離散數學
數學語言與證明方法
集合
-
冪集
-
運算
- 交集
- 並集
- 相對補集
- 絕對補集
- 對稱差集
-
運算律
- 交換律
- 結合律
- 分配律
- 德摩根律
-
恆等式
證明方法
- 直接證明
- 歸謬法
- 分情況證明
- 構造性證明
- 數學歸納法
命題邏輯
命題
-
簡單命題p,q,r
-
復合命題
-
基本復合命題
- 五種
-
復雜復合命題
-
-
真值
- 真命題
- 假命題
-
命題符號化
聯結詞
-
否定聯結詞\(\lnot\)
- 否定式
-
合取聯結詞\(\land\)
- 合取式
-
析取聯結詞\(\lor\)
-
析取式
- 相容或\(p\lor q\)
- 排斥或\((\lnot p\land q)\lor(p\land \lnot q)\)
-
-
蘊含聯結詞
-
蘊含式
-
p->q
-
真值
- p真q假，p->q為真
- 其他全為真
-
-
前件p
-
后件q
-
-
-
等價聯結詞
-
等價式
-
p<->q
-
真值
- p,q真值相同，p<->q為真
- 不同為假
-
-
‘當且僅當’
-
-
公式
-
命題
-
常項
- p,q,r為定值
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變項
- p,q,r為變量
-
-
合式公式/命題公式
-
A，B，C，D
-
永真式
- 重言式
-
永假式
- 矛盾式
-
可滿足式
-
-
-
賦值/解釋
- 成真賦值
- 成假賦值
-
等值演算
-
A<->B，則A<=>B
- 等價式為重言式
-
常用等值公式
- 蘊含等值式 \(A\rightarrow B\Leftrightarrow\lnot A\lor B\)
- 德摩根律 \(\lnot (A\lor B)\Leftrightarrow \lnot A \land \lnot B\)
-
聯結詞集
-
優先順序
-
擴展
-
與非聯結詞
- \(p\uparrow q\Leftrightarrow \lnot(p\land q)\)
-
或非聯結詞
- \(p\downarrow q\Leftrightarrow \lnot(p\lor q)\)
-
-
聯結詞完備集
- (1)\(S=\{\lnot,\land,\lor\}\)
- (2)\(S=\{\uparrow\}\)
- (3)\(S=\{\downarrow\}\)
范式
-
分類
-
析取范式
-
主析取范式
- 極大項
-
-
合取范式
-
主合取范式
- 極小項
-
-
-
計算
推理
-
概念
-
蘊含式為重言式
- \(\Rightarrow\)
-
-
形式結構
-
\((A_1\land A_2 \land ...\land A_k)\Rightarrow B\)
- 前提
- 結論
-
-
證明
-
推理規則
-
前提引入
-
結論引入
-
置換規則
-
等值置換
- \(A\Leftrightarrow B:A\Rightarrow B;B\Rightarrow A\)
-
-
推理定律
-
-
特殊證明方法
-
附加前提證明法
- \((A_1\land A_2 \land ...\land A_k)\Rightarrow A\rightarrow B\)
- \((A_1\land A_2 \land ...\land A_k \land A)\Rightarrow B\)
-
歸結證明法
-
歸結規則
- \((L\lor C_1)\land (\lnot L\lor C_2)\Rightarrow C_1\lor C_2\)
-
基本思想
- 歸謬法
-
證明步驟
- 結論的否定引入前提
- 把所有前提化成合取范式，並將簡單析取式作為單個前提
- 歸結規則進行推理
- 推出0則推理正確
-
-
-
一階邏輯
表達個體與總體之間的內在聯系與數量關系
概念
-
個體詞
-
個體常項
- a,b,c....
-
個體變項
- 個體域
- x,y,z....
-
-
謂詞
-
謂詞常項
- 表示具體性質或關系
- 子主題 2
-
謂詞變項
- 表示抽象性質或關系
- F，G....
-
0元謂詞
- 不帶個體變項的謂詞
- 當謂詞為謂詞常項時為命題
-
-
量詞
- 全稱量詞
- 存在量詞
符號化
- 不同個體域形式可能不同
- 引入特性謂詞
公式
-
分類
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原子公式
-
合式公式/謂詞公式
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閉式
- A中不含自由出現的個體變項
-
-
概念
- x:指導變元
- A:轄域
- x在A中約束出現
- A中出現的除x所有其他個體變項都為自由出現
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解釋/賦值
-
定義
-
封閉的公式在任何解釋下都變成命題
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分類
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永真式/邏輯有效式
- A在任何解釋和任何賦值下均為真
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永假式/矛盾式
- A在任何解釋和任何賦值下均為假
-
可滿足式
- 至少存在一個解釋和一個賦值使A為真
-
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代換實例
- 重言式的代換實例都是重言式
- 矛盾式的代換實例都是矛盾式
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等值演算
-
命題邏輯的代換實例
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等值式
- 消去量詞等值式
- 量詞否定等值式
- 量詞轄域收縮與擴張等值式
- 量詞分配等值式
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規則
- 置換規則
- 換名規則
-
-
前束范式
- 存在但不唯一
- 利用等值演算求前束范式
