離散數學知識點總結（1）-命題邏輯

一、命題

命題：陳述句，有唯一真值/非真既假（不一定知道）

簡單命題/命題常元：真值確定。

命題變元p：常用來表示命題。只有明確表示某個命題時才有具體的含意和確定的真值。

命題聯結詞/命題運算符：否定聯結詞┐、合取聯結詞∧、析取聯結詞∨、蘊含聯結詞→、與非聯結詞、或非聯結詞

p→q：當且僅當p真q假時，p→q為假（因此它和┐p∨q等值）。即p為假時，p→q必定為真

⟷：當且僅當、充要條件、反之亦然

二、命題公式

命題公式/命題形式/合式公式/公式：

（1）可滿足式：非重言的可滿足式

重言式/永真式

（2）矛盾式/永假式（不存在成真指派）

命題公式不是命題，只有當公式中的每一個命題變項都被賦以確定的真值時，公式的真值才被確定，從而成為一個命題。 

三、命題邏輯的等值演算

A⟺B：A和B有等值關系。對任意真值指派，A與B取值相同。A⟷B為永真式。

等值關系一般通過真值表法或者等值演算法得到。

而不等值，只能通過真值表法，找到某個真值指派使得一個為真一個為假

德摩根律：┐(A∨B)⟺┐A∧┐B、┐(A∧B)⟺┐A∨┐B

蘊含等值式：A→B⟺┐A∨B

吸收律：A∨(A∧B)⟺A、A∧(A∨B)⟺A

歸謬式：(A→B)∧(A→┐B)⟺┐A

 

例題：

p→(q→r)

⟺┐p∨(┐q∨r)

⟺(┐p∨┐q)∨r

⟺┐(p∧q)∨r

⟺(p∧q)→r

四、范式

由有限個文字的析取所組成的公式稱為析取式；由有限個文字的合取所組成的公式稱為合取式

形如A₁∨A₂∨…∨A_n的公式稱為析取范式DNF（其中A_i為合取式）；形如A₁∧A₂∧…∧A_n的公式稱為合取范式CNF（其中A_i為析取式）

任一命題公式都存在着與之等值的析取范式和合取范式，但析取范式和合取范式可能不是惟一的。

極小項q₁∧q₂∧…∧q_n：一共2ⁿ種解釋，每個極小項只在一個解釋下為真。每個極小項對應一個二進制數，該二進制數正是該極小項真值為真的指派，即m₀可表示┐q₁∧┐q₂∧…∧┐q_n

極大項q₁∨q₂∨…∨q_n：一共2ⁿ種解釋，每個極大項只在一個解釋下為假。每個極大項對應一個二進制數，該二進制數正是該極小項真值為假的指派，即M₀可表示q₁∨q₂∨…∨q_n

m_i∧m_j⟺F

M_i∨M_j⟺T

m_i⟺┐M_i

若由n個命題變項構成的析取范式中所有的合取式都是極小項，則稱其為主析取范式。 

若由n個命題變項構成的合取范式中所有的析取式都是極大項，則稱其為主合取范式。

 

例題：

┐(p∨q)⟷(p∧q)

⟺(┐(p∨q)∧(p∧q))∨((p∨q)∧┐(p∧q))

⟺(┐p∧┐q∧p∧q)∨((p∨q)∧(┐p∨┐q))

⟺((p∨q)∧(┐p∨┐q))

⟺(p∧┐p)∨(p∧┐q) ∨(q∧┐p)∨(q∧┐q) 

⟺(p∧┐q) ∨(q∧┐p) 為析取范式

┐(p∨q)⟷(p∧q)

⟺(┐(p∨q)→(p∧q))∧((p∧q)→┐(p∨q))

⟺((p∨q)∨(p∧q))∧(┐(p∧q)∨┐(p∨q))

⟺((p∨q)∨(p∧q))∧((┐p∨┐q)∨(┐p∧┐q))

⟺(p∨q)∧(┐p∨┐q)為合取范式

 

⭐️例題：

((p∨q)→r)→p

要求主析取范式首先要求得析取范式為p∨(q∧┐r)

⟺( p∧(┐q∨q)∧(┐r∨r) )∨( (┐p∨p)∧(q∧┐r) ) 

⟺(p∧┐q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)∨ (p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r)∨ (┐p∧q∧┐r)∨(p∧q∧┐r) 

⟺m₄∨m₅∨m₆∨m₇∨m₂∨m₆ 

⟺m₂∨m₄∨m₅∨m₆∨m₇ 

⟺∑(2, 4, 5, 6, 7)

要求主合取范式首先要求得合取范式為 (p∨q)∧(p∨┐r) 

⟺(p∨q∨(r∧┐r))∧(p∨(q∧┐q)∨┐r) 

⟺(p∨q∨r)∧(p∨q∨┐r) ∧(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨┐r) 

⟺(p∨q∨r)∧(p∨q∨┐r)∧(p∨┐q∨┐r) 

⟺M₀∧M₁∧M₃ 

⟺∏(0, 1, 3) 

五、推理

判斷一個推理形式是否正確，從定義上講就是判斷一個蘊涵式是否是重言式

推理的形式結構為{A₁, ..., A_k} |-B

推論形式正確當且僅當A₁∧...∧A_k→B為重言式

當且僅當前提為真結論為假時，推論不成立

前提A₁∧...∧A_k為假時，推論必成立

判斷重言式是否成立可以通過真值表法、等值演算法、析取范式法

推理定律

附加律A⟹(A∨B) 

化簡律(A∧B) ⟹A

假言推理/分離式 (A→B)∧A⟹B

拒取式(A→B)∧┐B⟹┐A

析取三段論(A∨B)∧┐B⟹A

假言三段論(A→B)∧(B→C)⟹(A→C)

等價三段論(A⟷B)∧(B⟷C)⟹(A⟷C)

構造線二難(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⟹(B∨D)、(A→B)∧(┐A→B)⟹B

破壞性二難(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)⟹(┐A∨┐C)

自然推理系統

（1）附加前提證明法：

(A₁∧...∧A_k)→(A→B)

⟺(A₁∧...∧A_k)→(┐A∨B)

⟺┐(A₁∧...∧A_k)∨(┐A∨B)

⟺┐(A₁∧...∧A_k∧A)∨B

⟺(A₁∧...∧A_k∧A)→B

即將結論中的前件作為推理的前提，使結論為B

（2）歸謬法：相容（可滿足式）、不相容（矛盾式）

(A₁∧...∧A_k)→B

⟺┐(A₁∧...∧A_k)∨B

⟺┐(A₁∧...∧A_k∧┐B)

若(A₁∧...∧A_k∧┐B)為矛盾式，則(A₁∧...∧A_k)→B為重言式

（3）消解證明法：

把前提中所有公式、結論的否定，都化成等值的合取范式

隨后不斷引入和消解

直到得到空式，則證明推理是正確的

 

舉例：

如果三角形的兩邊相等，則其所對的角相等；一個三角形的兩邊不相等，所以其所對角不相等。 

設 p: 三角形的兩邊相等 

    q: 三角形的兩邊所對的角相等 

則推理的形式結構為 (p⟹q)∧┐(p⟹┐q)

轉換為蘊涵式形式(p→q)∧┐(p→┐q)卻不是重言式，表明推理不正確，或論證並非有效