一、格
假設(L, ≤)為偏序集，如果對於任意 a, b∈L ，{a, b} 都存在上確界和下確界，則稱 (L, ≤) 為一個格（lattice）
顯然上確界和下確界有唯一性
上確界LUB({a, b})記作a∨b，稱之為a與b的並（join）
下確界GLB({a, b})記作a∧b，稱之為a與b的交（meet）
舉例：對任意a, b∈L，a≤b
全序集(A , ≤)必然是格，a∨b=b，a∧b=a
(Z+, |)是一個格，a∨b=LCM(a , b)，a∧b=GCD(a , b)
(P(S) , ⊆)是一個格（冪集格），a∨b=a∪b，a∧b=a∩b
恆等關系IS是偏序關系，但(S , IS)不是格（如果偏序集中存在孤立頂點，一定不會構成格）
a∨b=b a≤b a∧b=a，因此≤關系實際可用∨和∧來表示，(L , ≤)可記作(L, ∨ , ∧)
對任意a, b, c∈L，顯然有：
（1）冪等律：a∨a=a∧a=a
（2）交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a
（3）結合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，(a∧b)∧c=a∧(b∧c)
（4）吸收律：a∨(a∧b)=a∧(a∨b)=a
但是格中運算不滿足分配律：a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c)
格的等價定義：設<S , * , ○>是具有兩個二元運算的代數系統，且對於*和○都滿足交換律、結合律、吸收律，則可以適當定義S中的偏序關系≤，使得(S , ≤)是格，此時∀a , b∈S都有a∧b=a*b，a∨b=a○b
證明：由吸收律a=a○(a*b)=a*(a○b)可以推得冪等律a*a=a*(a○(a*a))=a，同理a○a=a
定義二元關系R，當a○b=b時(a , b)∈R，R是S上的偏序關系
自反性：∀a∈S都有a○a=a，(a , a)∈R
反對稱性：aRb且bRa ⟺a○b=b=b○a=a
傳遞性：aRb且bRc ⟹ a○b=b且b○c=c ⟹b○c=c=(a○b)○c=a○(b○c)=a○c ⟹aRc
偏序關系R還可以表述為，當a*b=a時(a , b)∈R
若a○b=b則a*b=a*(a○b)=a，若a*b=a則a○b=(a*b)○b=b○(b*a)=b，從而有a○b=b ⟺a*b=a ⟺a≤b
a , b∈S，a○(a○b)=(a○a)○b=a○b，b○(a○b)=a○(b○b)=a○b，從而有a≤a○b，b≤a○b，故a○b就是{a , b}的上界
設c也是{a , b}的上界，a○c=b○c=c，(a○b)○c=a○(b○c)=a○c=c，從而有a○b≤c，故a○b就是{a , b}最小上界
a , b∈S，(a*b)*a=(a*a)*b=a*b，(a*b)*b=a*(b*b)=a*b，從而有a*b≤a，a*b≤b，故a*b就是{a , b}的下界
設d也是{a , b}的下界，d*a=d*b=d，d*(a*b)=(d*a)*c=d*c=d，從而有d≤a*b，故a*b就是{a , b}最大下界
此外，格還具有保序性：
（1）a≤b時，a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c
（2）a≤b且c≤d時，a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d
（3）a≤c且b≤c a∨b≤c
（4）c≤a且c≤b c≤a∧b
子格：S⊆L，對任意a, b∈S有a∨b , a∧b∈S，則稱S是L的一個子格
例如：n|m時，(Dn, |)是(Dm, |)的子格
取D30的一部分，6∧15=3不在S中，故不構成子格
二、布爾代數
格(L, ∨ , ∧)如果滿足a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∧c)，a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c)，那么L是分配格（兩個等式成立一個，另一個一定成立）
全上界/全下界：若存在a∈L使得∀x∈S有x≤a / a≤x，a就是L的全上界/全下界
格L中存在全上界和全下界時，稱為有界格。此時全下界記為0，全上界記為1
有限格一定存在全上界（所有元素的∨）和全下界（所有元素的∧），因此一定是有界格
設(L, ∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格，a∈L，若存在b∈L使得a∧b=0且a∨b=1，則a與b互為補元，定義'為求補運算
有界分配格中，a的補元若存在則必唯一
證明：假設a存在兩個補元b和c，a∧b=a∧c=0，a∨b=a∨c=1
b=b∧(b∨a)=b∧(c∨a)=(b∧c)∨(b∧a)=(b∧c)∨(c∧a)=(b∨a)∧c=(a∨c)∧c=c
設(L, ∨ , ∧ , 0 , 1)是有界格，∀a∈L，在L中都有補元存在，L是有補格(L, ∨ , ∧ , ' , 0 , 1)
布爾格/布爾代數/有補分配格：每個元素都存在着唯一的補格
例如：S的冪集格(P(S) , ∩ , ∪ , ~ , ∅, S)構成布爾代數（冪集代數）
數理邏輯中的命題代數、數字電路中的邏輯代數都是布爾代數
布爾代數中有：雙重否定律(a')'=a
德摩根律(a∨b)'=a'∧b'，(a∧b)'=a'∨b'
∀b∈L，都有0<b≤a ⟺b=a，則a是L中的原子
例如若L是正整數n的全體正因子關於整除關系構成的格，L的原子就是n的全體素因子
例如若L是集合B的冪集格，L的原子就是B中單個元素構成的單元集
若L是有限布爾代數，A是L的全體n個原子構成的集合，則A的冪集代數P(A)與L同構，|A|=n，|P(A)|=|L|=2n
任何等勢的有限布爾代數都是同構的；任何有限布爾代數的基數都是2的冪
因此在同構的意義上，對於2的任意次冪，僅存在一個2n元的布爾代數