文檔說明：關於自考離散數學知識點的例題解析及定義證明
課程名稱：辛運幃/機械工業2014年版離散數學
課程代碼：02324
文檔作者：Yohann Fang
第1章 > 命題與命題公式
1.1 > 命題與命題聯結詞
1.1.1 > 命題與命題的表示
例題1.1 >
判斷下列句子中哪些構成命題
1：8 不是素數
2：雪是黑的
3：到 2049 年世界人口將超過 90 億
4：每台計算機都有唯一的IP地址
5：喜馬拉雅山好高啊！
6：基本粒子是不可分的
7：離散數學難學嗎？
8：請遵守交通規則！
9：x + 1 = 2
解：
根據命題的定義，首先必須是陳述句，所以排除 5 7 8，其次是必須有唯一真值，所以排除 9，因為變量 x 是永遠不可確定的量，x + 1 = 2 的真值是不可確定的（模糊的），違背了命題定義，另外的 1 2 3 4 6 都屬於命題
總結：
1：命題必須是有唯一真值的陳述句，兩個條件缺一不可
2：看到感嘆號或者問號結尾的語句，可以直接排除
3：暫時不能確定真值，但是隨着時間推移可以確定真值的，也算作具有唯一真值
4：需要專業知識才能做出真值判斷的也算作具有唯一真值
例題1.2 >
將下面命題符號化，並指出它們的真值
1：π 是有理數
2：所有的素數都是奇數
3：6 是一個合數
解：
由於三個命題都是原子命題，故分別使用 A B C 表示三個命題
A：真值為 F
B：真值為 F
C：真值為 T
總結：
1：對於原子命題的符號化，直接用單個字母表示即可
2：素數有 2 不屬於奇數
1.1.2 > 復合命題與聯結詞
例題1.3 >
給出命題 P：今天是星期五 的否定，並用自然語言表示出來
解：
┐P：今天不是星期五
例題1.4 >
將下面命題符號化
1：2 既是偶數，也是素數
2：我今天不但聽了離散數學課，還聽了數據結構課
3：今天的離散數學課停上，美元上漲
解：
1：設 A：2是偶數，B：2是素數
該命題表示為 A ∧ B
2：設 A：我今天聽了離散數學課，B：我今天聽了數據結構課
該命題表示為 A ∧ B
3：設 A：今天的離散數學課停上，B：今天美元上漲
該命題表示為 A ∧ B
總結：
關於第 3 個命題中的兩個原子命題在自然語言中是沒有邏輯聯系的，但是數學中不考慮這些，因為在一句話中出現，所以這里忽略其語義依舊表示為 A ∧ B
例題1.5 >
將下面命題符號化
1：王小林是本年度校運動會的跳高或 100 米短跑的冠軍
2：我今天或者去聽離散數學課，或者去聽數據結構課
解：
1：設 P：王小林是本年度校運動會的跳高冠軍，Q：王小林是本年度校運動會的100米短跑冠軍
該命題表示為 P ∨ Q
2：設 P：我今天去聽離散數學課，Q：我今天去聽數據結構課
該命題表示為 P ∨ Q
總結：
1：上面兩個命題都用了"或"這個詞，這里的"或"所聯結的兩個原子命題之間是相容的（不排斥），所以均用析取聯結詞聯結
2：注意自然語言中可能存在用"或"表示兩個命題的關系，但是兩個命題有可能會相互排斥，即絕對不能同時成立，這種情況叫異或，此時不能使用析取聯結詞表示（析取聯結詞只能表示同或情況）
例題1.6 >
分析以下的復合命題
1：王小林今天或者去美國，或者去歐洲
2：王小林或者是坐火車去北京，或者是乘飛機去北京
解：
1：根據常理，王小林不可能一天同時去歐洲和美國，所以這里的或是異或，不能用析取聯結詞聯結
2：根據常理，王小林想去北京，但是這里不能同時乘坐火車和飛機去北京，所以不能用析取聯結詞聯結
以上均為異或，不能使用析取聯結詞
總結：
異或沒有專門的聯結詞，如果兩個原子命題分別用 P 和 Q 表示，則關於異或這種情況，可以這樣符號化：(P ∧ ┐Q) ∨ (Q ∧ ┐P)，這里看上去會比較復雜，意思就是在 P ∨ Q 的基礎上，讓左右兩邊的 PQ 都和對方的非狀態合取一遍，以保證兩種情況不能同時發生
例題1.7 >
將下面命題符號化
1：如果今天不下雨，我就去公園鍛煉
2：如果我考試通過，我就能拿到合格證書
解：
1：設 P：今天下雨，Q：我去公園鍛煉
該命題表示為 ┐P → Q
2：設 P：我考試通過，Q：我能拿到合格證書
該命題表示為 P → Q
例題1.8 >
將下面命題符號化
如果雪是黑的，則房間里有 20 張桌子
解：
1：設 P：雪是黑的，Q：房間里有 20 張桌子
該命題表示為 P → Q
總結：
注意條件聯結詞的前件和后件可以在語義上不存在邏輯關系，這點和日常的語言表達不同
例題1.9 >
將下面命題符號化，並指出其真值
1：當且僅當實數 R 可以表示為分數時，R 是有理數
2：√3 是無理數當且僅當加拿大位於亞洲
解：
1：設 P：實數 R 可以表示為分數，Q：實數 R 是有理數
該命題表示為 P ↔ Q，根據數學定義可知其真值為 T
2：設 P：√3 是無理數，Q：加拿大位於亞洲
該命題表示為 P ↔ Q，因為 P 的真值是 T，Q 的真值是 F，所以其真值為 F
例題1.10 >
將下列命題符號化
1：如果今天不下雨而且不刮風，我會去爬山
2：若今天是星期一，則明天是星期二
3：只有今天是星期一，明天才是星期二
例題1.11 >
設 P：今天下雨，Q：今天刮風，R：我去爬山。將下面命題用自然語言表述
1：(P ∨ Q) → ┐R
2：R → (┐P ∧ ┐Q)
3：P ∧ ┐Q
4：P → ┐Q
5：Q → P
解：
1：如果今天下雨或者刮風，我就不去爬山了
2：如果我去爬山，那么今天既不下雨也不刮風
3：今天下雨了，但是沒刮風
4：如果今天下雨，那么今天就不會刮風
5：如果今天刮風了，那么就會下雨
總結：
用一些常用的自然語言表示聯結詞
否定聯結詞（┐）>>>
1：不是 A
2：非 A
3：沒有 A
合取聯結詞（∧）>>>
1：既 A 又 B
2：不但 A 而且 B
3：一邊 A 一邊 B
4：不僅 A 而且 B
5：雖然 A 但是 B
析取聯結詞（∨）>>>
1：或 A 或 B
2：時而 A 時而 B
3：有時 A 又有時 B
注意析取聯結詞前后件必須相容，如果排斥則不可使用析取聯結詞
條件聯結詞（→）>>>
A → B：
1：若 A 則 B
2：A 當 B
(┐)B → A：
1：A 僅當 B
2：A 除非 B
注意條件聯結詞的方向性
雙條件聯結詞（↔）>>>
1：A 當且僅當 B
2：B 是 A 的充要條件