离散数学知识点梳理

离散数学知识点概述

目录

• 1. 命题逻辑
  • 1.1 命题符号化及联结词
  • 1.2 命题公式及分类
  • 1.3 等值演算
  • 1.4 范式
  • 1.5 联结词全功能集
  • 1.6 组合电路
  • 1.7 推理理论

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1. 命题逻辑

1.1 命题符号化及联结词

具有唯一真值的陈述句称为命题

1. x + y > 5.(×)
2. 这朵花多好看呀(×)
3. 明天下午有会吗？(×)
4. 请关上门！(×)
5. 除地球外，其他星球上也有生命（√）

不能再分解为更为简单句子的命题为简单命题或原子命题

简单命题可以用p , q , r , ... , p_i , q_i , r_i , ... 表示，称为命题符号化

对于简单命题来说，它的真值是确定的，因而又称为命题常项或命题常元

真值可以变化的简单陈述句称为命题变项或命题变元，也可以用p , q , r , ... , p_i , q_i , r_i , ...表示

由简单命题用联结词联结而成的命题称为复合命题

这些简单命题之间是通过如“或者”、“并且”、“不”、“如果......则......”、“当且仅当”等这样的关联词和标点符号复合而成。

联结词“或”，又是具有相容性，有时具有排斥性，可是在数理逻辑中不允许这种二义性的存在，因而对联结词必须给出精确的定义，联结词符号化很好的解决了这个问题

真值联结词（逻辑联结词）

1. 否定式：设p为一命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式，记作\(\neg\) p。\(\neg\) 为否定联结词，\(\neg\) p为真当且仅当p为假

• 关键词：不是、没有

2. 合取式：设p、q为两命题，复合命题“p并且q”(或“p和q”)称为p与q的合取式，记作p \(\land\) q。\(\land\) 称作合取联结词，p \(\land\) q为真有且仅当p与q同时为真

• 关键词：“既\(\ldots\)又\(\ldots\)”，“不仅\(\ldots\)而且\(\ldots\)”，“虽然\(\ldots\)但是\(\ldots\)”
• 用p表示“李平聪明”，q表示“李平用功”，“李平不是不聪明，而是不用功” \(\Rightarrow\) \(\neg\) ( \(\neg\) p) \(\land\) \(\neg\) q
• "李文和李武是好朋友"此命题虽出现“和”，但它是简单命题，而不是复合命题

3. 析取式：设p、q为两命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p \(\lor\) q。\(\lor\) 称作析取联结词，p \(\lor\) q为假有且仅当p与q同时为假

• 关键词：相容或
• p表示”王燕学过英语“，q表示“王燕学过法语”，“王燕学过英语和法语” \(\Rightarrow\) p \(\lor\) q
• p表示“派小王开会”，q表示“派小李去开会”， “派小王或者小李去开会” \(\Rightarrow\) (p \(\lor\) q) \(\land\) \(\neg\) (p \(\land\) q), (p \(\land\) \(\neg\) q) \(\land\) (p \(\land\) \(\neg\) q)

4. 蕴涵式：设p、q为两命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p \(\rightarrow\) q，称q为蕴涵式式的前件，q为蕴涵式的后件。\(\rightarrow\) 称作蕴涵联结词，p \(\rightarrow\) q为假当且仅当p为真q为假

• 关键词：“只要p就q”，“p仅当q”，“只有q才p”
• q是p的必要条件，或p是q的充分条件
• 在数理逻辑中p \(\rightarrow\) q中的p与q不一定有什么内在联系

5. 等价式：设p、q为两命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p \(\leftrightarrow\) q。\(\leftrightarrow\) 称作等价联结词，p \(\leftrightarrow\) q为真当且仅当p与q的真值相同

• 关键词：“当且仅当”
• p与q互为充分必要条件

1.2 命题公式及分类

命题公式

若在复合命题中，p , q , r , ... , p_i , q_i , r_i , ...不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样组成的复合命题形式称为命题公式，也称合式公式，简称公式

（1）单个命题变项 p , q , r , ... , p_i , q_i , r_i , ...是合式公式

（2）如果A是合式公式，则(\(\neg\) A)也是合式公式

（3）如果A、B是合式公式，则(A \(\land\) B)、(A \(\lor\) B)、(A \(\rightarrow\) B)、(A \(\leftrightarrow\) B) 也是合式公式

（4）只有有限次地应用1~3组成的符号串才是合式公式

• 为方便起见，(\(\neg\) A)、(A \(\land\) B)等的外层括号可以省去

公式的层次

（1）若A是单个命题（常项或变项），则称A为0层公式

（2）称A是n + 1（n≥0）层公式是指下列诸情况之一

​ ①A= \(\neg\) B，B为n层公式

​ ②A=B \(\land\) C，其中B、C分别为i层和j层公式，且n=max（i，j）

​ ③A=B \(\lor\) C，其中B、C分别为i层和j层公式，且n=max（i，j）

​ ④A=B \(\rightarrow\) C，其中B、C分别为i层和j层公式，且n=max（i，j）

​ ⑤A=B \(\leftrightarrow\) C，其中B、C分别为i层和j层公式，且n=max（i，j）

（3）若A的层次为k，则称A为k层公式

• 一个含有命题变项的命题公式的真值是不确定的，只有对它的每个命题变项用指定的命题常项代替后，命题公式才变成命题，其真值也就唯一确定了

赋值（解释）

设A为一命题公式，p₁ , p₂ , p₃ , ... , p_n为出现在A中的所有的命题变项，给p₁ , p₂ , p₃ , ... , p_n指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称这组值为A的成真赋值；若使A的值为假，则称这组值为A的成假赋值

真值表

设公式A含有n（n≥1）个命题变项，将A在2ⁿ个赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表

构造真值表的具体步骤：

①找出命题公式中所含的所有命题变项p₁ , p₂ , p₃ , ... , p_n（按照字典序和下标数字大小给出）

②按从低到高的顺序写出各层次

③列出所有可能的赋值。从00……0（n位，二进制）开始，每次加1（十进制），直到11……1为止

④对应每个赋值，计算命题公式各层次的值，直到最后计算成命题公式的值

p	q	r	\(\neg\) r	q \(\lor\) \(\neg\) r	p \(\land\) ( q \(\lor\) \(\neg\) r )
0	0	0	1	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	1

公式分类

设A为一个公式

①若A无成假赋值，则称A为重言式或永真式

②若A无成真赋值，则称A为矛盾式或永假式

③若A至少有一个成真赋值，则称A为可满足式

④若A至少有一个成真赋值，又至少有一个成假赋值，则称A为非重言式的可满足式

n元真值函数

一个n（n \(\geq\) 1）阶笛卡尔积 {0,1}ⁿ 到 {0,1} 的函数称为一个n元真值函数。n元真值函数F记为F：{0,1}ⁿ \(\rightarrow\) {0,1}

n个命题变项，共有2ⁿ个可能的赋值。对于每个赋值，真值函数的函数值非0即1。于是n个命题变元共可以形成4ⁿ个不同的真值函数。每个真值函数对应一个真值表，也对应无穷多个命题公式，这些公式彼此都是等值的，它们中的每一个都是这个真值函数的一个表达形式。

p q	F1	F2	F3	F4	F5	F6	F7	F8
0 0	0	0	0	0	0	0	0	0
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1

p q	F9	F10	F11	F12	F13	F14	F15	F16
0 0	0	1	1	1	1	1	1	1
0 1	0	0	0	0	1	1	1	1
1 0	0	0	1	1	0	0	1	1
1 1	0	1	0	1	0	1	0	1

• F₁对应的命题公式都是矛盾式，F₁₆对应的命题公式都是重言式……

1.3 等值演算

基本等值式

设A、B为两命题公式，若等价式A \(\leftrightarrow\) B是重言式，则称A与B是等值的，记作A \(\Leftrightarrow\) B。因而判断A与B是否等值等价于判断A、B的真值表是否相同。

名称	公式
双重否定率	\(\neg\) \(\neg\) A \(\Leftrightarrow\) A
等幂律	A \(\lor\) A \(\Leftrightarrow\) A A \(\land\) A \(\Leftrightarrow\) A
交换律	A \(\lor\) B \(\Leftrightarrow\) B \(\lor\) A A \(\and\) B \(\Leftrightarrow\) B \(\land\) A
结合律	(A \(\lor\) B) \(\lor\) C \(\Leftrightarrow\) A \(\lor\) (B \(\lor\) C) (A \(\land\) B) \(\land\) C \(\Leftrightarrow\) A \(\land\) (B \(\land\) C)
分配律	A \(\lor\) (B \(\land\) C) \(\Leftrightarrow\) (A \(\lor\) B) \(\land\) (A \(\lor\) C) A \(\land\) (B \(\lor\) C) \(\Leftrightarrow\) (A \(\land\) B) \(\lor\) (A \(\land\) C )
德 \(\cdot\) 摩根律	\(\neg\) (A \(\lor\) B) \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) A \(\land\) \(\neg\) B \(\neg\) (A \(\land\) B) \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) A \(\lor\) \(\neg\) B
吸收律	A \(\lor\) (A \(\land\) B) \(\Leftrightarrow\) A A \(\land\) (A \(\lor\) B) \(\Leftrightarrow\) A
零律	A \(\lor\) 1 \(\Leftrightarrow\) 1 A \(\land\) 0 \(\Leftrightarrow\) 0
同一律	A \(\lor\) 0 \(\Leftrightarrow\) A A \(\and\) 1 \(\Leftrightarrow\) A
排中律	A \(\lor\) \(\neg\) A \(\Leftrightarrow\) 1
矛盾律	A \(\land\) \(\neg\) A \(\Leftrightarrow\) 0
蕴涵等值式	A \(\rightarrow\) B \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) A \(\lor\) B
等价等值式	A \(\leftrightarrow\) B \(\Leftrightarrow\) (A \(\rightarrow\) B) \(\land\) (B \(\rightarrow\) A)
假言易位	A \(\rightarrow\) B \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) B \(\rightarrow\) \(\neg\) A
等价否定等值式	A \(\leftrightarrow\) B \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) A \(\leftrightarrow\) \(\neg\) B
归谬论	(A \(\rightarrow\) B) \(\land\) (A \(\rightarrow\) \(\neg\) B) \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) A

• 以上等值式都不难用真值表证明
• 由于A、B、C代表的是任意的命题公式，因而每个公式都是一个模式，他可代表无数多个同类型的命题公式
• 由已知等值式推演出与给定公式等值的公式的过程为等值演算

置换规则

设 \(\Phi\) (A)是含公式A的命题公式，\(\Phi\) (B) 是用B置换 \(\Phi\) (A) 中的A之后得到的公式，若A \(\Leftrightarrow\) B，则 \(\Phi\) (A) \(\Leftrightarrow\) \(\Phi\) (B)

1.4 范式

简单析取式和简单合取式

仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称为简单析取式

仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式为简单合取式

• 一个简单析取式是重言式，当且仅当它同时含有一个命题变项及其否定
• 一个简单合取式是矛盾式，当且仅当它同时含有一个命题变项及其否定

例如，简单析取式p \(\lor\) \(\neg\)p \(\lor\) q是重言式

析取范式和合取范式

仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式

仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式

• 一个析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式是矛盾式

• 一个合取范式是重言式，当且仅当它的每个简单析取式是重言式

范式存在定理

范式存在定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式和合取范式，且不是唯一的

• 由于与某一命题公式等值的析取范式与合取范式的不唯一性，因而析取范式与合取范式不能作为同一真值函数所对应的命题公式的标准形式

极小项

设有n个命题变项，若在简单合取式中每个命题变项与其否定出现且仅出现一次，则称这样的简单合取式为极小项。在极小项中，命题变项与其否定通常按下角标和字典顺序排列。

• 将命题变项看成1，命题变项的否定看成0，则每个极小项对应一个二进制数。这个二进制数正好是该极小项的成真赋值。用这个二进制数对应的十进制数作为该极小项符号的角码

• n个命题变项共可产生 2ⁿ 个不同的极小项，分别记为 m₀ ， m₁ ， …… ， m_2^n-1

主析取范式

如果公式A的析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式

任何命题公式都有唯一的主析取范式

• 只要知道一个命题公式A的主析取范式，即可写出真值表

• 反之，若知道了A的真值表，找出所有的成真赋值，以对应的十进制数作为角码的极小项，从而可立即写出A的主析取范式

• 由于任何命题公式的主析取范式都是唯一的，因而若A \(\Leftrightarrow\) B，说明A与B有相同的主析取范式。反之，若A，B有相同的主析取范式，必有A \(\Leftrightarrow\) B

• 判断命题公式的类型

  • A为重言式，当且仅当A的主析取范式中含全部2ⁿ 个极小项
  • A为矛盾式 ，当且仅当A的主析取范式不含任何极小项，此时记A的主析取范式为0

极小项	二进制	写法
\(\neg\) p \(\land\) \(\neg\) q \(\land\) \(\neg\) r	000	m0
\(\neg\) p \(\land\) \(\neg\) q \(\land\) r	001	m1
\(\neg\) p \(\land\) q \(\land\) \(\neg\) r	010	m2
\(\neg\) p \(\land\) q \(\land\) r	011	m3
p \(\land\) \(\neg\) q \(\land\) \(\neg\) r	100	m4
p \(\land\) \(\neg\) q \(\land\) r	101	m5
p \(\land\) q \(\land\) \(\neg\) r	110	m6
p \(\land\) q \(\land\) r	111	m7

极大项

设有n个命题变项，若在简单析取式中每个命题变项与其否定出现且仅出现一次，则称这样的简单析取式为极大项。在极大项中，命题变项与其否定通常按下角标和字典顺序排列。

• 将命题变项看成0，命题变项的否定看成1，则每个极大项对应一个二进制数。这个二进制数正好是该极大项的成假赋值。用这个二进制数对应的十进制数作为该极大项符号的角码

• n个命题变项共可产生 2ⁿ 个不同的极大项，分别记为 M₀ ， M₁ ， …… ， M_2^n-1

主合取范式

如果公式A的合取范式中的简单析取式全是极大项，则称该析取范式为A的主合取范式

任何命题公式都有唯一的主析取范式

• 主析取范式和主合取范式互为对偶

1.5 联结词全功能集

全功能集

一般来说，在自然推理系统中，联结词集中的联结词越少越好，但必须具备表示所有真值函数的能力。

设S是一个联结词集合，如果任一真值函数都可以用仅含S中的联结词的命题公式表示，则称S为全功能集

{ \(\neg\) , \(\land\) , \(\lor\) }、{\(\neg\) , \(\land\) } 、{\(\neg\) , \(\land\) }、{\(\neg\) , \(\rightarrow\)}都是联结词全功能集

与非联结词

设p 、q 为两命题，复合命题"p 与 q 的否定"称为p 与 q的与非式，记作 p \(\uparrow\) q ，即 p \(\uparrow\) q \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) (p \(\land\) q) , \(\uparrow\) 称作与非联结词

或非联结词

设p 、q 为两命题，复合命题"p 或 q 的否定"称为p 或 q的与非式，记作 p \(\downarrow\) q ，即 p \(\downarrow\) q \(\Leftrightarrow\) \(\neg\) (p \(\lor\) q) , \(\uparrow\) 称作或非联结词

• {\(\uparrow\)}、{\(\downarrow\)}是联结词全功能集

• 除此之外，还有许多联结词全功能集

1.6 组合电路

略

1.7 推理理论

推理、前提、结论

推理是从前提推出结论的思维工程

前提是指已知的命题公式

结论是指从前提出发应用推理规则推出的命题公式

推理正确、逻辑结论、推理的形式结构

若(A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k) \(\rightarrow\) B 为重言式，则称(A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k) 推出结论B的推理正确， B是 A₁ , A₂ , \(\cdots\) , A_k 的逻辑结论或有效结论。称(A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k) \(\rightarrow\) B 为由前提 A₁ , A₂ , \(\cdots\) , A_k 推出结论B的推理的形式结构

• 用 A \(\Leftrightarrow\) B 表示 A \(\leftrightarrow\) B 是重言式类似，用 A \(\Rightarrow\) B 表示 A \(\rightarrow\) B 是重言式
• 判断推理是否正确就是判断一个蕴涵式是否为重言式（等值演算）

推理定律

名称	定律
附加	A \(\Rightarrow\) (A \(\lor\) B)
化简	(A \(\land\) B) \(\Rightarrow\) A
假言推理	((A \(\rightarrow\) B) \(\land\) A) \(\Rightarrow\) B
拒取式	((A \(\rightarrow\) B) \(\land\) \(\neg\) B) \(\Rightarrow\) \(\neg\) A
析取三段论	((A \(\lor\) B) \(\land\) \(\neg\) A) \(\Rightarrow\) B
假言三段论	((A \(\rightarrow\) B) \(\land\) (B \(\rightarrow\) C)) \(\Rightarrow\) (A \(\rightarrow\) C)
等价三段论	((A \(\leftrightarrow\) B) \(\land\) (B \(\leftrightarrow\) C)) \(\Leftrightarrow\) (A \(\leftrightarrow\) C)
构造性二难	(A \(\rightarrow\) B) \(\land\) (C \(\rightarrow\) D) \(\land\) (A \(\lor\) C) \(\Leftrightarrow\) (B \(\lor\) D)

证明

证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中每个命题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题公式应用推理规则得到的结论

推理规则

在以下推理规则中，用 A₁ , A₂ , ... , A_k \(\vDash\) B 表示 B 是 A₁ , A₂ , ... , A_k 的逻辑结论，在证明的序列中，若已有A₁ , A₂ , ... , A_k ，则可引入B

1. 前提引入规则：在证明的任何一步，都可以引入前提
2. 结论引入规则：在证明的任何一步，前面已经证明的结论都可作为后续证明的前提
3. 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式给都可以用与之等值的命题公式置换
4. 假言推理规则：A \(\rightarrow\) B, A \(\vDash\) B
5. 附加规则：A \(\vDash\) A \(\lor\) B
6. 化简规则：A \(\land\) B \(\vDash\) A
7. 拒取式规则：A \(\rightarrow\) B, \(\neg\) B \(\vDash\) \(\neg\) A
8. 假言三段论规则：A \(\rightarrow\) B, B \(\rightarrow\) C \(\vDash\) A \(\rightarrow\) C
9. 析取三段论规则：A \(\lor\) B , \(\neg\) B \(\vDash\) A
10. 构造性二难规则：A \(\rightarrow\) B, C \(\rightarrow\) D, A \(\lor\) C \(\vDash\) B \(\lor\) D
11. 合取引入规则：A, B \(\vDash\) A \(\land\) B

附加前提证明法

(A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k) \(\rightarrow\) (A \(\rightarrow\) B)

\(\Leftrightarrow\) \(\neg\) (A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k) \(\lor\) (\(\neg\) A \(\lor\) B)

\(\Leftrightarrow\) \(\neg\) (A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k \(\land\) A) \(\lor\) B

\(\Leftrightarrow\) \(\neg\) (A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k \(\and\) A) \(\rightarrow\) B

原来结论中的前件A已经变成前提了，称A为附加前提。

• 例题
  • 前提：p \(\rightarrow\) (q \(\rightarrow\) r), \(\neg\) s \(\lor\) p, q
  • 结论：s \(\rightarrow\) r
  • 证明：
    1. \(\neg\) s \(\lor\) p
    2. s
    3. p
    4. p \(\rightarrow\) (q \(\rightarrow\) r)
    5. q \(\rightarrow\) r
    6. q
    7. r

归谬法

若 A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k 是可满足式， 则称 A₁ , A₂ , ... , A_k 是相容的， 否则是不相容的

（A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k）\(\rightarrow\) B

\(\Leftrightarrow\) \(\neg\) （A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k）\(\lor\) B

\(\Leftrightarrow\) \(\neg\) (A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k \(\and\) \(\neg\) B)

若 A₁ \(\land\) A₂ \(\land\) \(\cdots\) \(\land\) A_k 与 \(\neg\) B 不相容， 则说明 B 是 A₁ , A₂ , ... , A_k的逻辑结论。

这种将\(\neg\) B 作为附加前提推出矛盾的证明方法称为归谬法

• 例题
  • 前提：p \(\rightarrow\) (\(\neg\) (r \(\and\) s) \(\rightarrow\) \(\neg\) q), p, \(\neg\) s
  • 结论：\(\neg\) q
  • 证明；
    • p \(\rightarrow\) (\(\neg\) (r \(\and\) s) \(\rightarrow\) \(\neg\) q）
    • p
    • \(\neg\) (r \(\and\) s) \(\rightarrow\) \(\neg\) q
    • \(\neg\) (\(\neg%\) q)
    • q
    • r \(\and\) s
    • \(\neg\) s
    • s
    • s \(\and\) \(\neg\) s
    • 矛盾式