個數稱為階數。

群的判定:

  1. 有左單位元,即∃e∈G,使得∀a∈G,el * a = a
  2. 每個元素有左逆元
  3. 則<G,*>是群

群的性質

定理:假設G是一個群,對G中任意元素a,其逆元是唯一的

定理:(消去律)假設G是群,a,b∈G則

  1. 若ab = ac,則b = c(左消去律)
  2. 若ba = ca,則b = c(右消去律)

定理:設G是群,a,b∈G,則

  1. ∀a,b∈A,(a*b)-1  = b-1 * a-1;
  2. ∀a,b∈G,方程a*x = b和y*a = b在G中有唯一解
  3. (a-1)-1 = a
  4. G中消去律成立

定理:設G是一個群,則在關於運算*的運算表中任何兩行和兩列都是不相同的,而且每行和每列都是G中元素的一個轉置

證:(1)先證明前面一部分,從每行(列)看,與e所在行(列)相交的元素與表頭相同,相互之間不同,因為表頭每個元素是不相同的

  (2)證明為一個置換,等價於每行(列)元素兩兩不同。考察第a行,若ab = ac,則由消去律b = c,矛盾

定理:設G是有限群,對任意a∈G,存在正整數r,使得ar = e.

證:設|G| = n,a,a2,...,an+1中必有兩項相同,不妨假設am = al,1≤m≤l≤n+1,令l - m = r,於是由消去律知ar = e

定理:設G是有限群,對任意a∈G,存在正整數r,使得ar = a-1.

證:由上一個定理知,存在r,使得ar = e,則由消去律得ar-1 = a-1。若r-1>0,則結論得到證明。若r-1≤0,r為正整數,則r-1=0,a = e,所以ar = e = a-1.

 

子群

定義:假設G是一個群,H∈G是G的一個子群,如果H在G的運算·下也構成群,則稱(H,·)是(G,·)的一個子集(subgroup),記作H≤G

顯然<{e},·>, <{G},·>都是<G,·>的子群,它們稱為<G,·>的平凡子群,而其它子群稱作非平凡子群

判定:

  • H是G的子群當且僅當∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H,且h1-1∈H
  • H是G的有限非空集,則H是G的子群當且僅當∀h1,h2∈H,有h1*h2∈H
  • H是G的子群當且僅當∀h1,h2∈H,有h1*h2-1∈H

 

群同態與群同構

定義:設<G1,*>和<G2,·>是群,函數h:G1->G2,若∀a,b∈G1,有h(a*b) = h(a)·h(b),則稱h為<G1,*>到<G2,·>的群同態。若h是雙射,則稱h為群同構

簡單的說就是,先運算再映射與先映射再運算是一樣的。其次,群同構是一種等價關系。

自同構:假設<G,*>是群,若函數f是從<G,*>到<G,*>的同構,則稱f是自同構

一種經典的同構例子:

克萊因四元群和<φ{1,2},⊕>是同構的

其中f的定義為f(e) = Ø,f(a) = {1},f(b) = {2},f(c) = {1,2}

 

參考鏈接:中國大學mooc  劉鐸  離散數學

 


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