文档说明：关于自考离散数学知识点的例题解析及定义证明
课程名称：辛运帏/机械工业2014年版离散数学
课程代码：02324
文档作者：Yohann Fang
第1章 > 命题与命题公式
1.1 > 命题与命题联结词
1.1.1 > 命题与命题的表示
例题1.1 >
判断下列句子中哪些构成命题
1：8 不是素数
2：雪是黑的
3：到 2049 年世界人口将超过 90 亿
4：每台计算机都有唯一的IP地址
5：喜马拉雅山好高啊！
6：基本粒子是不可分的
7：离散数学难学吗？
8：请遵守交通规则！
9：x + 1 = 2
解：
根据命题的定义，首先必须是陈述句，所以排除 5 7 8，其次是必须有唯一真值，所以排除 9，因为变量 x 是永远不可确定的量，x + 1 = 2 的真值是不可确定的（模糊的），违背了命题定义，另外的 1 2 3 4 6 都属于命题
总结：
1：命题必须是有唯一真值的陈述句，两个条件缺一不可
2：看到感叹号或者问号结尾的语句，可以直接排除
3：暂时不能确定真值，但是随着时间推移可以确定真值的，也算作具有唯一真值
4：需要专业知识才能做出真值判断的也算作具有唯一真值
例题1.2 >
将下面命题符号化，并指出它们的真值
1：π 是有理数
2：所有的素数都是奇数
3：6 是一个合数
解：
由于三个命题都是原子命题，故分别使用 A B C 表示三个命题
A：真值为 F
B：真值为 F
C：真值为 T
总结：
1：对于原子命题的符号化，直接用单个字母表示即可
2：素数有 2 不属于奇数
1.1.2 > 复合命题与联结词
例题1.3 >
给出命题 P：今天是星期五 的否定，并用自然语言表示出来
解：
┐P：今天不是星期五
例题1.4 >
将下面命题符号化
1：2 既是偶数，也是素数
2：我今天不但听了离散数学课，还听了数据结构课
3：今天的离散数学课停上，美元上涨
解：
1：设 A：2是偶数，B：2是素数
该命题表示为 A ∧ B
2：设 A：我今天听了离散数学课，B：我今天听了数据结构课
该命题表示为 A ∧ B
3：设 A：今天的离散数学课停上，B：今天美元上涨
该命题表示为 A ∧ B
总结：
关于第 3 个命题中的两个原子命题在自然语言中是没有逻辑联系的，但是数学中不考虑这些，因为在一句话中出现，所以这里忽略其语义依旧表示为 A ∧ B
例题1.5 >
将下面命题符号化
1：王小林是本年度校运动会的跳高或 100 米短跑的冠军
2：我今天或者去听离散数学课，或者去听数据结构课
解：
1：设 P：王小林是本年度校运动会的跳高冠军，Q：王小林是本年度校运动会的100米短跑冠军
该命题表示为 P ∨ Q
2：设 P：我今天去听离散数学课，Q：我今天去听数据结构课
该命题表示为 P ∨ Q
总结：
1：上面两个命题都用了"或"这个词，这里的"或"所联结的两个原子命题之间是相容的（不排斥），所以均用析取联结词联结
2：注意自然语言中可能存在用"或"表示两个命题的关系，但是两个命题有可能会相互排斥，即绝对不能同时成立，这种情况叫异或，此时不能使用析取联结词表示（析取联结词只能表示同或情况）
例题1.6 >
分析以下的复合命题
1：王小林今天或者去美国，或者去欧洲
2：王小林或者是坐火车去北京，或者是乘飞机去北京
解：
1：根据常理，王小林不可能一天同时去欧洲和美国，所以这里的或是异或，不能用析取联结词联结
2：根据常理，王小林想去北京，但是这里不能同时乘坐火车和飞机去北京，所以不能用析取联结词联结
以上均为异或，不能使用析取联结词
总结：
异或没有专门的联结词，如果两个原子命题分别用 P 和 Q 表示，则关于异或这种情况，可以这样符号化：(P ∧ ┐Q) ∨ (Q ∧ ┐P)，这里看上去会比较复杂，意思就是在 P ∨ Q 的基础上，让左右两边的 PQ 都和对方的非状态合取一遍，以保证两种情况不能同时发生
例题1.7 >
将下面命题符号化
1：如果今天不下雨，我就去公园锻炼
2：如果我考试通过，我就能拿到合格证书
解：
1：设 P：今天下雨，Q：我去公园锻炼
该命题表示为 ┐P → Q
2：设 P：我考试通过，Q：我能拿到合格证书
该命题表示为 P → Q
例题1.8 >
将下面命题符号化
如果雪是黑的，则房间里有 20 张桌子
解：
1：设 P：雪是黑的，Q：房间里有 20 张桌子
该命题表示为 P → Q
总结：
注意条件联结词的前件和后件可以在语义上不存在逻辑关系，这点和日常的语言表达不同
例题1.9 >
将下面命题符号化，并指出其真值
1：当且仅当实数 R 可以表示为分数时，R 是有理数
2：√3 是无理数当且仅当加拿大位于亚洲
解：
1：设 P：实数 R 可以表示为分数，Q：实数 R 是有理数
该命题表示为 P ↔ Q，根据数学定义可知其真值为 T
2：设 P：√3 是无理数，Q：加拿大位于亚洲
该命题表示为 P ↔ Q，因为 P 的真值是 T，Q 的真值是 F，所以其真值为 F
例题1.10 >
将下列命题符号化
1：如果今天不下雨而且不刮风，我会去爬山
2：若今天是星期一，则明天是星期二
3：只有今天是星期一，明天才是星期二
例题1.11 >
设 P：今天下雨，Q：今天刮风，R：我去爬山。将下面命题用自然语言表述
1：(P ∨ Q) → ┐R
2：R → (┐P ∧ ┐Q)
3：P ∧ ┐Q
4：P → ┐Q
5：Q → P
解：
1：如果今天下雨或者刮风，我就不去爬山了
2：如果我去爬山，那么今天既不下雨也不刮风
3：今天下雨了，但是没刮风
4：如果今天下雨，那么今天就不会刮风
5：如果今天刮风了，那么就会下雨
总结：
用一些常用的自然语言表示联结词
否定联结词（┐）>>>
1：不是 A
2：非 A
3：没有 A
合取联结词（∧）>>>
1：既 A 又 B
2：不但 A 而且 B
3：一边 A 一边 B
4：不仅 A 而且 B
5：虽然 A 但是 B
析取联结词（∨）>>>
1：或 A 或 B
2：时而 A 时而 B
3：有时 A 又有时 B
注意析取联结词前后件必须相容，如果排斥则不可使用析取联结词
条件联结词（→）>>>
A → B：
1：若 A 则 B
2：A 当 B
(┐)B → A：
1：A 仅当 B
2：A 除非 B
注意条件联结词的方向性
双条件联结词（↔）>>>
1：A 当且仅当 B
2：B 是 A 的充要条件