1謂詞
1.1引入
在研究命題邏輯中，原子命題是命題演算中最基本的單位，不再對原子命題進行分解，這樣會產生兩大缺點：
（1）不能研究命題內部的結構，成分和內部邏輯的特征；
（2）也不可能表達兩個原子命題所具有的共同特征，甚至在命題邏輯中無法處理一些簡單又常見的推理過程。
例如 著名的“蘇格拉底三段論”：
凡人都是要死的，
蘇格拉底是人，
所以蘇格拉底是要死的。
顯然，該論證是正確的，但不能用命題邏輯的推理規則推導出來。
1.2定義
我們可將原子命題分解成兩部分：個體（名詞，代詞）+ 謂詞（動詞）。
例如： 人總是要死的
是無理數。
小王比小明高。
在命題的研究中，基於謂詞分析的邏輯，稱為謂詞邏輯。謂詞邏輯是命題邏輯的擴充和發展。
謂詞邏輯 (對原子命題分割)
1.3謂詞的概念與表示法
簡單命題中表示主體或客體的詞，稱為個體。通常用a，b，c，…表示。
用以刻畫客體的性質或關系的模式，稱為謂詞。通常用大寫字母 F，G，H，…表示。
例如 張華是大學生。李明是大學生。
若 G：表示“是學生”，a：表示“張華”，b：表示“李明”.
則上述兩個命題可符號化為： G(a)與G(b).
例如 小王比小明高。
若 H：表示“…比…高”； a：表示“小王”， b：表示“小明”.
則上述命題可符號化為：H(a,b).絕不可以寫為：H(b, a).
1′謂詞填式：謂詞字母后填以客體所得的式子。 例如： G(a) 、G(b)、H(a, b)
2′若謂詞字母聯系着一個客體，則稱作一元謂詞;
若謂詞字母聯系着二個客體，則稱作二元謂詞;
若謂詞字母聯系着n個客體，則稱作n元謂詞。
一元謂詞表示一個個體所具有的性質；
n 元謂詞表示n個個體之間的關系。
3′客體的次序必須是有規定的。
1.4命題函數
1.4.1定義
例如 F:“總是要死的。”
a:“張華”; a:“老虎” ; c:“桌子”;
則 F(a)，F(b)， F(c)均為命題。
在上例中，若令 x 表示個體變元， x ɛ {a,b,c}，則 F(x)：x 總是要死的.稱F(x)為命題函數。 (變化的命題)
1.4.2簡單命題函數
定義：由一個謂詞字母F和一個非空的個體變元集合D所組成的表達式，稱為簡單命題函數。
分析：
a）當簡單命題函數僅有一個個體變元時，稱為一元簡單命題函數；
當命題函數含有兩個個體變元時，則稱為二元簡單命題函數。
b）用任何個體去取代客體變元之后，則命題函數就變為命題；
c）命題函數中個體變元的取值范圍稱為個體域（論述域）。
例如：F(x) ： x 是質數。 （一元命題函數）
G(x , y)： x 生於 y。（二元命題函數）
其值取決於個體域。
個體域的給定形式有二種：
①具體給定。 eg：{a, b, c}
②全總個體域：宇宙間的一切事物組成的個體域。所有的個體都從該域中取得。
1.4.3命題函數化為命題
將命題函數化為命題，通常有兩種方法：
1）將 x 取定一個值。 如：F(4)，F(5).
2）將謂詞量化。 如：∀ x F(x)， ∃ x F(x).
例如：任何正整數都大於零。——命題
可表示為 ∀x F(x).
謂詞與函數的比較
| 代數 |
自變量 |
函數 |
函數值 |
定義域 |
| 邏輯 |
個體變元 |
謂詞 |
命題 |
個體域 |
2量詞
2.1定義
對個體變元數量限制的詞，稱為量詞。
2.2全稱量詞
例如 “這里所有的東西都是蘋果”
可寫成： ∀x A(x)或(∀x) A(x).
“∀”幾種表達式的讀法：
∀ x P(x)： “對所有的x，x 是…”；
∀ x ¬ P(x) ： “對所有x，x 不是…”；
¬∀ x P(x) ： “並不是對所有的x，x 是…”；
¬∀ x ¬ P(x) ： “並不是所有的x，x 不是…”。
例如：將“對於所有的 x 和任何的 y，如果 x高於 y，那么 y 不高於 x”寫成命題表達形式。
解： ∀ x ∀ y (G(x , y) → ¬G(y , x))
G(x , y)：x 高於 y.
2.3存在量詞
“∃”幾種表達式的讀法：
∃ x P(x)： “存在一個 x，使 x 是…”；
∃ x ¬ P(x) ： “存在一個 x，使 x 不是…”；
¬ ∃ x P(x) ： “不存在一個 x，使 x 是…”；
¬ ∃ x ¬ P(x) ： “不存在一個 x，使 x 不是…”。
例如：（a）存在一個人；
（b）某個人很聰明；
（c）某些實數是有理數
將（a）,（b）,（c）寫成命題。
解：規定：M(x)：x 是人；C(x)：x 是很聰明；
R1(x)：x 是實數(特性謂詞)；
R2(x)：x 是有理數；
則 （a） ∃ x M(x) ；
（b） ∃ x (M(x) ∧ C(x))；
（c） ∃ x (R1(x) ∧ R2(x)) 。
2.4真值與否定
量化命題的真值：決定於給定的個體域.
例如 給定個體域：{a1，…，an}。
以{a1，…，an}中的每一個個體代入
量詞與否定聯結詞“¬”之間的關系：
例：設P(x)表示x今天來校上課， 比較可以得到：
¬（∀x)P(x) ⇔ (∃ x)¬ P(x)
¬（ ∃ x)P(x) ⇔ (∀x)¬ P(x)
3謂詞公式
3.1定義
不出現命題聯結詞和量詞的謂詞命名式稱為原子謂詞公式，並用P(x1，…，xn)來表示。
（P為 n 元謂詞， x1，…，xn為個體變元），當n=0 時稱為零元謂詞公式。
謂詞公式的歸納法定義：
⑴原子謂詞公式是謂詞公式；
⑵若A是謂詞公式，則¬A也是謂詞公式；
⑶若A, B都是謂詞公式，則(A∧B），(A∨B) ，(A→B)和(A↔B)都是謂詞公式；
⑷若A是謂詞公式，x 是任何變元，則
∀ x A， ∃ x A也都是謂詞公式；
⑸只有按⑴—⑷所生成得的那些公式才是謂詞公式（謂詞公式又簡稱“公式”）。
例如 將下列命題翻譯成謂詞公式。
(1) 凡偶數均能被2整除。
(2) 存在着偶素數。
(3) 沒有不犯錯誤的人。
(4) 在北京工作的人未必是北京人。
(5) 盡管有些人聰明，但未必一切人都聰明。
(6) 每列火車都比某些汽車快。
某些汽車比所有的火車慢。
3.2量詞使用注意
使用量詞時，應注意以下5點：
(1) 在不同個體域中，命題符號化的形式可能不一樣;
(2) 一般,除非有特別說明，均以全總個體域為個體域;
(3)n元謂詞化為命題至少需要n個量詞，
(4)多個命題變元出現時，不能隨意顛倒順序，否則命題的含義完全改變。
(5) 在引入特性謂詞 M(x)時，M(x)以蘊含前件加在“∀”后，以合取項加在“∃”后。即，
對全稱量詞“∀”，用“ M(x)→? ”加入；
對存在量詞“∃”，用“ M(x)∧ ?”加入。
例1：將下面命題符號化。
(1) 所有的有理數均可表成分數。
(2) 有的有理數是整數。
例2：任何整數或是正的，或是負的。
例3：試將蘇格拉底論證符號化：“所有的人總是要死的。因為蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。”
3.3 變元的約束
3.3.1定義
轄域：緊接在量詞后面括號內的謂詞公式。
例如 ∀x P(x) ，∃ x (P(x) ∧ Q(x)) 。
若量詞后括號內為原子謂詞公式，則括號可以省去。
約束變元：在量詞的轄域內，且與量詞下標相同的變元。
自由變元：當且僅當不受量詞的約束。
例如： ∀x P(x , y) , ∀x(P(x)→∃ y(P(x , y)) 。
3.3.2約束變元的改名規則
在謂詞公式中，約束變元的符號是可以更改的。
例如：
下面介紹約束變元的改名規則：
（a）若要改名，則該變元在量詞及其轄域內的所有出現均需一起更改；
（b）改名時所用的變元符號必須是量詞轄域內未曾出現的符號。
例如：公式 ∀x P(x)→∃ y P(x , y) 可改寫成
∀x P(x)→∃ z P(x , z) ，
但不能改成：∀x P(x)→∃ x P(x , x) ，
∃ x P(x , x)中前面的x原為自由變元，現在變為約束變元了。
3.3.3區別是命題還是命題函數的方法
（a）若在謂詞公式中出現有自由變元，則該公式為命題函數；
（b）若在謂詞公式中的變元均為約束出現，則該公式為命題。
例如： ∀x P(x, y, z)是二元謂詞，
∃ y ∀x P(x, y, z)是一元謂詞，
∀x P(x)是命題
即謂詞公式中如果沒有自由變元出現，則該公式是一個命題。
例1：“沒有不犯錯的人。”
解：設 F(x) 為“x犯錯誤”，
M(x) 為“x是人”（特性謂詞）。
可把此命題寫成：
例2： “x 是 z 的父親且 z 是 y 的母親”。
解：設P(z)：z是人；
F(x , z)：x是z的父親；
M(z , y)：z是y的母親。
則謂詞公式可寫成：
且該命題函數表示“x 是 y 的外祖父”。
3.4個體域
(1)個體域不同，則表示同一命題的謂詞公式的形式不同。
例如：“所有的人都是要死的。”
令D(x)：x是要死的。
下面給出不同的個體域來討論：
(ⅰ)個體域為：{人類}，
則可寫成 ∀x D(x) ；
(ⅱ)個體域為任意域（全總個體域），則人必須首先從任意域中分離出來.
設M(x)：x是人，（M(x)為特性謂詞）。
命題可寫成∀x(M(x) → D(x)).
(2) 個體域不同，則表示同一命題的值不同。
| 設 Q(x): x<5 |
{-1,0,3} |
{-3,6,2} |
{15,30} |
| ∀ x Q(x) |
T |
F |
F |
| ∃ x Q(x) |
T |
T |
F |
(3)對於同一個體域，用不同的量詞時，特性謂詞加入的方法不同。
對於全稱量詞，其特性謂詞以前件的方式加入;
對於存在量詞，其特性謂詞以與的形式加入。
(4)量詞對變元的約束，往往與量詞的次序有關。
例如：∀y ∃x (x < y-2))表示任何 y 均有 x， 使得x < y-2。
4謂詞演算的永真公式
4.1定義
A，B為兩個謂詞公式，E為它們的共同個體域，
若對A和B的任一組變元進行賦值，都有A和B的值相同，
則稱A和B遍及E是互為等價的，記為A ⇔ B.
給定謂詞公式A，E是A的個體域。
若給A中個體變元指派E中的每一個個體所得命題的值均為真，
則稱A在E中是永真的。
若E為任意域則稱A是永真的。
給定謂詞公式A，E是A的個體域。
若給A中個體變元指派E中每一個個體，在E中存在一些個體名稱，使得指派后的真值為“T”，則A稱是可滿足的。
若給A中個體變元指派個體域中的任一個體，命題的值均為“F”，則稱A是永假的。
4.2謂詞公式的永真式
4.2.1不含量詞的謂詞公式的永真式
只要用原子謂詞公式去替換命題公式的永真式中的原子命題變元，則在第一章中永真蘊含式和等價公式均可變成謂詞演算中的永真式：
4.2.2 含有量詞的等價式和永真蘊含式
設個體域為：S={a1，a2，…，an}，我們有：
說明：
若個體域是有限的，則可省掉量詞。
若個體域是無限的，則可將上述概念推廣從而省去量詞，不過要注意這是由無限項組成的命題。
例如：設個體域為：N={0,1,2…}，A(x)：x>3 ，則可寫出：
∀ x A(x) ⇔ A(0) ∧ A(1) ∧ A(2)∧ …
∃ x A(x) ⇔ A(0) ∨ A(1) ∨ A(2) ∨ …
證明：設個體域為： S={a1，a2，…，an}.
¬ ∃ x P(x) ⇔ ¬（P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)）
⇔ ¬ P(a1) ∧ ¬ P(a2) ∧ … ∧ ¬ P(an)
⇔ ∀ x ¬P(x)
下面舉例說明量化命題和非量化命題的差別：否定形式不同
例如： 否定下列命題：
(a)上海是一個小城鎮 A(s)
(b)每一個自然數都是偶數 ∀ x (N(x) → E(x))
上述二命題的否定為：
(a)上海不是一個小城鎮 ¬ A(s)
(b)有一些自然數不是偶數
¬ ∀ x (N(x) → E(x))
(b)有一些自然數不是偶數
¬ ∀ x (N(x) → E(x)) ⇔ ∃ x ¬ (N(x) → E(x))
⇔ ∃ x ¬ (¬ N(x)∨E(x))
⇔ ∃ x (N(x)∧¬ E(x))
結論：對於非量化命題的否定只需將動詞否定，而對於量化命題的否定不但對動詞進行否定，而且對量詞同時進行否定，其方法是：
∀ x 的否定變為∃ x ， ∃ x 的否定變為∀ x 。
證明：設個體域為： S={a1，a2，…，an}.
∀x A(x)∨P
⇔ (A(a1) ∧ A(a2) ∧ … ∧ A(an) )∨ P
⇔ (A(a1) ∨ P) ∧ … ∧ (A(an) ∨ P)
⇔ ∀ x（A(x) ∨ P ）
證明：設個體域為： S={a1，a2，…，an}.
∃ x（A(x) → B ）
⇔ (A(a1) → B) ∨ … ∨ (A(an) → B)
⇔ (¬ A(a1) ∨ B) ∨ … ∨ (¬ A(an) ∨ B)
⇔ (¬ A(a1) ∨ … ∨ ¬ A(an)) ∨ B
⇔ ∃ x ¬ A(x) ∨ B
⇔ ¬ ∀x A(x) ∨ B
⇔ ∀ x A(x) → B 
證明：設個體域為： S={a1，a2，…，an}.
1. ∀ x（A(x) ∧ B (x) ）
⇔ (A(a1)∧B (a1) ) ∧ … ∧ (A(an)∧B (an) )
⇔ (A(a1)∧ … ∧A(an)) ∧ (B(a1)∧ … ∧B(an))
⇔ ∀ x A(x) ∧ ∀ x B (x)
下面列出對應的表達式可以看出其不同處：
設 x 的個體域為： {a1, a2, …, an} ，
y 的個體域為： {b1, b2, …, bn} ，
則：
(1) ∀x ∃y P(x , y)
⇔ ∃y P(a1 , y) ∧ … ∧ ∃y P(an , y)
⇔ （P(a1 , b1) ∨ … ∨ P(a1 , bn) ）∧ … ∧（P(an , b1) ∨ … ∨ P(an , bn) ）
(2) ∃y ∀x P(x , y)
⇔ ∀x P(x , b1) ∨ … ∨ ∀x P(x , bn)
⇔ （P(a1 , b1) ∧ … ∧ P(an , b1) ） ∨ … ∨ （P(a1 , bn) ∧ … ∧ P(an , bn) ）
例如：x , y的個體域{鞋子}，
P(x , y) ：x 和 y 配成一雙鞋子。
則
∀x ∃y P(x , y) ⇔ T
∃y ∀x P(x , y) ⇔ F
例如：x , y 的個體域為 N={0,1,2…}，則
∀x ∀y P(x , y)
⇔ ∀y P(0, y) ∧∀y P(1, y) ∧∀y P(2, y) ∧ …
⇔ （P(0, 0) ∧P(0, 1) ∧ … ∧ P(0, j) ∧ …）
∧… ∧
（P(i, 0) ∧P(i, 1) ∧ … ∧ P(i , j) ∧ …）
∧…
⇔ （P(0, 0) ∧P(1, 0) ∧ … ∧ P(i , 0) ∧ …）
（P(0, 1) ∧P(1, 1) ∧ … ∧ P(i , 1) ∧ …）
∧…
⇔ ∀x P(x, 0) ∧∀ x P(x, 1) ∧ … ∧ ∀ x P(x, j) ∧ …
⇔∀y ∀x P(x , y)
同樣： ∃ x ∃ y P(x , y) ⇔∃ y ∃x P(x , y) 
例如 ¬ ∀ x ∃ y ∀ z P(x , y , z)
⇔ ∃ x ¬ ∃ y∀ z P(x , y , z)
⇔ ∃ x ∀ y ¬ ∀ z P(x , y , z)
⇔ ∃ x∀ y ∃ z ¬ P(x , y , z) 
4.3前束范式
4.3.1定義
定義：一個公式，如果量詞均非否定地在全式的開頭，它們的作用域延伸到整個公式的末尾，則稱此公式叫前束范式
例如： ∀x ∃ y ∀z (¬ Q(x , y) ∨ R(z))
(前束范式)
定理：任何一個謂詞公式均和一個前束范式等價。
證明:
①利用量詞轉換把 ¬ 深入到原子謂詞公式前;
②利用約束變元的改名規則;
③利用量詞轄域的擴張收縮律,把量詞移到全式的最前面，這樣一定可得到等價的前束范式。
5謂詞演算的推理規則
5.1 含有量詞的特殊永真式
設A(x)是一個謂詞公式，x 是其中的自由變元，
若把 y 代入到A(x)里而不會產生變元新的約束出現，則稱A(x)對於 y 是自由的。
例如：①下面A(x)對於 y 是自由的：
A(x) ⇔ ∀z P(z) ∧ Q(x , z)，這里 x 為自由變元，若用 y 去取代A(x)中的x，
A(y) ⇔ ∀z P(z) ∧ Q(y , z)，這里 y 也為自由變元.
例如：②下面A(x)對於 y 不是自由的：
A(x) ⇔ ∀y （S(x) → S(y)），這里 x 為自由變元，若用 y 去取代A(x)中的x，
A(y) ⇔ ∀y （S(y) → S(y)），這里 y 變為約束變元了，產生了新的約束出現.
如果必須要代入 y，則應先將A(x)中的約束變元 y 改名，即
A(x) ⇔ ∀z （S(x) → S(z)），
然后用 y 去取代A(x)中的x，得
∀z （S(y) → S(z)），y 仍為自由變元.
總結： 判定A(x)對於 y是自由的，只要看公式A(x)中∀y ，∃ y的轄域內有沒有 x 的自由出現就行：
若有 x 的自由出現，則A(x)對於 y 不是自由的，若無 x 的自由出現，則一定可以肯定A(x)對於 y 是自由的。
5.2四個推理規則
5.3推理規則使用說明
5.3.1命題邏輯中
命題邏輯中的P規則，T規則，CP規則和間接證明法，都可以引用到謂詞邏輯的推理規則中來，
不過要注意對量詞做適當處理
其方法是：可用US，ES在推導中去掉量詞；可用UG，EG使結論量化。
5.3.2四個推理規則
四個推理規則的使用說明：
（1）在使用ES，US時，一定要是前束范式；
（2）推導中連續使用US規則時，可用相同變元
∀x P(x) ⇒ P(y)
∀x Q(x) ⇒ Q(y)
（3）推導中若既用ES，又用US， 則必須先用ES ，后用US，方可取相同變元，反之不行。
∃ x P(x) ⇒ P(y)
∀x Q(x) ⇒ Q(y)
（4）推導中連續使用ES規則時，使用一次更改一個變元。
例1：證明蘇格拉底三段論：“凡人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。”
證明：設 F(x)：x是人；
G(x)：x是要死的；
a：蘇格拉底
於是命題可化為： 
例2 證明 ∀x (H(x) → M(x)) ，∃x H(x) ⇒ ∃x M(x)
例3 證明 ∃x (P(x) → Q(x)) ⇒ ∀x P(x) → ∃x Q(x)
例4 證明
¬ ∀x ( P(x) ∧ Q(x) ) ，∀x P(x) ⇒ ¬ ∀x Q(x)
例5 下列結論能否從前提中推出：
∀x ( P(x) → Q(x) ) ，¬ Q(c) ⇒ ∀x ¬P(x)
注意：在使用US，ES，UG，EG這四條規則時，要嚴格按照它們的規定去使用。
5.3.3 二個量詞的推理
構造下面定理的證明： 
