文档说明：关于自考离散数学知识点的归纳集
课程名称：辛运帏/机械工业2014年版离散数学
课程代码：02324
文档作者：Yohann Fang
第1章 > 命题与命题公式
1.1 > 命题与命题联结词
1.1.1 > 命题与命题的表示
数理逻辑
又被称为符号逻辑，最基本的两个组成部分是命题演算和谓词演算
推理
由一个或几个已知的前提推导出一个未知结论的思维过程
真值
一个陈述句是否成立的属性，成立为真，不成立为假，真表示为 T 或 1，假表示为 F 或 0
命题
具有唯一真值的陈述句
可能为真或假的陈述句非命题（x + y > 5非命题）
无法判断但是只有唯一真值的陈述句依然视为命题（地球外有外星人）
疑问句/感叹句/祈使句均非命题
悖论非命题（不讨论）
命题的符号化
用符号表示命题的过程，通常使用大写或小写英文字母表示（可以添加数字作为下标）
命题标识符
表示命题的符号
如果表示的命题确定，则为命题常量（项）
如果只代替命题的所处位置，则为命题变元（项）
用具体的命题替换命题变元被称为命题变元的指派
命题变元不是命题本身
1.1.2 > 复合命题与联结词
原子命题
不能再被分解的命题，又被称为简单命题
复合命题
由原子命题通过联结词联结而成的命题
联结词
表示两个句子之间的关系
数理逻辑中常用的联结词共有 5 个，如下所示
否定联结词
┐A 读作 非A
| A | ┐A |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
合取联结词
A ∧ B 读作 A合取B（A且B）
合取联结词具有对称性，A ∧ B ⇔ B ∧ A
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
析取联结词
A ∨ B 读作 A析取B（A或B）
析取联结词具有对称性，A ∨ B ⇔ B ∨ A
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
条件联结词
A → B 读作 若A则B
条件联结词不具有对称性，A → B 不等价于 B → A
| A | B | A → B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
双条件联结词
A ↔ B 读作 A当且仅当B
双条件联结词具有对称性，A ↔ B ⇔ B ↔ A
| A | B | A ↔ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
1.2 > 命题公式的等值演算
1.2.1 > 命题公式
命题公式
命题公式也称为合式公式，命题形式，简称公式
将命题用联结词和圆括号按一定逻辑关系联结起来的符号串称为命题公式
1：单个命题变元或命题常量也可以是合式公式，并称为原子命题公式
2：若 A 是合式公式，则 ┐A 也是合式公式
3：若 A B 均为合式公式，则 A（联结词）B 也是合式公式
有限利用以上三条合成的公式也属于合式公式
合式公式最外层括号可以省略，不影响运算次序的括号可以省略
联结词的优先级
否定联结词 > 合取联结词 > 析取联结词 > 条件联结词 > 双条件联结词
优先级由高到低
子公式
设 A1 是公式 A 的一部分，且 A1 是一个合式公式，则称 A1 是 A 的子公式或公式分量
命题的指派
设 A 为命题公式，P₁P₂…Pₙ 为出现在 A 中的所有命题变元，对 P₁P₂…Pₙ 各指派一个真值称为对命题 A 的一种指派，若指派后使得命题 A 的值为真，则称这组值为 A 的成真指派，反之为成假指派
真值表
若命题 A 中共有 n 个命题变元，给定一组指派，指派可以为 1 或 0，根据排列组合可知，含有 n 个命题变元的命题公式，共有 2ⁿ 组指派，将公式 A 的所有指派的取值列出的表，称为 A 的真值表
命题等价
给定两个命题公式 A 和 B，若对 A 和 B 给定任意一组指派都使得 A 和 B 的真值相同，则称 A 和 B 等价，记作 A ⇔ B，若至少有一组指派的真值不同，则称 A 和 B 不等价
推论 > 对于任意公式 P，都有无穷多个公式与 P 等价
永真式与永假式
设 A 为命题公式，若各种指派下 A 的取值均为真，则称 A 为永真式或重言式，若取值均为假，则称 A 为永假式或矛盾式
推论 > 两个命题公式 P ⇔ Q 当且仅当 P ↔ Q 为永真式
可满足式
设 A 为命题公式，若 A 至少存在一组成真指派，则为可满足式，永真式是可满足式，但可满足式不一定是永真式（可视为永真式 ⊆ 可满足式）
命题公式定律
| 名词 | 公式 |
|---|---|
| 双重否定律 | A ⇔ ┐┐A |
| 排中律 | A ∨ ┐A ⇔ T |
| 矛盾律 | A ∧ ┐A ⇔ F |
| 同一律 | A ∨ F ⇔ A ∧ T ⇔ A |
| 零律 | A ∧ F ⇔ F A ∨ T ⇔ T |
| 幂等律 | A ∧ A ⇔ A ; A ∧ A ∧ A ⇔ A A ∨ A ⇔ A ; A ∨ A ∨ A ⇔ A |
| 交换律 | A ∧ B ⇔ B ∧ A A ∨ B ⇔ B ∨ A |
| 结合律 | (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) |
| 分配律 | (A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) |
| 吸收律 | (A ∧ B) ∨ A ⇔ (A ∨ B) ∧ A ⇔ A |
| 德摩根律 | ┐A ∧ ┐B ⇔ ┐(A ∨ B) ┐A ∨ ┐B ⇔ ┐(A ∧ B) |
| 名词 | 公式 |
|---|---|
| 蕴涵等值式 | A → B ⇔ ┐A ∨ B |
| 否定等值式 | A ↔ B ⇔ ┐A ↔ ┐B |
| 等价等值式 | A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) |
| 假言易位式 | A → B ⇔ ┐B → ┐A |
| 归谬论 | (A → B) ∧ (A → ┐B) ⇔ ┐A |
1.2.2 > 等值演算与蕴涵式
等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程，被称为等值演算或等价变化，是布尔代数或逻辑代数的重要组成部分
蕴涵式
又称永真条件式，P → Q 为永真式当且仅当 P ⇒ Q（P蕴涵Q）
对于任意公式 A，都有 A ⇒ A
对于任意公式 A、B、C，若 A ⇒ B，B ⇒ C，则 A ⇒ C
对于任意公式 A、B、C，若 A ⇒ B，A ⇒ C，则 A ⇒ (B ∧ C)
对于任意公式 A、B、C，若 A ⇒ C，B ⇒ C，则 (A ∨ B) ⇒ C
设A、B为命题公式，A ⇔ B 的充分必要条件是 A ⇒ B 且 B ⇒ A
总结 >>> 对于任意两个命题 A 和 B
A ⇔ B 当且仅当 A ⇒ B 且 B ⇒ A
A ⇔ B 当且仅当 A ↔ B 为永真式
A ⇒ B 当且仅当 A → B 为永真式
推理定律
| 名词 | 公式 |
|---|---|
| 化简律 | P ∧ Q ⇒ P P ∧ Q ⇒ Q |
| 附加律 | P ⇒ P ∨ Q Q ⇒ P ∨ Q |
| 化简律变种 | ┐(P → Q) ⇒ P ⇒ ┐Q |
| 附加律变种 | Q ⇒ P → Q ┐P ⇒ P → Q |
| 假言推理 | P ∧ (P → Q) ⇒ Q |
| 拒取式 | ┐Q ∧ (P → Q) ⇒ ┐P |
| 析取三段论 | ┐Q ∧ (P ∨ Q) ⇒ P |
| 条件三段论 | (P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ P → R |
| 等价三段论 | (P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R) ⇒ P ↔ R |
| 合取构造二难 | (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∧ R) ⇒ Q ∧ S |
| 析取构造二难 | (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R) ⇒ Q ∨ S |
| 前后件附加 | P → Q ⇒ (P ∧ R) → (Q ∧ R) P → Q ⇒ (P ∨ R) → (Q ∨ R) |
1.3 > 联结词完备集
联结词完备集
设 S 是联结词集合，若任何 n（n>0）元真值函数都可以由仅含 S 中的联结词构成的公式表示，则称 S 是联结词完备集
根据定义可知，S = { ┐, ∧, ∨, →, ↔ } 是联结词完备集
S1 = { ┐, ∧, ∨, →, ↔ }
S2 = { ┐, ∧, ∨, → }
S3 = { ┐, ∧ }
S4 = { ┐, ∨ }
S5 = { ┐, → }
均为联结词完备集
最小联结词完备集
我们把 S = { ┐, ∧ }，S = { ┐, ∨ } 称为最小联结词完备集
与非门，或非门
设 P、Q 为命题公式，P 与 Q 的否定是一个复合命题，记作 P ↑ Q，即 P 和 Q 的与非式，符号 ↑ 是与非联结词
设 P、Q 为命题公式，P 或 Q 的否定是一个复合命题，记作 P ↓ Q，即 P 和 Q 的或非式，符号 ↓ 是或非联结词
可以证明 S = { ↑ } 和 S = { ↓ } 都是联结词完备集