文檔說明：關於自考離散數學知識點的歸納集
課程名稱：辛運幃/機械工業2014年版離散數學
課程代碼：02324
文檔作者：Yohann Fang
第1章 > 命題與命題公式
1.1 > 命題與命題聯結詞
1.1.1 > 命題與命題的表示
數理邏輯
又被稱為符號邏輯，最基本的兩個組成部分是命題演算和謂詞演算
推理
由一個或幾個已知的前提推導出一個未知結論的思維過程
真值
一個陳述句是否成立的屬性，成立為真，不成立為假，真表示為 T 或 1，假表示為 F 或 0
命題
具有唯一真值的陳述句
可能為真或假的陳述句非命題（x + y > 5非命題）
無法判斷但是只有唯一真值的陳述句依然視為命題（地球外有外星人）
疑問句/感嘆句/祈使句均非命題
悖論非命題（不討論）
命題的符號化
用符號表示命題的過程，通常使用大寫或小寫英文字母表示（可以添加數字作為下標）
命題標識符
表示命題的符號
如果表示的命題確定，則為命題常量（項）
如果只代替命題的所處位置，則為命題變元（項）
用具體的命題替換命題變元被稱為命題變元的指派
命題變元不是命題本身
1.1.2 > 復合命題與聯結詞
原子命題
不能再被分解的命題，又被稱為簡單命題
復合命題
由原子命題通過聯結詞聯結而成的命題
聯結詞
表示兩個句子之間的關系
數理邏輯中常用的聯結詞共有 5 個，如下所示
否定聯結詞
┐A 讀作 非A
| A | ┐A |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
合取聯結詞
A ∧ B 讀作 A合取B（A且B）
合取聯結詞具有對稱性，A ∧ B ⇔ B ∧ A
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
析取聯結詞
A ∨ B 讀作 A析取B（A或B）
析取聯結詞具有對稱性，A ∨ B ⇔ B ∨ A
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
條件聯結詞
A → B 讀作 若A則B
條件聯結詞不具有對稱性，A → B 不等價於 B → A
| A | B | A → B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
雙條件聯結詞
A ↔ B 讀作 A當且僅當B
雙條件聯結詞具有對稱性，A ↔ B ⇔ B ↔ A
| A | B | A ↔ B |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
1.2 > 命題公式的等值演算
1.2.1 > 命題公式
命題公式
命題公式也稱為合式公式，命題形式，簡稱公式
將命題用聯結詞和圓括號按一定邏輯關系聯結起來的符號串稱為命題公式
1：單個命題變元或命題常量也可以是合式公式，並稱為原子命題公式
2：若 A 是合式公式，則 ┐A 也是合式公式
3：若 A B 均為合式公式，則 A（聯結詞）B 也是合式公式
有限利用以上三條合成的公式也屬於合式公式
合式公式最外層括號可以省略，不影響運算次序的括號可以省略
聯結詞的優先級
否定聯結詞 > 合取聯結詞 > 析取聯結詞 > 條件聯結詞 > 雙條件聯結詞
優先級由高到低
子公式
設 A1 是公式 A 的一部分，且 A1 是一個合式公式，則稱 A1 是 A 的子公式或公式分量
命題的指派
設 A 為命題公式，P₁P₂…Pₙ 為出現在 A 中的所有命題變元，對 P₁P₂…Pₙ 各指派一個真值稱為對命題 A 的一種指派，若指派后使得命題 A 的值為真，則稱這組值為 A 的成真指派，反之為成假指派
真值表
若命題 A 中共有 n 個命題變元，給定一組指派，指派可以為 1 或 0，根據排列組合可知，含有 n 個命題變元的命題公式，共有 2ⁿ 組指派，將公式 A 的所有指派的取值列出的表，稱為 A 的真值表
命題等價
給定兩個命題公式 A 和 B，若對 A 和 B 給定任意一組指派都使得 A 和 B 的真值相同，則稱 A 和 B 等價，記作 A ⇔ B，若至少有一組指派的真值不同，則稱 A 和 B 不等價
推論 > 對於任意公式 P，都有無窮多個公式與 P 等價
永真式與永假式
設 A 為命題公式，若各種指派下 A 的取值均為真，則稱 A 為永真式或重言式，若取值均為假，則稱 A 為永假式或矛盾式
推論 > 兩個命題公式 P ⇔ Q 當且僅當 P ↔ Q 為永真式
可滿足式
設 A 為命題公式，若 A 至少存在一組成真指派，則為可滿足式，永真式是可滿足式，但可滿足式不一定是永真式（可視為永真式 ⊆ 可滿足式）
命題公式定律
| 名詞 | 公式 |
|---|---|
| 雙重否定律 | A ⇔ ┐┐A |
| 排中律 | A ∨ ┐A ⇔ T |
| 矛盾律 | A ∧ ┐A ⇔ F |
| 同一律 | A ∨ F ⇔ A ∧ T ⇔ A |
| 零律 | A ∧ F ⇔ F A ∨ T ⇔ T |
| 冪等律 | A ∧ A ⇔ A ; A ∧ A ∧ A ⇔ A A ∨ A ⇔ A ; A ∨ A ∨ A ⇔ A |
| 交換律 | A ∧ B ⇔ B ∧ A A ∨ B ⇔ B ∨ A |
| 結合律 | (A ∧ B) ∧ C ⇔ A ∧ (B ∧ C) (A ∨ B) ∨ C ⇔ A ∨ (B ∨ C) |
| 分配律 | (A ∧ B) ∨ C ⇔ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) (A ∨ B) ∧ C ⇔ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) |
| 吸收律 | (A ∧ B) ∨ A ⇔ (A ∨ B) ∧ A ⇔ A |
| 德摩根律 | ┐A ∧ ┐B ⇔ ┐(A ∨ B) ┐A ∨ ┐B ⇔ ┐(A ∧ B) |
| 名詞 | 公式 |
|---|---|
| 蘊涵等值式 | A → B ⇔ ┐A ∨ B |
| 否定等值式 | A ↔ B ⇔ ┐A ↔ ┐B |
| 等價等值式 | A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A) |
| 假言易位式 | A → B ⇔ ┐B → ┐A |
| 歸謬論 | (A → B) ∧ (A → ┐B) ⇔ ┐A |
1.2.2 > 等值演算與蘊涵式
等值演算
由已知的等值式推演出另外一些等值式的過程，被稱為等值演算或等價變化，是布爾代數或邏輯代數的重要組成部分
蘊涵式
又稱永真條件式，P → Q 為永真式當且僅當 P ⇒ Q（P蘊涵Q）
對於任意公式 A，都有 A ⇒ A
對於任意公式 A、B、C，若 A ⇒ B，B ⇒ C，則 A ⇒ C
對於任意公式 A、B、C，若 A ⇒ B，A ⇒ C，則 A ⇒ (B ∧ C)
對於任意公式 A、B、C，若 A ⇒ C，B ⇒ C，則 (A ∨ B) ⇒ C
設A、B為命題公式，A ⇔ B 的充分必要條件是 A ⇒ B 且 B ⇒ A
總結 >>> 對於任意兩個命題 A 和 B
A ⇔ B 當且僅當 A ⇒ B 且 B ⇒ A
A ⇔ B 當且僅當 A ↔ B 為永真式
A ⇒ B 當且僅當 A → B 為永真式
推理定律
| 名詞 | 公式 |
|---|---|
| 化簡律 | P ∧ Q ⇒ P P ∧ Q ⇒ Q |
| 附加律 | P ⇒ P ∨ Q Q ⇒ P ∨ Q |
| 化簡律變種 | ┐(P → Q) ⇒ P ⇒ ┐Q |
| 附加律變種 | Q ⇒ P → Q ┐P ⇒ P → Q |
| 假言推理 | P ∧ (P → Q) ⇒ Q |
| 拒取式 | ┐Q ∧ (P → Q) ⇒ ┐P |
| 析取三段論 | ┐Q ∧ (P ∨ Q) ⇒ P |
| 條件三段論 | (P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ P → R |
| 等價三段論 | (P ↔ Q) ∧ (Q ↔ R) ⇒ P ↔ R |
| 合取構造二難 | (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∧ R) ⇒ Q ∧ S |
| 析取構造二難 | (P → Q) ∧ (R → S) ∧ (P ∨ R) ⇒ Q ∨ S |
| 前后件附加 | P → Q ⇒ (P ∧ R) → (Q ∧ R) P → Q ⇒ (P ∨ R) → (Q ∨ R) |
1.3 > 聯結詞完備集
聯結詞完備集
設 S 是聯結詞集合，若任何 n（n>0）元真值函數都可以由僅含 S 中的聯結詞構成的公式表示，則稱 S 是聯結詞完備集
根據定義可知，S = { ┐, ∧, ∨, →, ↔ } 是聯結詞完備集
S1 = { ┐, ∧, ∨, →, ↔ }
S2 = { ┐, ∧, ∨, → }
S3 = { ┐, ∧ }
S4 = { ┐, ∨ }
S5 = { ┐, → }
均為聯結詞完備集
最小聯結詞完備集
我們把 S = { ┐, ∧ }，S = { ┐, ∨ } 稱為最小聯結詞完備集
與非門，或非門
設 P、Q 為命題公式，P 與 Q 的否定是一個復合命題，記作 P ↑ Q，即 P 和 Q 的與非式，符號 ↑ 是與非聯結詞
設 P、Q 為命題公式，P 或 Q 的否定是一個復合命題，記作 P ↓ Q，即 P 和 Q 的或非式，符號 ↓ 是或非聯結詞
可以證明 S = { ↑ } 和 S = { ↓ } 都是聯結詞完備集