離散數學知識點總結（2）-謂詞邏輯

一、謂詞與謂詞公式

謂詞：表示個體詞性質或相互之間關系的詞

量詞：用來表示個體數量的詞是

謂詞的量化：給謂詞加上量詞 

一元目謂詞P(x)、n元目謂詞P(x, y, z, ...)它們是命題形式而非命題

因為既沒有指定謂詞符號P的含義，而且個體詞x、y等也是個體變項而不代表某個具體的事物，從而無法確定P(x)、P(x, y)的真值。 

僅當賦予謂詞確定含義，並且個體詞取定為個體常項而非個體變項時，命題形式才化為命題。

設A為一個謂詞公式，若A在任何解釋下真值均為真，則稱A為普遍有效的公式/邏輯有效式。例如(∀x) (P(x)∨┐P(x)) 

若A在任何解釋下真值均為假，則稱A為不可滿足的公式/矛盾式，例如(∀x)P(x)∧(∃y) ┐P(y) 

若至少存在一個解釋使A為真，則稱A為可滿足的公式 

Church-Turing定理：對任一謂詞公式而言，沒有一個可行的方法判明它是否是普遍有效的。即謂詞邏輯是不可判定的

但是謂詞公式的某些子類是可判定的 

命題公式 p→q 的代換實例：如P(y)→Q(z)、(∀x)P(x)→(∃x)Q(x)般用謂詞公式處處代替各個命題變項

命題公式中，重言式的代換實例都是邏輯有效式、矛盾式的代換實例都是矛盾式。 

自然語言形式化

存在唯一的偶素數：∃x(Prime(x)∧Even(x))∧(∀y)(Prime(y)∧Even(y)→Equal(x, y))

G(x)表示x是金子、L(x)表示x會閃光：(∀x)(G(x)→L(x))∧(∃x)(L(x)∧┐G(x))

F(x)表示x是烏鴉、G(x, y)表示x與y一般黑：

(∀x)(∀y)(F(x)∧F(y)→G(x , y))

⟺(∀x)(∀y)(┐(F(x)∧F(y))∨G(x , y))

⟺(∀x)(∀y)┐((F(x)∧F(y))∧┐G(x , y))

⟺(∀x)┐(∃y)((F(x)∧F(y))∧┐G(x , y))

⟺┐(∃x)(∀y)((F(x)∧F(y))∧┐G(x , y))

∃x Even(x) ∧ ∃x Odd(x) 和∃x (Even(x)∧Odd(x))不等價，前者表示存在一個正奇數也存在一個正偶數，后者表示存在一個數既是正奇數又是正偶數

∀x Even(x) ∨ ∀x Odd(x) 和∀x (Even(x)∨Odd(x))不等價，前者表示所有數都是正偶數，或者所有數都是正奇數

    后者表示所有數都是正奇數或正偶數

⭐️∀x∃yGreater(y, x) 和∃y∀xGreater(y, x)，前者表示對於任一個正整數而言，都存在比它大的正整數 

       后者表示存在一個正整數，大於任何正整數 

謂詞邏輯的等值演算

設論域 D={a₁, a₂, …, a_m} 是有限集合，則有(∀x)A(x)⟺A(a₁)∧A(a₂)∧…∧A(a_m) 、(∃x)A(x)⟺A(a₁)∨A(a₂)∨…∨A(a_m) 

量詞否定等值式/德摩根律：┐(∀x)A(x)⟺(∃x)┐A(x)、┐(∃x)A(x)⟺(∀x)┐A(x)

量詞轄域收縮與擴張等值式：∀/∃x(A(x)∨/∧B)⟺∀/∃x(A(x))∨/∧B

量詞分配等值式：∀x(A(x)∧B(x))⟺∀xA(x)∧∀xB(x)、∃x(A(x)∨B(x))⟺ ∃xA(x)∨∃xB(x) 

 

例題：

∃x(P(x)→Q(x))

⟺∃x(┐P(x)∨Q(x))

⟺∃x┐P(x)∨∃xQ(x)

⟺┐∀xP(x)∨∃xQ(x)

⟺∀xP(x)→∃xQ(x)

 

反駁：

要證明∀x(P(x)→Q(x))為假的辦法

┐∀x(P(x)→Q(x))

⟺∃x(P(x)∧┐Q(x))

就是要找到某個x，使得P(x)為真的同時Q(x)為假

二、前束范式

所有量詞都位於該公式的最左邊：∀xP(x)∨∀xQ(x)不是

所有量詞前都不含否定詞：┐∀xP(x , y)不是

量詞的轄域都延伸到整個公式的末端：∀x(P(x)→Q(x))∨R(z)不是

化前束范式的方法：

┐((∀x)(∃y)P(a, x, y)→(∃x)(┐(∀y)Q(y, b)→R(x))) 

（1）消去→

⟺┐(┐(∀x)(∃y)P(a, x, y)∨(∃x)(┐┐(∀y)Q(y, b)∨R(x))) 

（2）┐右移

⟺(∀x)(∃y)P(a, x, y)∧┐(∃x)((∀y)Q(y, b)∨R(x)))

⟺(∀x)(∃y)P(a, x, y)∧(∀x)(┐(∀y)Q(y, b)∧┐R(x)))

⟺(∀x)(∃y)P(a, x, y)∧(∀x)((∃y)┐Q(y, b)∧┐R(x)))

（3）量詞左移

⟺(∀x)((∃y)P(a, x, y)∧((∃y)┐Q(y, b)∧┐R(x)))

⟺(∀x)(∃y)(∃z)(P(a, x, y)∧┐Q(z, b)∧┐R(x)))

⟺(∀x)(∃y)(∃z)M(a, b, x, y, z)

三、謂詞邏輯的推理

∀xF(x)∧∀yG(y)⟹∀xF(x)

∀xF(x)⟹∀xF(x)∨∀yG(y)

∀xA(x)∨∀xB(x)⟹∀x(A(x)∨B(x))

∃x(A(x)∧B(x))⟹∃xA(x)∧∃xB(x)

∀x(A(x)→B(x))⟹∀xA(x)→∀xB(x)以及∃xA(x)→∃xB(x)

全稱推廣規則/全稱量詞引入規則(UG) 

P(y)⟹∀xP(x)，其中y是論域中任意個體

意指如果任意個體y∈D都具有性質P，那么D中所有個體x都具有性質P。 

該規則使用的條件是： 無論P(y)中自由出現的個體變項y取何值，P(y)應該為真；取代自由出現的y的x不能在P(y)中約束出現

例如(∃x)G(x, y)對任意給定的y都成立，不能通過全稱量詞引入變為(∀x)(∃x)G(x, x) 

全稱舉例規則/全稱量詞消去規則(US) 

∀xP(x)⟹P(y)，其中y是論域中一個體 

意指如果所有的x∈D都具有性質P，那么D中任一個體y必具有性質P

該規則使用的條件是：取代x的y應為任意的不在P(x)中約束出現的個體變項；用y取代P(x)中自由出現的x時，必須在x自由出現的一切地方進行取代

例如(∀x)(∃y)G(x, y)不能通過全稱量詞消去變為(∃y)G(y, y)  

存在推廣規則/存在量詞引入規則(EG) 

P(a)⟹(∃x)P(x)，其中a是論域中一個體常項。

意指如果有個體常項a具有性質P，那么(∃x)P(x)必真。 

該規則使用的條件是： a是特定的個體常項 ；取代a的x不在P(a)中出現過 

存在舉例規則/存在量詞消去規則(ES) 

(∃x)P(x)⟹P(a)，其中a是論域中的一個個體常項。

意指如果論域D中存在某個體具有性質P，那么必有特定個體a具有該性質P。

該規則使用的條件是：a是使P為真的特定的個體常項；a不在P(x)中出現；P(x)中沒有其它自由出現的個體變項；a是在推導中未曾使用過的

⭐例如(∃y)G(x, y)不能通過存在量詞消去變為G(x, a)，因為哪個個體使其成立依賴於x，不是所有x都有同一個a使得G(x, a)成立

 

例題：

（1）(∃x)Q(x) （前提引入）  

（2）(∃x)~Q(x) （前提引入）  

（3）Q(a) （對(1)的存在量詞消去）  

（4）┐Q(a) （對(2)的存在量詞消去）  

（5）Q(a)∧┐Q(a) （(3)(4)合取）  

（6）(∃x)(Q(x)∧┐Q(x)) （存在量詞引入）  

錯誤之處：（4）中做的是存在量詞消去，a必須是在推導中未曾使用過的

 

例題：

（1）(∀x)(P(x)→Q(x)) （前提引入）  

（2） (∃x)P(x) （前提引入）  

（3）P(c)→Q(c) （對(1)的全稱量詞消去）  

（4）P(c) （對(2)的存在量詞消去）  

（5）Q(c) （(3)(4)假言推理）  

（6）(∃x)Q(x) （存在量詞引入）  

錯誤之處：(4)中使P(c)成立的c不一定就是(3)中使P(c)→Q(c) 成立的c

 把(3)和(4)調換順序即可，全稱量詞消去時c可以任意取

 

例題：∃xP(x)→∀xQ(x)，求證∀x(P(x)→Q(x))

證明：首先需要化為前束范式以及進行置換

⟺┐∃xP(x)∨∀xQ(x)

⟺∀x┐P(x)∨∀xQ(x)

⟺∀x┐P(x)∨∀yQ(y)

⟺∀x∀y(P(x)→Q(y))

全稱量詞消去得∀y(P(z)→Q(y))，其中z是論域中任意個體

全稱量詞消去得P(z)→Q(z)，其中z是論域中任意個體

全稱量詞引入得∀x(P(x)→Q(x))