一、代數結構
函數f : A×A→A稱作A上的一個二元運算，通常寫作〇(a,b)或a〇b。
此時運算表中的每個元素都屬於A，稱A對f封閉。例如Z+對除法運算不封閉（除法不是正整數集合上的二元運算）。
函數f : A→A稱作A上的一個一元運算，通常寫作f(a)或fa。
f1~fk是A上的k個運算，則(A, f1 , f2 , ... , fk)是一個代數結構/代數系統
二、群論
半群(S, ·)：集合S非空、運算·對集合S封閉、運算·可結合
若集合S有限，則一定存在a∈S使得a·a=a
證明：？？？（我不會）
可交換半群：半群(S, ·)中的運算·滿足交換性
亞群、含幺半群、單元半群、獨異點：含有單位元的半群
群(G，·)：運算·封閉、運算·可結合、集合G中存在單位元、集合G中任意元素都存在逆元（存在則必唯一）
可換群/阿貝爾群/Abel群：運算·在G上是可交換的群
有限群（G中元素個數稱為有限群的階數|G|）和無限群
平凡群：只包含單一元素e的群，其群運算只有e·e=e，它也是Abel群
群方程
若代數系統(G , *)為半群，且G中方程ax=b有唯一解、xa=b有唯一解，則(G , *)為群
同態與同構
群的一些重要性質
例題：設(G , *)為群，試證明若|G|=n，則G中階>2的元素為偶數個
證明：|a|>2時，必然有a≠a-1，否則a2=e，|a|≤2
故G中階>2的元素a和a-1成對出現，其個數必然為偶數
循環群
置換與置換群
子群
假設(G , ·)是一個群，H⊆G（H是G的一個子集）
如果H在G中的運算下也構成一個群，則稱(H , ·)是(G , ·)的一個子群，記作H≤G
H和K都是G的子群時，H∩K還是G的子群；H∪K是G的子群當且僅當H⊆K或K⊆H
({e} , ·)和(G , ·)是G的平凡子群；其它子群則是非平凡子群
陪集與拉格朗日定理
設(H , ·)是(G , ·)的一個子群，g∈G
由g確定的H在G中的左陪集（H關於g的左陪集）為gH={g·h | h∈H}
由g確定的H在G中的右陪集（H關於g的右陪集）為Hg={h·g | h∈H}
左陪集元素個數|gH|=右陪集元素個數|Hg|=|H|（h1≠h2時，gh1≠gh2，因此gH和Hg中各元素互異）
左陪集gH和右陪集Hg中，必然都包含了代表元g本身
正規子群與商群
