離散數學（古典數理邏輯）

命題邏輯

命題與公式

1.命題

一句有真假意義的話（陳述句），記作P。不能是悖論、祈使句、疑問句、感嘆句

命題的否定：記以 \(\lnot\)P

2.析取

P\(\lor\)Q 讀作“P或Q” 真值規定：P\(\lor\)Q是真的當且僅當P，Q中至少有一個是真的。注意可兼或。

3.合取

P\(\land\)Q 讀作“P且Q” 真值規定：P\(\land\)Q是真的當且僅當P和Q都是真的。

4.蘊涵

P\(\rightarrow\)Q 讀作“P蘊涵Q” 真值規定： P\(\rightarrow\)Q是假的當且僅當P是真的而Q是假的。

5.等價

P\(\leftrightarrow\)Q 讀作“P等價Q” 真值規定：P\(\leftrightarrow\)Q是真的當且僅當P，Q或者都是真的，或者都是假的。

例子：

除非他以書面或口頭的方式正式通知我，否則我不參加明天的會議。

令P：他書面通知我； Q：他口頭通知我； R：我參加明天的會議。

於是，上述語句可表示為(P\(\lor\)Q)\(\leftrightarrow\)R。

6.命題符號稱為原子。

例如，Q，S，…等都是原子。

7.命題公式

命題邏輯中的公式，是如下定義的一個符號串：
(1) 原子是公式；
(2) 0、1是公式；
(3) 若G，H是公式，則(\(\lnot\)G)，(G\(\lor\)H)， (G\(\land\)H)，(G\(\rightarrow\)H)，(G\(\leftrightarrow\)H)是公式；
(4) 所有公式都是有限次使用(1)，(2)，(3)得到的符號串。

規定：

公式(\(\lnot\) G)的括號可以省略，寫成\(\lnot\)G。
整個公式的最外層括號可以省略。
五種邏輯聯結詞的優先級按如下次序遞增：\(\leftrightarrow \rightarrow \land \lor \lnot\)

8.解釋

第一種寫法：I1：\(\frac{P\,\, Q\,\,}{1 0}\)

第二種寫法：{P，\(\lnot\) Q}

第三種寫法：語言描述，P取1，Q取0

錯誤寫法：P=1，Q=0

9.真值表

10.恆真、恆假、可滿足

公式G稱為恆真的(或有效的)，如果G在它的所有解釋下都是真的；
公式G稱為恆假的(或不可滿足的)，如果G在它的所有解釋下都是假的；
公式G稱為可滿足的，如果它不是恆假的

如果公式G在解釋I下是真的，則稱I滿足G； 如果G在解釋I下是假的，則稱I弄假G

命題公式的等價關系和蘊涵關系

1.公式的等價

公式G，H等價 iff 公式G\(\leftrightarrow\)H恆真。
公式間的等價關系有自反性、對稱性、傳遞性。

基本等價式

證明命題公式恆真或恆假的兩個方法

方法一. 真值表方法。

方法二. 以基本等價式為基礎，通過反復對一個公式的等價代換，使之最后轉化為一個恆真式或恆假式，從而實現公式恆真或恆假的證明。

2.完備集

設Q是邏輯運算符號集合，若所有邏輯運算都能由Q中元素表示出來，而Q的任意真子集無此性質，則稱Q是一個完備集。

核心步驟：取兩次反

3.與非式

命題 “P與Q的否定”稱為P與Q的與非式，記作P\(\uparrow\)Q。

真值規定:P\(\uparrow\)Q為真 iff P,Q不同時為真。

備注：\(\uparrow\)是一個完備集

4.或非式

命題 “P或Q的否定”稱為P與Q的或非式，記作P\(\downarrow\)Q

真值規定：P\(\downarrow\)Q為真 iff P，Q同時為假。

備注：\(\downarrow\)是一個完備集

5.公式的蘊涵

定理：設G，H是兩個公式。 稱H是G的邏輯結果(或稱G蘊涵H)，當且僅當對G，H的任意解釋I，如果I滿足G，則I也滿足H，記作G\(\Rightarrow\)H。

是一種部分序關系（自反、反對稱、傳遞）

G\(\Rightarrow\)H當且僅當G\(\rightarrow\)H是恆真的

6.共同蘊含

定理：設G1, …, Gn，H是公式。 稱H是G1, …,Gn的邏輯結果(或稱G1, …, Gn共同蘊涵H)，當且僅當 (G1\(\land\) …\(\land\) Gn) \(\Rightarrow\) H。
顯然，公式H是G1, …, Gn的邏輯結果 iff
公式((G1\(\land\) …\(\land\) Gn)\(\rightarrow\)H)是恆真的。

例如，P，P\(\rightarrow\)Q共同蘊涵Q。

如果H1, …, Hm，P共同蘊涵公式Q，則H1, …, Hm共同蘊涵公式P\(\rightarrow\)Q。

7.演繹

定理：設S是公式集合，G是一個公式。於是，從S演繹出G的充要條件是G是S的邏輯結果。.

定理： 設S是前提公式集合，G，H是兩個公式。 如果從S∪{G}可演繹出H，則從S可演繹出G\(\rightarrow\)H。

基本蘊含式：

8.公式間蘊涵的證明方法

給出兩個公式G，H，證明G蘊涵H。
（1）真值表法；
（2）證G\(\rightarrow\)H是恆真公式；
（3）利用一些基本等價式及蘊涵式進行推導；
（4）任取解釋I，若I滿足G，往證I滿足H；
（5）反證法，設結論假，往證前提假 (即證明\(\lnot\)H \(\Rightarrow\) \(\lnot\)G)

9.形式演繹法

根據一些基本等價式和基本蘊涵式，從S出發，演繹出G，在演繹過程中遵循以下三條規則：
規則1. 可隨便使用前提。 (根據演繹定義)
規則2. 可隨便使用前面演繹出的某些公
式的邏輯結果。 (根據演繹的定義)
規則3. 如果需要演繹出的公式是P\(\rightarrow\)Q的形式，可將P做為附加前提使用，而力圖去演繹出Q。

范式

1、析取范式和合取范式

原子或原子的否定稱為文字(literal)

有限個文字的析取式稱為一個子句；

有限個文字的合取式稱為一個短語。

特別，一個文字既可稱為是一個子句，也可稱為是一個短語。

有限個短語的析取式稱為析取范式；

有限個子句的合取式稱為合取范式。

特別，一個文字既可稱為是一個合取范式，也可稱為是一個析取范式。一個子句，一個短語既可看做是合取范式，也可看做是析取范式。

定理3.1.4 ：對於任意命題公式，都存在等價於它的析取范式和合取范式。

主析取范式：P、Q.....原始值為1

極小項：對於n個原子P1,…,Pn而言，其不同的解釋共有\(2^n\)個，對於P1,…,Pn的任一個極小項m，\(2^n\)個解釋中，有且只有一個解釋使m取1值。

主析取范式：設命題公式G中所有不同原子為P1,…,Pn，如果G的某個析取范式G’中的每一個短語，都是關於P1,…,Pn的一個極小項，則稱G’為G的主析取范式。

定理 ：在真值表中，使得公式為真的解釋所對應的極小項的析取即為此公式的主析取范式。

用范式判定公式的恆真恆假性：

引理3.1.2：短語是恆假的當且僅當至少有一個原子及其否定（也稱互補對）同時在此短語中出現。

定理3.1.8：命題公式G是恆假的當且僅當在等價於它的析取范式中，每個短語均至少包含一個原子及其否定。

判定公式是否恆真的其它方法：

1.把公式化成主析取范式，公式恆假時，主析取范式沒有極小項； 公式恆真時，主析取范式有全部極小項。

2. 一種判定算法對任給要判定的命題公式G，設其中有原子P1,P2,…,Pn，令P1取1值，求G的真值，或為1，或為0，或成為新公式G1且其中只有原子P2,…, Pn，再令P2取0值，求G真值.如此繼續，到最終只含0或1為止，若最終結果全為1，則公式G恆真，若最終結果全為0，則公式G恆假，若最終結果有1，有0，則是可滿足的。

主合取范式：P、Q.....原始值為0

極大項

極小項與極大項性質：

求主合取范式和主析取范式的方法：

方法一. 真值表法。主析取范式恰好是使得公式為真的解釋所對應的極小項的析取組成，主合取范式恰好是使得公式為假的解釋所對應的極大項的合取組成。

方法二. 公式推導法。

主合取范式與主析取范式的應用：

1.利用主合取范式與主析取范式可求解判定問題

2.證明等價式成立

若二者主范式相同，則給定的兩公式是等價的，否則，給定的兩公式不等價。

謂詞邏輯

謂詞邏輯的基本概念

定義3.2.1 ：可以獨立存在的物體稱為個體。(它可以是抽象的，也可以是具體的。)

定義3.2.2 ：設D是非空個體名稱集合，定義在\(\mathrm{D}^{\mathrm{n}}\)上取值於{1，0}上的n元函數，稱為n元命題函數或n元謂詞。其中表\(\mathrm{D}^{\mathrm{n}}\)示集合D的n次笛卡爾乘積。

定義3.2.3 ：語句 “對任意x”稱為全稱量詞，記以\(\forall\)x； 語句 “存在一個x”稱為存在量詞，記以\(\exists\)x。

量詞的語義規定：

量詞的約束范圍

定義3.2.4 ：在一個由謂詞，量詞，邏輯聯結詞，括號組成的有意義的符號串（實際是指下一節將嚴格定義的公式）中，稱變量的出現是約束的，當且僅當它出現在使用這個變量的量詞范圍之內；稱變量的出現是自由的，當且僅當這個出現不是約束的。

約束變量的改名規則：在由謂詞，量詞，邏輯聯結詞，括號組成的有意義的符號串（實際是下節定義的公式）中，可將其中出現的約束變量改為另一個約束變量，這種改名必須在量詞作用區域內各處以及該量詞符號中實行，並且改成的新約束變量要有別於改名區域中的所有其它變量。
顯然改名規則不改變原符號串的真值。

謂詞公式

謂詞公式的恆真、恆假、可滿足

定義3.2.10 ：公式G稱為可滿足的，如果存在解釋I，使G在I下取1值，簡稱I滿足G。若I不滿足G，則簡稱I弄假G。

定義3.2.11 ：公式G稱為是恆假的(或不可滿足的)，如果不存在解釋I滿足G；公式G稱為恆真的，如果G的所有解釋I都滿足G。

謂詞公式的等價關系和蘊涵關系

公式間的等價：

定義3.2.12 ：公式G，H稱為等價，記以G=H，如 果公式G\(\leftrightarrow\)H是恆真的。
顯然，公式G，H等價的充要條件是：對G，H的任意解釋I，G，H在I下的真值相同。

公式間的蘊涵：

謂詞公式蘊涵的證明方法 ：

范式

前束范式：

定義3.2.14： 謂詞邏輯中公式G稱為前束范式，如果G有如下形狀：Q1x1…QnxnM 其中 Qixi或者是\(\forall\)xi，或者\(\exists\)xi，i=1，…，n，M是不含量詞的公式，Q1x1…Qnxn稱為首標，M稱為母式。

對任意謂詞公式，量詞是不能隨便提前的。

引理3.2.1

公式的前束范式化：

引理3.2.2 ：

將公式G化成等價的前束范式：

1. 使用基本等價式

​ 2.德摩根率

​ 3.如果必要的話，則將約束變量改名

​ 4.使用引理3.2.1，3.2.2將所有量詞都提到公式的最左邊。

Skolem范式：

定義3.2.15： 設G是一個公式，Q1x1…QnxnM是與G等價的前束范式，其中M為合取范式形式。
若Qr是存在量詞，並且它左邊沒有全稱量詞，則取異於出現在M中所有常量符號的常量符號c，並用c代替M中所有的xr，然后在首標中刪除Qrxr。若Qs1, …, Qsm是所有出現在Qrxr左邊的全稱量詞(m1,1s1<s2<…<sm<r),則取異於出現在M中所有函數符號的m元函數符號f(xs1,…,xsm )，用f(xs1,…,xsm )代替出現在M中的所有xr，然后在首標中刪除Qrxr，對首標中的所有存在量詞做上述處理后，得到一個在首標中沒有存在量詞的前束范式，這個前束范式就稱為公式G的Skolem范式。

白話：先把謂詞公式化為前束范式，然后看量詞符號，存在量詞x是標志，用存在量詞左邊的全稱量詞作為函數自變量替換范式里的x

注意：

1. Skolem范式與原公式是不等價的
2. 公式G與其Skolem范式S可滿足性是等價的
3. G與S的恆假性等價
4. G與S的恆真性不等價
5. S蘊涵G，G不蘊涵S

往期回顧

離散數學（集合論）
離散數學（古典數理邏輯）
離散數學（圖與網絡）
離散數學（數論基礎）
離散數學（格與布爾代數）
離散數學（群、環、域）