一、關系的運算
笛卡爾積/直積A×B={(a , b) | a∈A且b∈B}，對於∩和∪都滿足分配性。
A×B=B×A ⟺(A=∅)∨(B=∅)∨(A=B)
R⊆A×B，當(a , b)∈R時稱a與b具有關系R，即xRy。A=B時R就是A上的一個二元關系。
例如集合冪集P(A)上的包含關系為P⊆={(x , y) | x∈P(A) ∧y∈P(A) ∧x⊆y}
A上的恆等關系IA={(a , a) | a∈A}，(a , b)∈IA當且僅當a=b
A上的全域關系EA={(a , b) | a , b∈A}，(a , b)∈EA恆成立
注意：關系是集合！對集合成立的運算對關系都成立，例如＜∩＞=∅，≤∩≥==
R的定義域（domain）為R中所有有序對第一元素構成的集合；值域（range）為所有有序對第二元素構成的集合
Dom(R-1)=Ran(R)，Dom(R)=Ran(R-1)
x的像集（image）為R(x)={y∈B | xRy}，子集A1的像集R(A1)={y∈B | xRy對某x∈A1成立}，R(∅)=∅
若R、S是A到B的二元關系，對任意a∈A都有像集R(a)=S(a)，那么R=S
證明：對任意(a ,b)∈R，b∈R(a)=S(a)，故(a ,b)∈S，
R在集合C上的限制R|C={(a , b) | a∈C且(a , b)∈R}
其中矩陣布爾積S○R的計算方法：Rik=1且Skj=1時，(S○R)ij=1。其運算與普通矩陣運算是完全一樣的，只不過最后要將所有非0轉換為1
(S○R)(A1)=S(R(A1))
二、冪和道路
設R為集合A上的關系
A上的關系Rn為：a, b∈A，則aRnb當且僅當存在R中從a到b長為n的道路
A上的關系R∞為：a, b∈A，則aR∞b當且僅當存在R中從a到b的道路
Rn可遞歸地定義為：
三、關系的性質
若|A|=n，則A上可定義：
（1）2n×n個不同的關系
（2）2n×n-n個不同的自反關系
（3）2n×n-n個不同的非自反關系
（4）2(n×n-n)/2+n個不同的對稱關系
（5）3(n×n-n)/2個不同的非對稱關系
（6）2n×3(n×n-n)/2個不同的反對稱關系
四、閉包
關系閉包運算的性質
R⊆S時有r(R)⊆r(S)、s(R)⊆s(S)、t(R)⊆t(S)
s(R)和t(R)能保持自反性；r(R)和t(R)能保持對稱性；r(R)能保持傳遞性，s(R)則不一定能保持
（1）rs(R)=r(R∪R-1)=IA∪(R∪R-1)=(R∪IA)∪(R-1∪IA-1)=(R∪IA)∪(R∪IA)-1=s(R∪IA)=sr(R)
（2）rt(R)=r(R∞)=R∞∪IA=(R∪IA)∞=t(R∪IA)=tr(R)
（3）st(R)⊆ts(R)，即傳遞閉包的對稱閉包不一定還是傳遞的，如{(1, 3)}
證明：只需證明①ts(R)具有對稱性、②t(R)⊆ts(R)
①的證明：s(R)具有對稱性，t(R)能保持對稱性，故ts(R)具有對稱性
②的證明：R⊆ts(R)，ts(R)具有傳遞性，故t(R)⊆ts(R)
Warshall傳遞閉包算法
五、等價與划分
等價關系x~y：自反、對稱、傳遞
R(a)稱作a所在的等價類[a]、[a]R
集合{R(a) | a∈A}稱作A關於R的商集，記作A/R（即R的所有等價類作為元素的集合)，a是R(a)的代表元
aRb，當且僅當R(a)=R(b)
R、S是等價關系時，R∩S一定是等價關系，R∪S則不一定，包含R∪S的最小等價關系是(R∪S)∞
證明：R∩S可以保持自反性、對稱性、傳遞性，因此它是對稱關系
R∪S可以保持自反性、對稱性，但不一定能保持傳遞性
因此(R∪S)∞=t(R∪S)肯定也具有自反性、對稱性作為R∪S的傳遞閉包顯然也具有傳遞性 ，因此它是等價關系
對於任何包含R∪S的等價關系T，都是必定具有傳遞性的，而其中(R∪S)∞作為R∪S的傳遞閉包必定是最小的
六、偏序關系和偏序集
1.偏序關系
偏序關系：自反、反對稱、傳遞。例如恆等關系IA是就是偏序關系
偏序集：集合A和偏序關系R構成的有序二元組(A , R)
R-1也是偏序關系，稱為R的對偶；(A , R-1)稱為(A , R)的對偶。
a、b可能可比（a≥b或a≤b），也可能不可比
如果對任意a, b∈A，它們都是可比的，則R稱為全序關系/線序關系，(A , R)稱為線序集、全序集、鏈
R-IA是擬序關系
2.擬序關系
擬序關系：非自反、傳遞、非對稱
逆序集(A , ＜)中肯定不會存在大於1的圈
R+IA是偏序關系
3.哈斯圖
（1）省略自環
（2）刪除可通過傳遞性省略的有向邊
（3）有向邊均向上
（4）忽略箭頭
（5）所有頂點替換為點
只能表示有限偏序集，例如P({a , b , c})上的⊆關系如圖：
若(A , ≤)是有限非空偏序集，B⊆A
