------運算的定義及性質
設S是一個非空集合，映射f：Sn->S稱為S上的一個n元運算。假設“•”是定義在集合S上的一個二元運算。若：
- ∀x,y∈S，x•y∈S，則稱“•”在S上是封閉的。
- ∀x,y∈S，x•y=y•x，則稱“•”在S上是可交換的。
- ∀x,y,z∈S，x•(y•z)=(x•y)•z，則稱“•”在S上是可結合的。
- ∀x∈S，x•x=x，則稱“•”在S上是冪等的。
設◆和☉是同時定義在S上的兩個二元運算，如果
- ∀x,y,zs，x☉(y◆z)=(x☉y)◆(x☉z)且y☉(z◆x)=(y☉x)◆(z☉x)，則稱運算關於是可分配的。
- ◆和☉是可換運算，且∀x,yS，x◆(x☉y)=x及x☉(x◆y)=x，則稱運算☉和◆滿足吸收律。
------代數系統及特異元的定義
一個非空集合S連同若干個定義在S上的運算f1，f2，... ，fk所組成的系統稱為一個代數系統，記為<S,f1,f2,...,fk>。
代數系統內特異元的定義：
1.幺元(單位元)：如果∃eS使得Xs，e•x=e•x=x,則稱e為代數系統的幺元。
2.零元：如果∃θS使得對於S中任意元素x，都有θ•x=x•θ=θ，則稱θ為代數系統中的零元。
3.冪等元：如果∃a S，使得a•a = a，則稱a是系統中的冪等元。
4.逆元：a•b = b•a = e，則a和b互為逆元。
——幺元和零元都是唯一的，每個元素如果有逆元則其逆元唯一。
------群
對於代數系統<S,•>，如果
1.“•”是封閉運算，則為廣群。
2.“•”是封閉運算，也是可結合運算，則為半群。
3.“•”是封閉運算，也是可結合運算，存在幺元，且每個元素都有逆元，則為群。
設n個元素的集合A上的全體置換構成集合Sn。
Sn中兩個置換的復合仍然是A上的一個置換，故運算是封閉的；
由於函數的復合是可結合的，故置換的復合也是可結合的；
Sn 中存在幺置換π = (1) ，使對任何中的置換均有σ • π= π • σ= σ ，因而π = (1)是幺元；
把每個元素的x變成y的置換，其逆置換則把元素y變成x，因而每個置換都有逆；
我們把<S , •>稱為 n次對稱群。
兩種情況下都是子群：
設<G,*>和<S,*>都是群，若S是G的非空子集，則稱S是G的子群。
設<G,*>是群，a ϵ G，記S={ an | n ϵ Z }，則<S,*>是<G,*>的子群。
（其他的定義也都可，滿足第一條就行）
如果<S , •>是群，且運算滿足交換律，則稱<S , •>為可交換群。
<S , •>為可交換群 ↔ 對任意a，b ϵ G，都有( a • b )2=a2 • b2
如果<S , •>是群，且其中存在一個元a使得群可由a生成，即G=(a)。則稱G為循環群，a為G的一個生成元。稱使得an=e的最小正整數n為元素a的周期。
在此基礎上有三條推斷可以直接使用：
- am=e ↔ n|m
- ai=aj ↔ n|(i-j)
- 由a生成的子群恰有n個元素，即(a) = {e,a,a2,…,an-1}
拉格朗日定理
群G中子群H的所有左右陪集都是等勢的；
n階群<G，*>的任何子群<H，*>的階必是n的因子；
n元群G中任何元素的周期必是n的因子。
——正規子群
設<H,*>是群<G,*>的一個子群。如果對於任何a ϵ G，aH=Ha 或 aHa-1 ⊆ H，則稱H是G的正規子群（或不變子群）。
——商群
設<H,*>是群<G,*>的一個正規子群，G/H表示G的所有陪集的集合，則<G/H，•>是一個群，稱為商群。“•”定義為∀aH,bH ϵ G/H，aH•bH = (a*b)H 。
群的同態，群的同構
設<S,*>和<T,•> 是兩個二元代數系統，
如果存在映射f：S→T，使得對任意a1,a2ϵS，f(a1*a2)=f(a1)•f(a2)，則稱S，T同態，當f是雙射時稱f為同構映射。
設f是群<G,*>到<H,*>的同態映射，e‘是H的幺元，記Ker（f）={x|xϵG ∧ f(x)=e'}，Ker（f）稱為f的同態核。 Ker（f）是G的正規子群。