離散數學--十一章 格與布爾代數

格的定義與性質:

布爾代數是計算機邏輯設計的基礎，它是由格引出的。格又是從偏序集引出的。所以我們先回顧一下偏序集中的一些概念。

 偏序集

簡單來說就是集合A中有自反，反自反，傳遞的關系

具體可以看第七章

我們結合Hasse圖看如下關系：

假如 A={1,2,3,6,12,24,36} 且有如下關系

如果：B={2，3，6}

最大|小元

定義：

y是B的最小元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→y≤x) 

y是B的最大元⇔∃y∈B∧∀x(x∈B→x≤y)

 

最大|小元是唯一的（類比函數的最值）

而極大|小元不唯一

 

B最大元6 ，最小元無 

B中Hasse圖的最底（頂）層，且這一層只有一個點才能是最小（大）元

極大|小元

定義：

y是B的極小元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧x≤y) 

y是B的極大元⇔∃y∈B∧¬∃x(x∈B∧y≤x)  

 

這里面B的極小元是 {2，3}，極大元是 {6}

B中Hasse圖的最底（頂）層，則是極小（大）元

上下界

定義：

y是 B的下界⇔∃y∈ A∧∀x(x∈ B→y≤x)

y是B的上界⇔∃y∈A∧∀x(x∈B→x≤y)

 

比如 B上界 {12，24，36} 下界 {1}

Hasse圖中B的最底（頂）層，包括這一層和這一層下面（上面）的所有元素構成的集合則是下（上）界 

確界

定義：

B的上確界（最小上界）下確界（最大下界）就是上界的min，下界的max

 

結合Hasse 圖理解

 

 

若B={2，3，6} 有如上圖的關系

格

講這么多終於到格的定義了

其實只要一個偏序集中任意子集都有上下確界就是格了莫名很簡潔

暗示判斷格要瘋狂枚舉

格誘導的代數系統

交並運算

設<A, ≤>是格,在A上定義二元運算∨和∧為:∀a,b∈A

a∨b=LUB {a,b} | {a,b}的最小上界.Least Upper Bound

a∧b=GLB {a,b} | {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound

稱<A,∨,∧>是由格<A,≤>誘導的代數系統. (∨-並,∧-交)

就是用符號定義了上下確界而已

並且有：設<L, ≼>是格則有運算∨和∧適合交換律、結合

律、冪等律和 吸收律

<==> 設<S, ∗, ◦ >是代數系統, ∗和◦是二元運算, 如

果∗和◦滿足交換律、結合律和吸收律, 則<S, ∗,◦>構成格.

注意一下吸收率就好了：

a∨(a∧b) = a, a∧(a∨b) = a

各種格

分配格

如果交並還滿足分配率就叫分配格

有界格

如果B是A時仍有上下確界 則此時的格為有界格，這個確界分別稱為全上|下界

一般將全上界記為1 ，全下界記為0，一般將有界格L記為<L,∧,∨,0,1>.

有限格L={a1,a2,…,an}是有界格, 則a1∧a2∧…∧an是L的全下

界, a1∨a2∨…∨an是L的全上界. 

0是關於∧運算的零元,∨運算的單位元；1是關於∨運算的

零元,∧運算的單位元.

有補格

有補元的格稱為有補格

a∧b = 0 和 a∨b = 1成立, 則稱b是a的補元

在任何有界格中, 全下界0與全上界1互補

對於一般元素, 可能存在補元, 也可能不存在補元. 如果

存在補元, 可能是惟一的, 也可能是多個補元.

對於有界分配格, 如果元素存在補元, 一定是惟一的

子群格

沒有特別懂

對一個群先找出它的所有子群

比如Z12 <0>,<1>,<2>,<3> ,<6>就是所有子群|也滿足格的定義？也是子格

然后再畫所有子群（子格）的Hasse圖就行了

布爾代數

本質上就是一個集合

如果一個格是有補分配格, 則稱

它為布爾格或布爾代數. 布爾代數標記為

<B,∧,∨,′, 0, 1>, ′為求補運算

這里面的 ' 的運算規律相當於 ‘否’

(a' )' =a 

∀a,b∈B, (a∧b)′ = a′∨b′, (a∨b) ′= a′∧b′ 

(0∧b)∨(a∧0) = 0∨0 = 0

(1∨b′)∧(a′∨1) = 1∧1 = 1

(a∧b)∧(a′∨b′) = (a∧b∧a′)∨(a∧b∧b′)

注意一下：Sn代表 n的因子所構成的集合|別到時候不知道

比如 s6={1，2，3，6}