群
基本定義
設V=<S, ∘ >是代數系統，∘為二元運算，如果∘運算是可結合的，則稱V為半群（代數系統的前提不要忘，詳情可看第九章）
如果半群中有單位元==> 含幺半群|獨異點
含幺半群還有逆元==>群通常記作G
群中的二元運算可交換==>交換群|阿貝爾群
Klein四元群
特征：
1. 滿足交換律
2. 每個元素都是自己的逆元
3. a, b, c中任何兩個元素運算結果都等於剩下的第三個元素
平凡群
只有單位元
有限群
群中元素有限
子群
如果把群看成集合，子群就是子集中能滿足群定義的 一個集合（可以有多個集合）
群是代數系統，最基本要滿足封閉性！
真子群就類似真子集
子群判定定理：
設G為群，H是G的非空子集. H是G的子群當且僅當∀a,b∈H 有ab−1∈H（感覺很懵逼） 證 必要性顯然. 只證充分性. 因為H非空，必存在a∈H. 根據給定條件得aa−1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利用給定條件得a(b−1) −1∈H，即 ab∈H. 綜合上述，可知H是G的子群.
生成子群：
設G為群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，則H是G的子
群，稱為由 a 生成的子群，記作<a>
例如：
Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是：
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
則偏序集< L(G), ⊆ >稱為G的子群格
就相當於子群先變成偏序集然后就滿足了格的定義？
因為是子群所以叫子群格？
右（左）陪集
設H是G的子群，a∈G.令
Ha={ha | h∈H}
稱Ha是子群H在G中的右陪集. 稱a為Ha的代表元素.
相當於右（左）乘a所得的集合？
循環群
設G是群，若在G中存在一個元素a,使得G中
的任意元素都是a的冪，則稱該群為循環群，
元素a為循環群G的生成元。記G =<a>.
生成子群就是一個循環群！
G 的子群也是循環群
若G 是無限階，則G 的子群除{e}外也是無限階 （{e}是1階）
若G 是n 階的，則對於n 的每個正因子d,
在G 中有且僅有一個d 階子群.
置換群
設S＝{1,2,…,n}，S上的任何雙射函數σ：S→S稱為S上的n元置換。可以理解為雙射函數....
設σ,τ是n元置換，則σ和τ的復合σ°τ也是n元置換，稱為σ與τ的乘積，記作στ。就是雙射函數的復合函數...
設 π ∈ Sn, π : i1 → i2 , i2 → i3, ⋅⋅⋅, ik → i1 ，並使其余的元
素保持不變，則稱 π 為一個k階循環置換，記為(i1 i2⋅⋅⋅ ik )
由於(i1 i2 i3 ⋅⋅⋅ ik ) = (i2 i3 ⋅⋅⋅ ik i1 ) = ⋅⋅⋅ = (ik i1 i2 ⋅⋅⋅ ik-1 ), 因此一個k階循環置換有 k種表示方式，且k階循環置換的階為k
1階循環置換只有 1 種表示方式，即恆等置換（i）可視作 (i,i) 但是一階循環置換
2階循環置換又稱為對換
對換分解式：(i1 i2…ik) = (i1 i2) … (i1 ik-1) (i1 ik)
奇置換：表成奇數個對換之積
偶置換：表成偶數個對換之積
奇置換與偶置換之間存在一一對應，因此各有n!/2個
階
設G是群，a∈G，使得等式 a^k=e 成立的最小正整數k 稱為a 的階，記作|a|=k，
稱 a 為 k 階元. 若不存在這樣的正整數 k，則稱 a 為無限階元
群的階 <==> 群的基數<==> 群中元素的個數
環與域
設<R,+,·>是代數系統，+和·是二元運算. 如果滿足
以下條件:
(1) <R,+>構成交換群
(2) <R,·>構成半群 | 代數系統中只有結合率
(3) · 運算關於+運算適合分配律 | 有分配率
則稱<R,+,·>是一個環
一般有整數環，實數環，復數環，有理數環...
如果半群==>有交換率|環==>交換環 （有交換律的半群不一定是交換群！！！）
如果半群存在單位元環==>環|含幺環
若∀a,b∈R，ab=0 ⇒ a=0∨b=0，則稱R是無零因子環 懵？？？
若R既是交換環、含幺環、無零因子環，則稱R是整環
設R是整環，且R中至少含有兩個元素. 若∀a∈R*，其中R*=R−{0}，都有a－1∈R，則稱R是域
都是概念沒啥感覺