近世代數

本文轉載自查看原文 2021-03-09 17:13 561 數學

群

群 = 非空集合 + 二元運算 + 性質

半群

設 $\mathbb G$ 為一個非空集合， $\mathbb G$ 上有二元運算 $\cdot$ ，滿足結合律，則稱 $\{\mathbb G; \cdot \}$ 或 $\{\mathbb G\}$ 為一個半群。

擴展：

幺元：假設半群 $\{\mathbb G;\cdot \}$ ，若元素 $e_1\in \mathbb G$ 滿足 $\forall a\in \mathbb G$ ， $e_1\cdot a=a$ ，則稱 $e_1$ 為 $\mathbb G$ 的左幺元。同樣的可以推廣至右幺元。若 $e$ 既是左幺元又是右幺元，則稱 $e$ 為 $\mathbb G$ 的幺元，同時稱 $\mathbb G$ 為幺半群。

逆元：設 $\{\mathbb G; \cdot\}$ 為幺半群， $e$ 為幺元， $a\in \mathbb G$ 。若元素 $a'$ 滿足 $a'\cdot a=e$ ，則稱 $a'$ 為 $a$ 的左逆元。同樣可以推廣至右逆元。若 $b\in \mathbb G$ 既是 $a$ 的左逆元又是右逆元，則稱 $b$ 為 $a$ 的一個逆元，將 $b$ 記為 $a^{-1}$ 。

群定義

幺半群 $\mathbb G$ 每個元素都可逆，則把 $\mathbb G$ 稱為群。

第一定義：

從集合觀點來看： $\mathbb G \neq \varnothing$ ，定義一個二元運算 $\cdot$

$\mathbb G$ 對於 $\cdot$ 封閉。
運算 $\cdot$ 滿足結合律。
$\mathbb G$ 里面存着幺元， $e:e\cdot a = a\cdot e , a\in \mathbb G$ 。
$\forall a\in \mathbb G, a$ 存在逆元， $\exists b$ 使得 $a\cdot b= b\cdot a =e$ 。

第二定義：

$\mathbb G \neq \varnothing$ ，定義一個二元運算 $\cdot$

$\mathbb G$ 對於 $\cdot$ 封閉。
運算 $\cdot$ 滿足結合律。
$\mathbb G$ 中存在左（右）幺元 $e$
$\forall a\in \mathbb G$ ， $a$ 存在左（右）逆元 $b$ ， $b\cdot a =e$

擴展：

映射

設函數 $f:X\rightarrow Y,y=f(x)$
單射：任給 $x_1$ , $x_2$ $\in X$ ,若 $x_1≠x_2$ ,則 $f(x_1)≠f(x_2)$ ，稱 $f$ 為單射

滿射：任給 $y\in Y$ ，都存在 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$ , 稱 $f$ 為滿射

雙射：若 $f$ 既是單射又是滿射，稱 $f$ 為雙射，也叫一一對應。

代數運算

設 $A,B,D$ 為三個非空集合，一個映射 $f:A\times B\to D$ ，該映射稱為 $A\ and\ B$ 到 $D$ 的一個代數運算。

如果 $A=B=D$ ,代數運算 $f$ 稱為 $A$ 上的二元運算

運算表

$A=\{1,2\},B=\{1,2\},D=\{奇,偶\}$ ,定義 $f:A\times B \to D$ ,

$1\cdot 1:(1,1)\to 奇,(1,2)\to 偶,(2,1)\to 偶, (2,2)\to偶$

運算表如下：

	1	2
1	奇	偶
2	偶	奇

對角線對稱，可以發現這是一個交換的集合，其實可以看到 $A=B$ 。所以，交換律其實可以從表中可以看出來。

分類

$A$ 一個分類就是將 $A$ 寫成一些不相交的非空子集的並

$A=\bigcup_{i\in I}A_i, \forall i, A_i \neq \varnothing \\ \forall i,j\in I,i\neq j, A_i\cap A_j = \varnothing, \{A_i\}$

關系

集合 $A\neq \varnothing$ 中一種對兩個元素而言的一種性質，使 $A$ 中任何兩個元素要么有關系，要么沒關系，二者必居其一。用 $R$ 表示， $a$ 與 $b$ 有關系 $R$ ，記為 $a R b$ ，無關系 $R$ ，記為 $a !R b$ .

等價關系

設 $A\neq \varnothing$ 中定義了關系 $R$ ，若 $R$ 滿足條件

反身性： $\forall a\in A, aRa$ .
對稱性： $aRb\Rightarrow bRa$ .
傳遞性： $aRb,bRc\Rightarrow aRc$

則稱 $R$ 為等價關系

等價關系與分類的關系：

等價關系 $\Leftrightarrow$ 分類，即 $A$ 中一個等價關系 $R$ 決定 $A$ 的一個分類、 $A$ 的一個分類決定 $A$ 中一個等價關系

等價類

設 $A\neq \varnothing$ ， $A$ 中有一個等價關系 $R$ ， $a\in R$ ，定義 $a$ 的等價類 $\bar{a}=\{b\in A| aRb\}$ （或稱 $a$ 所在的等價類）。

設 $A\neq \varnothing$ ， $A$ 中定義了等價關系 $R$ ，定義集合 $A/R=\{\bar{a}|a\in A\}$ (重復的只取一個)稱為 $A$ 對 $R$ 的商集合

同余關系

設 $A\neq \varnothing$ ， $A$ 中定義了二元運算 " $\cdot$ "，有定義了等價關系 $R$ ，如果 $R$ 和 " $\cdot$ " 滿足條件 $a_1 \ R \ b_1, a_2\ R\ b_2\Rightarrow a_1\cdot a_2 \ R\ b_2\cdot b_2$ ，則稱 $R$ 為 " $\cdot$ " 的同余關系

子群

假設 $\mathbb G$ 為群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ，若 $H$ 在 $\mathbb G$ 的運算構成群，則稱 $H$ 為 $\mathbb G$ 的子群，記為 $H<\mathbb G$ ，注意，這個不是表示小於的意思

假設 $H_1<\mathbb G,H_2<\mathbb G$ ，則 $H_1 \cap H_2<G$

設 $H<\mathbb G$ ，則下列條件等價：

$H$ 是 $\mathbb G$ 的正規子群，即 $H\triangleleft \mathbb G$ ；
$\forall g \in \mathbb G, gH=Hg$
$\forall g1_, g_2 \in \mathbb G, g_1H \cdot g_2H=g_1g_2H$ ，其中 $g_1H\cdot g_2H=\{g_1h_1g_2h_2|h_1,h_2\in H\}$ (對任何的非空子集 $A,B\leq \mathbb G, AB=\{ab|a\in A, b\in B\}$ )

不變子群（正規子群）

假設 $\mathbb G$ 為群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ， $\forall g \in \mathbb G, gH=Hg$ ，則 $H$ 是一個不變子群，記 $H\triangleleft \mathbb G$

判定定理：

1、假設 $\mathbb G$ 為群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ，則 $H\triangleleft \mathbb G$ 當且僅當 $\forall g \in G$ ，有$ gH{g^{ - 1}} = H$

2、假設 $\mathbb G$ 為群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ，則 $H\triangleleft \mathbb G$ 當且僅當 $\forall g \in G 和 \forall h \in H$ ，有$ g{\rm{h}}{g^{ - 1}} \in H$

擴展：

1、一個交換群 $\mathbb G$ 的每一個子群 $H$ 都是不變子群

2、平凡子群都是不變子群

平凡子群：設 $\mathbb G$ 為群，{e}和 $\mathbb G$ 本身是 $\mathbb G$ 的平凡子群

陪集

設 $\mathbb G$ 為群， $H<\mathbb G, a\in \mathbb G$ ，定義 $aH=\{ah|h\in H\}$ 稱為 $a$ 為代表元的 $H$ 的一個左陪集， $Ha=\{ha|h\in H\}$ 稱為 $a$ 為代表元的 $H$ 的一個右陪集；換句話說，一個不變子群 $H$ 的一個左（右）陪作 $H$ 的一個陪集

設 $\mathbb G$ 為群， $H<\mathbb G$ ，則關系 $aRb=a^{-1}b\in H$ 為等價關系。 $a$ 所在的等價類 $\bar{a}$ 恰好是 $H$ 的左陪集 $\bar{a}=aH$ ，故 $a$ 的所有左陪集構成 $\mathbb G$ 的一個分類。

商群

定義1：設 $H<\mathbb G$ ，則等價關系 $aRb\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ 是 $\mathbb G$ 的同余關系 $\Leftrightarrow$ $H\triangleleft \mathbb G$ ，這個時候， $\mathbb G/H$ 對於誘導的運算構成一個群，則稱 $\mathbb G$ 為 $H$ 的商群，記為 $\mathbb G/H$ 。

定義2：一個群 $\mathbb G$ 的一個不變子群 $H$ 的陪集（關於陪集的乘法）所作成的群叫做一個商群，記為 $\mathbb G/H$

即：若 $H\triangleleft \mathbb G$ ，是群 $\mathbb G$ 關於其不變子群 $H$ 的一個陪集分解，對於，定義：，則 $\mathbb G/H$ 關於上述法則作成一個群，叫做群 $\mathbb G$ 關於不變子群 $H$ 的商群

舉例： $\{\mathbb Z;+\}$ 為 $\rm Abel$ 群， $m\in \mathbb N$ ， $m\mathbb Z \triangleleft \mathbb Z$ ，則 $\mathbb Z/ m\mathbb Z$ 為群， $\mathbb Z/ m\mathbb Z=\{\bar{1},\bar{2},\bar{3},...,\overline {{\rm{m - 1}}} \}$ ，由 $\overline {r_1}+\overline {r_2}=\overline {r_1+r_2}$ ，設 $r_1+r_2=qm+r, 0\leq r<m$ ，則 $\overline {r_1}+\overline {r_2}=\overline {r}$ ，所以 $\mathbb Z/ m\mathbb Z=\mathbb Z_m$ 為模 $m$ 的剩余類加群，

同態和同構

設 $\{G_1;\cdot \},\{G_2;*\}$ ， $f$ 為 $G_1$ 到 $G_2$ 的映射，如果

$f(a\cdot b)=f(a)*f(b), \forall a,b\in G_1\\$ 稱 $f$ 為 $G_1$ 到 $G_2$ 的同態映射，簡稱為同態。若同態 $f$ 為單射，稱 $f$ 為單同態(滿射 $\rightarrow$ 滿同態)。若同態 $f$ 為雙射，則稱 $f$ 為同構，這時稱 $G_1$ 和 $G_2$ 同構，記為 $G_1\simeq G_2$ 。

擴展：

1、設 $f:G_1\to G_2$ 為同態，定義 ${\rm ker}\ f= \{a\in G_1|f(a)=e_2\}$ （0指的是 $G_2$ 中的0元）稱為 $f$ 的核，換句話說Kerf也就是 $G_2$ 中0元的原像

2、 ${\rm ker}\ f\triangleleft G_1$ .

3、（群的同態基本定理). 設 $f:G_1\to G_2$ 的滿同態，則 $G_1/{\rm ker}f\simeq G_2$

循環群

假設 $G$ 是一個群，如果存在 $a\in G$ ，使得 $G=\{a^n|n\in \mathbb Z\}$ ，則 $G$ 為循環群，記為 $G=\langle a \rangle$ ，稱 $a$ 為群 $G$ 的生成元。

舉例： $\{\mathbb Z;+\}$ 為循環群， $+1,-1$ 都為生成元

定理：

1、循環群肯定為交換群 (Abel群)。

2、循環群的子群也是循環群。

3、假設 $G$ 是一個由元 $a$ 所生成的循環群，那么 $G$ 的構造完全可以由a的階來決定：

$a$ 的階若是無限的，那么 $G$ 與整數加群同構

$a$ 的階若是一個有限整數m，那么 $G$ 與模m的剩余類加群同構

即：假設 $G$ 是一個循環群，若 $|G| = \infty$ ，則 $G \simeq\{\mathbb Z;+\}$ ，若 $|G|=m>0$ ，則 $G \simeq \mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z_m(\simeq U_m)$ 【 $m\mathbb Z, m\ge 0$ 是 $\{\mathbb Z;+\}$ 的子群形式】。我們可以得到兩個循環群同構 $\Leftrightarrow$ 它們的階相同。

4、設 $G=\langle a \rangle , |G|=m, n\in \mathbb N,n|m$ , 則 $G$ 中存在唯一的 $n$ 階子群。

模m的剩余類加群

假設 $G$ 是一個循環群， $G$ 包含模m的m個剩余類，[a]表示a這個整數所在的剩余類，現規定一個代數運算：，對於這種運算 $G$ 所作成一個群，這個群叫做模 $m$ 的剩余類加群，

變換

變換是一種特殊的映射

一個集合 ${\rm A}$ ， ${\rm A}$ 到 ${\rm A}$ 自己的映射，叫做 ${\rm A}$ 的一個變換：

隨之對應的 “單射變換”、“滿射變換”、“一一變換”

將集合 ${\rm A}$ 的全體變換作成一個集合，在集合上定義一個代數運算：，這種運算也可以看成變換的復合

這種運算適合結合律：

變換群

一個集合 ${\rm A}$ 的若干個一一變換對於上述的規定的運算所作成的一個群叫做 ${\rm A}$ 的一個變換群

定理：

1、（Cayley定理）任何群都與一個變換群同構

2、一個集合 ${\rm A}$ 的所有的一一變換作成一個變換群G

3、變換群一般不是交換群

置換

一個有限集合的一個一一變換叫做一個置換

置換群

置換群是變換群中的一個特例

一個有限集合的若干個置換作成的一個群叫做一個置換群

一個包含n個元的集合的全體置換作成的群叫做n次對稱群，記

定理：

1、奇置換乘奇置換為偶置換，奇置換與偶置換之積為奇置換，偶置換與偶置換之積為偶置換，奇置換之逆是奇置換，偶置換之逆是偶置換。

2、n次對稱群的階是n！

3、每一個有限群都與一個置換群同構

4、每一個置換都可以寫成不相連的循環置換的乘積

環

加群

一個代數運算是加法的交換群是加群

$R$ 對於加法的單位元為 $0$ ，稱為 $R$ 的零元；

設 $a\in R$ ， $a$ 在加法運算下的逆元記為 $-a$ ，記為 $R$ 的負元。

$m$ 個 $a$ 連加記為 $ma$ ；

規定 $0a=0,(-n)a=-(na)$

環定義

一個集合是環，需滿足：

1、是個加群，即對於一個叫做加法的代數運算作成一個交換群

2、對於另一個叫做乘法的代數運算，是閉的

3、滿足結合率：

4、滿足分配率：

擴展：

1、單位元：環中一個元，滿足：，若環中有單位元，則只能有一個；環未必有一個單位元

2、逆元：一個有單位元環的一個元叫做元的一個逆元：；環中的元未必有逆元

3、零因子：環 $R$ 中：，是環的一個左零因子，是環的一個右零因子，都簡稱為零因子

4、一個環 $R$ 沒有零因子 $\Leftrightarrow$ $R$ 滿足左右消去律。

環的特征

設 $R\ne \{0\}$ ，且為無零因子環，1）則 $R$ 中所有非零元對於 $R$ 的加法具有相同的階，2）且當這一個共同的階有限時必為素數。

設 $R$ 為無零因子環，若 $R$ 中非零元的階為無窮時，則稱 $R$ 的特征 $0$ ，若 $R$ 中所有的非零元都是有限 $P$ 階的（ $P$ 為素數），則稱 $R$ 的特征為 $P$ 。環的特征記為 ${\rm Ch}\ R$ 。

交換環

環 $R$ 叫做交換環，滿足：

整環

環 $R$ 叫做一個整環，滿足：

1、乘法滿足交換率：

2、 $R$ 有單位元1：

3、 $R$ 沒有零因子：

舉例：整數環是一個整環

除環

環 $R$ 叫做一個除環，滿足：

1、 $R$ 至少包含一個不等於零的元

2、 $R$ 有一個單位元

3、 $R$ 的每一個不等於零的元有一個逆元

擴展：

1、除環是沒有零因子的，因為：

2、除環 $R$ 的不等於零的元對於乘法來說作成一個群，叫做除環 $R$ 的乘群，因為：

（1）對於乘法來說是閉的

（2）乘法適合結合律

（3）有單位元，就是 $R$ 的單位元

（4）的每一個元有一個逆元

故，一個除環是由兩個群，加群和乘群，合成的；分配率好像是一座橋，使得兩個群中間之間發生一種聯系

子環

設 $R$ 為環， $R_1$ 是 $R$ 的非空子集，若 $R_1$ 對於 $R$ 的加法和乘法構成環，則稱 $R_1$ 為 $R$ 的子環。

$R$ 的非空子集 $R_1$ 是 $R$ 的子環充要條件是 $a-b\in R_1, ab\in R_1,\forall a,b\in R_1$ 。

理想

若子環 $I$ 滿足，和，則稱是環的一個左理想；

若子環 $I$ 滿足，和，則稱是環的一個左理想

若 $I$ 既是 $R$ 的左理想又是 $R$ 的右理想，則稱 $I$ 為 $R$ 的雙邊理想，簡稱理想。屬於子環

擴展：

1、 $0,R$ 分別是環的最小和最大理想，稱為平凡理想

2、設 $R$ 是一個環， $I$ 是 $R$ 的理想，若 $ab\in I$ ，則 $a\in I$ 或 $b\in I$ ，則稱 $I$ 是素理想。

3、 $R$ 是交換環， $I$ 是 $R$ 的理想，且 $I \ne R$ ，則 $I$ 是 $R$ 的素理想 $\Leftrightarrow$ $R/I$ 是整環。

4、 $M$ 是環 $R$ 的理想，若 $M\ne R$ ，且不存在 $R$ 的真理想 $N$ ,使得 $M\subset N, M\neq N$ ，則稱 $M$ 是極大理想

5、 $\{0\}$ 是交換環R的極大理想 $\Leftrightarrow R$ 是域

6、交換環R的極大理想一定是素理想。

$I\to R$ 的極大理想 $\Leftrightarrow$

$R/I域$ 是域 $\Rightarrow R/I$ 是整環 $\Leftrightarrow I$ 是素理想

剩余類環

1、剩余類

一個環 $R$ 和環的理想 $I$ ，以加法運算， $R$ 環作成一個群， $I$ 作成 $R$ 的一個不變子群，這樣 $I$ 的陪集：作成 $R$ 的一個分類，把這些分類叫做模 $I$ 的剩余類

把所有的剩余類作成一個集合叫做，並規定兩個法則：

這就是的代數運算

2、若 $R$ 是一個環， $I$ 是它的理想，是所有模 $I$ 的剩余類作成的集合，那么本身也是一個環，且【同態】

3、叫做環 $R$ 的模 $I$ 的剩余類環，記

4、若 $R$ 和時兩個環，且同態，那么這個同態滿射的核 $I$ 是 $R$ 的一個理想，且

5、環 $R$ 到環的一個同態滿射下：

（1） $R$ 的一個子環的象是的一個子環

（2） $R$ 的一個理想 $I$ 的象是的一個理想

（3）的一個子環的逆象是 $R$ 的一個子環

（4）的一個理想的象 $I$ 是 $R$ 的一個理想

環的同態

$R_1,R_2$ 是兩個環， $\phi$ 是 $R_1$ 到 $R_2$ 的映射，若滿足 $\forall a, b\in R_1$ ，

$\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\\ \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$

則稱 $\phi$ 是 $R_1$ 到 $R_2$ 的同態，若 $\phi$ 是單射，則稱 $\phi$ 是單同態，若 $\phi$ 是滿射，則稱 $\phi$ 是滿同態，若 $\phi$ 是雙射，則稱 $\phi$ 是同構，即 $R_1\simeq R_2$

易知， $\phi(0)=0$ ， $\phi(-a)=-\phi(a)$ ， ${\rm ker}\ \phi=\phi^{-1}(\{0\})=\{a\in R_1|\phi(a)=0\}$ 是環 $R_1$ 的理想。

擴展：

1、 $R_1, R_2$ 為環，定義

$\phi(a)=0, \forall a\in R \\$ ， $\phi$ 是同態，稱為零同態

2、 $f$ 是 $R_1$ 到 $R_2$ 的同態， $g$ 是 $R_2$ 到 $R_3$ 的同態，則 $gf$ 是 $R_1$ 到 $R_3$ 的同態，若 $f,g$ 是單同態，則 $gf$ 是單同態，若 $f,g$ 是滿同態，則 $gf$ 是滿同態。若 $f,g$ 是同構，則 $gf$ 是同構，則 $f^{-1}$ 是 $R_2$ 到 $R_1$ 的同構。

3、（環的同態基本定理）設 $\phi$ 是環 $R_1$ 到 $R_2$ 的滿同態，則 $R_1/{\rm ker} \ \phi\simeq R_2$

商環

設 $I$ 是 $R$ 的理想，在 $R$ 中定義關系 $\sim$

$a\sim b \Leftrightarrow a-b \in I \\$

則關系 $\sim$ 是等價關系，且對於環的加法和乘法是同余關系，記 $a\in R$ 的等價類為 $a+I$ ，在商集和 $R/\sim=R/I$ 上定義加法和乘法，

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I\\ (a+I)(b+I)=ab+I\\$

則 $R/I$ 對於上述運算構成一個環，稱為 $R$ 對於理想 $I$ 的商環。

擴展： $R$ 是交換環，可以推出 $R/I$ 是交換環， $R$ 是幺環，則 $R/I$ 也是幺環，且 $1+I$ 是 $R/I$ 的單位元。

多項式環

若是一個有單位元的交換環， $R$ 是的子環，且包含的單位元，現從中取出一個元，則有意義，即也是的一個元

1、多項式

一個可以寫成形式的的元叫做 $R$ 上的的一個多項式，叫做多項式的系數

2、現將所有 $R$ 上的多項式放到一起，作成一個集合，記，且對於加法和乘法都是閉的，也滿足結合律和交換律，所以是一個環，故叫做 $R$ 上的的多項式環

3、未定元

上的一個元叫做 $R$ 上的一個未定元，滿足：

4、一元多項式

令是環 $R$ 上的一個一元多項式，則非負數叫做這個多項式的次數

擴展：

若 $f,g∈S$ 非零， ${\rm deg}\ f=m,{\rm deg}\ g=n$ ，則、

1) $f+g=0$ 或 ${\rm deg}(f + 9)\ S\ {\rm max}(m,n);$

2) $fg = 0$ 或 ${\rm deg}(fg)≤{\rm deg}\ f +{\rm deg}\ g$ ,等號成立當且僅當 $f$ 的首項系數 $a_m$ 與 $g$ 的首項系數 $b_n$ 的乘積 $a_mb_n$ 不為零,特別地，若 $R$ 為整環，則 $S$ 也是整環。

現在定義 $R$ 到 $S$ 的映射 $\varphi: a→\{a,0,0...\}$ , 則顯然 $\varphi$ 是環的單同態。由此 $R$ 可以看成 $S$ 的一個子環。若 $R$ 是整環，則整環 $S$ 的所有單位就是 $R$ 的所有單位。

整環里的因子分解

唯一分解定理：一個整數可以惟一的寫成若干素數的乘積

唯一分解

1、單位

整環 $I$ 的一個元叫做 $I$ 的一個單位，若有逆元

一個整環中至少有兩個單位，就是1和-1

性質：

（1）兩個單位$\alpha 和\alpha '$的乘積$\alpha \alpha '$也是一個單位，單位$\alpha$的逆元${\alpha ^{{\rm{ - }}1}}$也是一個單位

2、相伴元

元b叫做元a的相伴元，若b是a和一個單位的乘積：$b = \alpha a$

3、平凡因子

單位以及元a的相伴元b 叫做a的平凡因子，其余a的因子，叫做a的真因子

4、因子

整環 $I$ 的一個元a可以被另外一個元b整除，且有第三個元c，使得：${\rm{c}} = ba$，叫a可以被b整除，b是a的因子，記$b|a$

5、素元

整環 $I$ 的一個元p叫做一個素元，滿足：p既不是零元也不是單位，且p只有平凡因子

擴展：

（1）單位e同素元p的乘積ep也是一個素元

（2）整環中的一個不等於零的元a有真因子的充分必要條件是：a=bc，b,c都不是單位

（3）假定a≠0，且a有真因子b: a=bc 那么c也是a的真因子

6、唯一分解

一個整數環 $I$ 的一個元a在 $I$ 的里有唯一分解，滿足：

（1）$a = {p_1}{p_2}...{p_r}$（p_i是 $I$ 的素元）

（2）若同時$a = {q_1}{q_2}...{q_s}$（q_i是 $I$ 的素元）

那么 r=s （個數相同）

唯一分解環

一個整環 $I$ 叫做一個唯一分解環，若： $I$ 的每一個既不等於零又不等於單位的元都有唯一分解

一個整環 $I$ 滿足以下性質，就是唯一分解環：

1、 $I$ 的每一個既不是零也不是單位的元a都有一個分解：$a = {p_1}{p_2}...{p_r}$（p_i是 $I$ 的素元）

2、 $I$ 的一個素元p若能整除ab，那么p能整除a或者b

則 $I$ 一定是一個唯一分解環

擴展：

1、一個唯一分解環中：若一個素元p能夠整除ab，那么p能夠整除a或者b

2、最大公因子

元c叫做元${a_1},{a_2},...,{a_n}$的公因子，若c同時能夠整除${a_1},{a_2},...,{a_n}$

元 ${a_1},{a_2},...,{a_n}$的一個公因子d叫做${a_1},{a_2},...,{a_n}$的最大公因子，若d能夠被${a_1},{a_2},...,{a_n}$的每一個公因子c整除

域

域定義

一個交換除環叫做一個域，一種特殊的環

參考

1、安全六三

2、近世代數基礎（張禾瑞）

3、視頻

4、簡書

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