近世代数

本文转载自查看原文 2021-03-09 17:13 561 数学

群

群 = 非空集合 + 二元运算 + 性质

半群

设 $\mathbb G$ 为一个非空集合， $\mathbb G$ 上有二元运算 $\cdot$ ，满足结合律，则称 $\{\mathbb G; \cdot \}$ 或 $\{\mathbb G\}$ 为一个半群。

扩展：

幺元：假设半群 $\{\mathbb G;\cdot \}$ ，若元素 $e_1\in \mathbb G$ 满足 $\forall a\in \mathbb G$ ， $e_1\cdot a=a$ ，则称 $e_1$ 为 $\mathbb G$ 的左幺元。同样的可以推广至右幺元。若 $e$ 既是左幺元又是右幺元，则称 $e$ 为 $\mathbb G$ 的幺元，同时称 $\mathbb G$ 为幺半群。

逆元：设 $\{\mathbb G; \cdot\}$ 为幺半群， $e$ 为幺元， $a\in \mathbb G$ 。若元素 $a'$ 满足 $a'\cdot a=e$ ，则称 $a'$ 为 $a$ 的左逆元。同样可以推广至右逆元。若 $b\in \mathbb G$ 既是 $a$ 的左逆元又是右逆元，则称 $b$ 为 $a$ 的一个逆元，将 $b$ 记为 $a^{-1}$ 。

群定义

幺半群 $\mathbb G$ 每个元素都可逆，则把 $\mathbb G$ 称为群。

第一定义：

从集合观点来看： $\mathbb G \neq \varnothing$ ，定义一个二元运算 $\cdot$

$\mathbb G$ 对于 $\cdot$ 封闭。
运算 $\cdot$ 满足结合律。
$\mathbb G$ 里面存着幺元， $e:e\cdot a = a\cdot e , a\in \mathbb G$ 。
$\forall a\in \mathbb G, a$ 存在逆元， $\exists b$ 使得 $a\cdot b= b\cdot a =e$ 。

第二定义：

$\mathbb G \neq \varnothing$ ，定义一个二元运算 $\cdot$

$\mathbb G$ 对于 $\cdot$ 封闭。
运算 $\cdot$ 满足结合律。
$\mathbb G$ 中存在左（右）幺元 $e$
$\forall a\in \mathbb G$ ， $a$ 存在左（右）逆元 $b$ ， $b\cdot a =e$

扩展：

映射

设函数 $f:X\rightarrow Y,y=f(x)$
单射：任给 $x_1$ , $x_2$ $\in X$ ,若 $x_1≠x_2$ ,则 $f(x_1)≠f(x_2)$ ，称 $f$ 为单射

满射：任给 $y\in Y$ ，都存在 $x\in X$ 使得 $f(x)=y$ , 称 $f$ 为满射

双射：若 $f$ 既是单射又是满射，称 $f$ 为双射，也叫一一对应。

代数运算

设 $A,B,D$ 为三个非空集合，一个映射 $f:A\times B\to D$ ，该映射称为 $A\ and\ B$ 到 $D$ 的一个代数运算。

如果 $A=B=D$ ,代数运算 $f$ 称为 $A$ 上的二元运算

运算表

$A=\{1,2\},B=\{1,2\},D=\{奇,偶\}$ ,定义 $f:A\times B \to D$ ,

$1\cdot 1:(1,1)\to 奇,(1,2)\to 偶,(2,1)\to 偶, (2,2)\to偶$

运算表如下：

	1	2
1	奇	偶
2	偶	奇

对角线对称，可以发现这是一个交换的集合，其实可以看到 $A=B$ 。所以，交换律其实可以从表中可以看出来。

分类

$A$ 一个分类就是将 $A$ 写成一些不相交的非空子集的并

$A=\bigcup_{i\in I}A_i, \forall i, A_i \neq \varnothing \\ \forall i,j\in I,i\neq j, A_i\cap A_j = \varnothing, \{A_i\}$

关系

集合 $A\neq \varnothing$ 中一种对两个元素而言的一种性质，使 $A$ 中任何两个元素要么有关系，要么没关系，二者必居其一。用 $R$ 表示， $a$ 与 $b$ 有关系 $R$ ，记为 $a R b$ ，无关系 $R$ ，记为 $a !R b$ .

等价关系

设 $A\neq \varnothing$ 中定义了关系 $R$ ，若 $R$ 满足条件

反身性： $\forall a\in A, aRa$ .
对称性： $aRb\Rightarrow bRa$ .
传递性： $aRb,bRc\Rightarrow aRc$

则称 $R$ 为等价关系

等价关系与分类的关系：

等价关系 $\Leftrightarrow$ 分类，即 $A$ 中一个等价关系 $R$ 决定 $A$ 的一个分类、 $A$ 的一个分类决定 $A$ 中一个等价关系

等价类

设 $A\neq \varnothing$ ， $A$ 中有一个等价关系 $R$ ， $a\in R$ ，定义 $a$ 的等价类 $\bar{a}=\{b\in A| aRb\}$ （或称 $a$ 所在的等价类）。

设 $A\neq \varnothing$ ， $A$ 中定义了等价关系 $R$ ，定义集合 $A/R=\{\bar{a}|a\in A\}$ (重复的只取一个)称为 $A$ 对 $R$ 的商集合

同余关系

设 $A\neq \varnothing$ ， $A$ 中定义了二元运算 " $\cdot$ "，有定义了等价关系 $R$ ，如果 $R$ 和 " $\cdot$ " 满足条件 $a_1 \ R \ b_1, a_2\ R\ b_2\Rightarrow a_1\cdot a_2 \ R\ b_2\cdot b_2$ ，则称 $R$ 为 " $\cdot$ " 的同余关系

子群

假设 $\mathbb G$ 为群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ，若 $H$ 在 $\mathbb G$ 的运算构成群，则称 $H$ 为 $\mathbb G$ 的子群，记为 $H<\mathbb G$ ，注意，这个不是表示小于的意思

假设 $H_1<\mathbb G,H_2<\mathbb G$ ，则 $H_1 \cap H_2<G$

设 $H<\mathbb G$ ，则下列条件等价：

$H$ 是 $\mathbb G$ 的正规子群，即 $H\triangleleft \mathbb G$ ；
$\forall g \in \mathbb G, gH=Hg$
$\forall g1_, g_2 \in \mathbb G, g_1H \cdot g_2H=g_1g_2H$ ，其中 $g_1H\cdot g_2H=\{g_1h_1g_2h_2|h_1,h_2\in H\}$ (对任何的非空子集 $A,B\leq \mathbb G, AB=\{ab|a\in A, b\in B\}$ )

不变子群（正规子群）

假设 $\mathbb G$ 为群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ， $\forall g \in \mathbb G, gH=Hg$ ，则 $H$ 是一个不变子群，记 $H\triangleleft \mathbb G$

判定定理：

1、假设 $\mathbb G$ 为群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ，则 $H\triangleleft \mathbb G$ 当且仅当 $\forall g \in G$ ，有$ gH{g^{ - 1}} = H$

2、假设 $\mathbb G$ 为群， $H\leq \mathbb G, H \neq \varnothing$ ，则 $H\triangleleft \mathbb G$ 当且仅当 $\forall g \in G 和 \forall h \in H$ ，有$ g{\rm{h}}{g^{ - 1}} \in H$

扩展：

1、一个交换群 $\mathbb G$ 的每一个子群 $H$ 都是不变子群

2、平凡子群都是不变子群

平凡子群：设 $\mathbb G$ 为群，{e}和 $\mathbb G$ 本身是 $\mathbb G$ 的平凡子群

陪集

设 $\mathbb G$ 为群， $H<\mathbb G, a\in \mathbb G$ ，定义 $aH=\{ah|h\in H\}$ 称为 $a$ 为代表元的 $H$ 的一个左陪集， $Ha=\{ha|h\in H\}$ 称为 $a$ 为代表元的 $H$ 的一个右陪集；换句话说，一个不变子群 $H$ 的一个左（右）陪作 $H$ 的一个陪集

设 $\mathbb G$ 为群， $H<\mathbb G$ ，则关系 $aRb=a^{-1}b\in H$ 为等价关系。 $a$ 所在的等价类 $\bar{a}$ 恰好是 $H$ 的左陪集 $\bar{a}=aH$ ，故 $a$ 的所有左陪集构成 $\mathbb G$ 的一个分类。

商群

定义1：设 $H<\mathbb G$ ，则等价关系 $aRb\Leftrightarrow a^{-1}b\in H$ 是 $\mathbb G$ 的同余关系 $\Leftrightarrow$ $H\triangleleft \mathbb G$ ，这个时候， $\mathbb G/H$ 对于诱导的运算构成一个群，则称 $\mathbb G$ 为 $H$ 的商群，记为 $\mathbb G/H$ 。

定义2：一个群 $\mathbb G$ 的一个不变子群 $H$ 的陪集（关于陪集的乘法）所作成的群叫做一个商群，记为 $\mathbb G/H$

即：若 $H\triangleleft \mathbb G$ ，是群 $\mathbb G$ 关于其不变子群 $H$ 的一个陪集分解，对于，定义：，则 $\mathbb G/H$ 关于上述法则作成一个群，叫做群 $\mathbb G$ 关于不变子群 $H$ 的商群

举例： $\{\mathbb Z;+\}$ 为 $\rm Abel$ 群， $m\in \mathbb N$ ， $m\mathbb Z \triangleleft \mathbb Z$ ，则 $\mathbb Z/ m\mathbb Z$ 为群， $\mathbb Z/ m\mathbb Z=\{\bar{1},\bar{2},\bar{3},...,\overline {{\rm{m - 1}}} \}$ ，由 $\overline {r_1}+\overline {r_2}=\overline {r_1+r_2}$ ，设 $r_1+r_2=qm+r, 0\leq r<m$ ，则 $\overline {r_1}+\overline {r_2}=\overline {r}$ ，所以 $\mathbb Z/ m\mathbb Z=\mathbb Z_m$ 为模 $m$ 的剩余类加群，

同态和同构

设 $\{G_1;\cdot \},\{G_2;*\}$ ， $f$ 为 $G_1$ 到 $G_2$ 的映射，如果

$f(a\cdot b)=f(a)*f(b), \forall a,b\in G_1\\$ 称 $f$ 为 $G_1$ 到 $G_2$ 的同态映射，简称为同态。若同态 $f$ 为单射，称 $f$ 为单同态(满射 $\rightarrow$ 满同态)。若同态 $f$ 为双射，则称 $f$ 为同构，这时称 $G_1$ 和 $G_2$ 同构，记为 $G_1\simeq G_2$ 。

扩展：

1、设 $f:G_1\to G_2$ 为同态，定义 ${\rm ker}\ f= \{a\in G_1|f(a)=e_2\}$ （0指的是 $G_2$ 中的0元）称为 $f$ 的核，换句话说Kerf也就是 $G_2$ 中0元的原像

2、 ${\rm ker}\ f\triangleleft G_1$ .

3、（群的同态基本定理). 设 $f:G_1\to G_2$ 的满同态，则 $G_1/{\rm ker}f\simeq G_2$

循环群

假设 $G$ 是一个群，如果存在 $a\in G$ ，使得 $G=\{a^n|n\in \mathbb Z\}$ ，则 $G$ 为循环群，记为 $G=\langle a \rangle$ ，称 $a$ 为群 $G$ 的生成元。

举例： $\{\mathbb Z;+\}$ 为循环群， $+1,-1$ 都为生成元

定理：

1、循环群肯定为交换群 (Abel群)。

2、循环群的子群也是循环群。

3、假设 $G$ 是一个由元 $a$ 所生成的循环群，那么 $G$ 的构造完全可以由a的阶来决定：

$a$ 的阶若是无限的，那么 $G$ 与整数加群同构

$a$ 的阶若是一个有限整数m，那么 $G$ 与模m的剩余类加群同构

即：假设 $G$ 是一个循环群，若 $|G| = \infty$ ，则 $G \simeq\{\mathbb Z;+\}$ ，若 $|G|=m>0$ ，则 $G \simeq \mathbb Z/m\mathbb Z=\mathbb Z_m(\simeq U_m)$ 【 $m\mathbb Z, m\ge 0$ 是 $\{\mathbb Z;+\}$ 的子群形式】。我们可以得到两个循环群同构 $\Leftrightarrow$ 它们的阶相同。

4、设 $G=\langle a \rangle , |G|=m, n\in \mathbb N,n|m$ , 则 $G$ 中存在唯一的 $n$ 阶子群。

模m的剩余类加群

假设 $G$ 是一个循环群， $G$ 包含模m的m个剩余类，[a]表示a这个整数所在的剩余类，现规定一个代数运算：，对于这种运算 $G$ 所作成一个群，这个群叫做模 $m$ 的剩余类加群，

变换

变换是一种特殊的映射

一个集合 ${\rm A}$ ， ${\rm A}$ 到 ${\rm A}$ 自己的映射，叫做 ${\rm A}$ 的一个变换：

随之对应的 “单射变换”、“满射变换”、“一一变换”

将集合 ${\rm A}$ 的全体变换作成一个集合，在集合上定义一个代数运算：，这种运算也可以看成变换的复合

这种运算适合结合律：

变换群

一个集合 ${\rm A}$ 的若干个一一变换对于上述的规定的运算所作成的一个群叫做 ${\rm A}$ 的一个变换群

定理：

1、（Cayley定理）任何群都与一个变换群同构

2、一个集合 ${\rm A}$ 的所有的一一变换作成一个变换群G

3、变换群一般不是交换群

置换

一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换

置换群

置换群是变换群中的一个特例

一个有限集合的若干个置换作成的一个群叫做一个置换群

一个包含n个元的集合的全体置换作成的群叫做n次对称群，记

定理：

1、奇置换乘奇置换为偶置换，奇置换与偶置换之积为奇置换，偶置换与偶置换之积为偶置换，奇置换之逆是奇置换，偶置换之逆是偶置换。

2、n次对称群的阶是n！

3、每一个有限群都与一个置换群同构

4、每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘积

环

加群

一个代数运算是加法的交换群是加群

$R$ 对于加法的单位元为 $0$ ，称为 $R$ 的零元；

设 $a\in R$ ， $a$ 在加法运算下的逆元记为 $-a$ ，记为 $R$ 的负元。

$m$ 个 $a$ 连加记为 $ma$ ；

规定 $0a=0,(-n)a=-(na)$

环定义

一个集合是环，需满足：

1、是个加群，即对于一个叫做加法的代数运算作成一个交换群

2、对于另一个叫做乘法的代数运算，是闭的

3、满足结合率：

4、满足分配率：

扩展：

1、单位元：环中一个元，满足：，若环中有单位元，则只能有一个；环未必有一个单位元

2、逆元：一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元：；环中的元未必有逆元

3、零因子：环 $R$ 中：，是环的一个左零因子，是环的一个右零因子，都简称为零因子

4、一个环 $R$ 没有零因子 $\Leftrightarrow$ $R$ 满足左右消去律。

环的特征

设 $R\ne \{0\}$ ，且为无零因子环，1）则 $R$ 中所有非零元对于 $R$ 的加法具有相同的阶，2）且当这一个共同的阶有限时必为素数。

设 $R$ 为无零因子环，若 $R$ 中非零元的阶为无穷时，则称 $R$ 的特征 $0$ ，若 $R$ 中所有的非零元都是有限 $P$ 阶的（ $P$ 为素数），则称 $R$ 的特征为 $P$ 。环的特征记为 ${\rm Ch}\ R$ 。

交换环

环 $R$ 叫做交换环，满足：

整环

环 $R$ 叫做一个整环，满足：

1、乘法满足交换率：

2、 $R$ 有单位元1：

3、 $R$ 没有零因子：

举例：整数环是一个整环

除环

环 $R$ 叫做一个除环，满足：

1、 $R$ 至少包含一个不等于零的元

2、 $R$ 有一个单位元

3、 $R$ 的每一个不等于零的元有一个逆元

扩展：

1、除环是没有零因子的，因为：

2、除环 $R$ 的不等于零的元对于乘法来说作成一个群，叫做除环 $R$ 的乘群，因为：

（1）对于乘法来说是闭的

（2）乘法适合结合律

（3）有单位元，就是 $R$ 的单位元

（4）的每一个元有一个逆元

故，一个除环是由两个群，加群和乘群，合成的；分配率好像是一座桥，使得两个群中间之间发生一种联系

子环

设 $R$ 为环， $R_1$ 是 $R$ 的非空子集，若 $R_1$ 对于 $R$ 的加法和乘法构成环，则称 $R_1$ 为 $R$ 的子环。

$R$ 的非空子集 $R_1$ 是 $R$ 的子环充要条件是 $a-b\in R_1, ab\in R_1,\forall a,b\in R_1$ 。

理想

若子环 $I$ 满足，和，则称是环的一个左理想；

若子环 $I$ 满足，和，则称是环的一个左理想

若 $I$ 既是 $R$ 的左理想又是 $R$ 的右理想，则称 $I$ 为 $R$ 的双边理想，简称理想。属于子环

扩展：

1、 $0,R$ 分别是环的最小和最大理想，称为平凡理想

2、设 $R$ 是一个环， $I$ 是 $R$ 的理想，若 $ab\in I$ ，则 $a\in I$ 或 $b\in I$ ，则称 $I$ 是素理想。

3、 $R$ 是交换环， $I$ 是 $R$ 的理想，且 $I \ne R$ ，则 $I$ 是 $R$ 的素理想 $\Leftrightarrow$ $R/I$ 是整环。

4、 $M$ 是环 $R$ 的理想，若 $M\ne R$ ，且不存在 $R$ 的真理想 $N$ ,使得 $M\subset N, M\neq N$ ，则称 $M$ 是极大理想

5、 $\{0\}$ 是交换环R的极大理想 $\Leftrightarrow R$ 是域

6、交换环R的极大理想一定是素理想。

$I\to R$ 的极大理想 $\Leftrightarrow$

$R/I域$ 是域 $\Rightarrow R/I$ 是整环 $\Leftrightarrow I$ 是素理想

剩余类环

1、剩余类

一个环 $R$ 和环的理想 $I$ ，以加法运算， $R$ 环作成一个群， $I$ 作成 $R$ 的一个不变子群，这样 $I$ 的陪集：作成 $R$ 的一个分类，把这些分类叫做模 $I$ 的剩余类

把所有的剩余类作成一个集合叫做，并规定两个法则：

这就是的代数运算

2、若 $R$ 是一个环， $I$ 是它的理想，是所有模 $I$ 的剩余类作成的集合，那么本身也是一个环，且【同态】

3、叫做环 $R$ 的模 $I$ 的剩余类环，记

4、若 $R$ 和时两个环，且同态，那么这个同态满射的核 $I$ 是 $R$ 的一个理想，且

5、环 $R$ 到环的一个同态满射下：

（1） $R$ 的一个子环的象是的一个子环

（2） $R$ 的一个理想 $I$ 的象是的一个理想

（3）的一个子环的逆象是 $R$ 的一个子环

（4）的一个理想的象 $I$ 是 $R$ 的一个理想

环的同态

$R_1,R_2$ 是两个环， $\phi$ 是 $R_1$ 到 $R_2$ 的映射，若满足 $\forall a, b\in R_1$ ，

$\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)\\ \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$

则称 $\phi$ 是 $R_1$ 到 $R_2$ 的同态，若 $\phi$ 是单射，则称 $\phi$ 是单同态，若 $\phi$ 是满射，则称 $\phi$ 是满同态，若 $\phi$ 是双射，则称 $\phi$ 是同构，即 $R_1\simeq R_2$

易知， $\phi(0)=0$ ， $\phi(-a)=-\phi(a)$ ， ${\rm ker}\ \phi=\phi^{-1}(\{0\})=\{a\in R_1|\phi(a)=0\}$ 是环 $R_1$ 的理想。

扩展：

1、 $R_1, R_2$ 为环，定义

$\phi(a)=0, \forall a\in R \\$ ， $\phi$ 是同态，称为零同态

2、 $f$ 是 $R_1$ 到 $R_2$ 的同态， $g$ 是 $R_2$ 到 $R_3$ 的同态，则 $gf$ 是 $R_1$ 到 $R_3$ 的同态，若 $f,g$ 是单同态，则 $gf$ 是单同态，若 $f,g$ 是满同态，则 $gf$ 是满同态。若 $f,g$ 是同构，则 $gf$ 是同构，则 $f^{-1}$ 是 $R_2$ 到 $R_1$ 的同构。

3、（环的同态基本定理）设 $\phi$ 是环 $R_1$ 到 $R_2$ 的满同态，则 $R_1/{\rm ker} \ \phi\simeq R_2$

商环

设 $I$ 是 $R$ 的理想，在 $R$ 中定义关系 $\sim$

$a\sim b \Leftrightarrow a-b \in I \\$

则关系 $\sim$ 是等价关系，且对于环的加法和乘法是同余关系，记 $a\in R$ 的等价类为 $a+I$ ，在商集和 $R/\sim=R/I$ 上定义加法和乘法，

$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I\\ (a+I)(b+I)=ab+I\\$

则 $R/I$ 对于上述运算构成一个环，称为 $R$ 对于理想 $I$ 的商环。

扩展： $R$ 是交换环，可以推出 $R/I$ 是交换环， $R$ 是幺环，则 $R/I$ 也是幺环，且 $1+I$ 是 $R/I$ 的单位元。

多项式环

若是一个有单位元的交换环， $R$ 是的子环，且包含的单位元，现从中取出一个元，则有意义，即也是的一个元

1、多项式

一个可以写成形式的的元叫做 $R$ 上的的一个多项式，叫做多项式的系数

2、现将所有 $R$ 上的多项式放到一起，作成一个集合，记，且对于加法和乘法都是闭的，也满足结合律和交换律，所以是一个环，故叫做 $R$ 上的的多项式环

3、未定元

上的一个元叫做 $R$ 上的一个未定元，满足：

4、一元多项式

令是环 $R$ 上的一个一元多项式，则非负数叫做这个多项式的次数

扩展：

若 $f,g∈S$ 非零， ${\rm deg}\ f=m,{\rm deg}\ g=n$ ，则、

1) $f+g=0$ 或 ${\rm deg}(f + 9)\ S\ {\rm max}(m,n);$

2) $fg = 0$ 或 ${\rm deg}(fg)≤{\rm deg}\ f +{\rm deg}\ g$ ,等号成立当且仅当 $f$ 的首项系数 $a_m$ 与 $g$ 的首项系数 $b_n$ 的乘积 $a_mb_n$ 不为零,特别地，若 $R$ 为整环，则 $S$ 也是整环。

现在定义 $R$ 到 $S$ 的映射 $\varphi: a→\{a,0,0...\}$ , 则显然 $\varphi$ 是环的单同态。由此 $R$ 可以看成 $S$ 的一个子环。若 $R$ 是整环，则整环 $S$ 的所有单位就是 $R$ 的所有单位。

整环里的因子分解

唯一分解定理：一个整数可以惟一的写成若干素数的乘积

唯一分解

1、单位

整环 $I$ 的一个元叫做 $I$ 的一个单位，若有逆元

一个整环中至少有两个单位，就是1和-1

性质：

（1）两个单位$\alpha 和\alpha '$的乘积$\alpha \alpha '$也是一个单位，单位$\alpha$的逆元${\alpha ^{{\rm{ - }}1}}$也是一个单位

2、相伴元

元b叫做元a的相伴元，若b是a和一个单位的乘积：$b = \alpha a$

3、平凡因子

单位以及元a的相伴元b 叫做a的平凡因子，其余a的因子，叫做a的真因子

4、因子

整环 $I$ 的一个元a可以被另外一个元b整除，且有第三个元c，使得：${\rm{c}} = ba$，叫a可以被b整除，b是a的因子，记$b|a$

5、素元

整环 $I$ 的一个元p叫做一个素元，满足：p既不是零元也不是单位，且p只有平凡因子

扩展：

（1）单位e同素元p的乘积ep也是一个素元

（2）整环中的一个不等于零的元a有真因子的充分必要条件是：a=bc，b,c都不是单位

（3）假定a≠0，且a有真因子b: a=bc 那么c也是a的真因子

6、唯一分解

一个整数环 $I$ 的一个元a在 $I$ 的里有唯一分解，满足：

（1）$a = {p_1}{p_2}...{p_r}$（p_i是 $I$ 的素元）

（2）若同时$a = {q_1}{q_2}...{q_s}$（q_i是 $I$ 的素元）

那么 r=s （个数相同）

唯一分解环

一个整环 $I$ 叫做一个唯一分解环，若： $I$ 的每一个既不等于零又不等于单位的元都有唯一分解

一个整环 $I$ 满足以下性质，就是唯一分解环：

1、 $I$ 的每一个既不是零也不是单位的元a都有一个分解：$a = {p_1}{p_2}...{p_r}$（p_i是 $I$ 的素元）

2、 $I$ 的一个素元p若能整除ab，那么p能整除a或者b

则 $I$ 一定是一个唯一分解环

扩展：

1、一个唯一分解环中：若一个素元p能够整除ab，那么p能够整除a或者b

2、最大公因子

元c叫做元${a_1},{a_2},...,{a_n}$的公因子，若c同时能够整除${a_1},{a_2},...,{a_n}$

元 ${a_1},{a_2},...,{a_n}$的一个公因子d叫做${a_1},{a_2},...,{a_n}$的最大公因子，若d能够被${a_1},{a_2},...,{a_n}$的每一个公因子c整除

域

域定义

一个交换除环叫做一个域，一种特殊的环

参考

1、安全六三

2、近世代数基础（张禾瑞）

3、视频

4、简书

免责声明！

本站转载的文章为个人学习借鉴使用，本站对版权不负任何法律责任。如果侵犯了您的隐私权益，请联系本站邮箱yoyou2525@163.com删除。

猜您在找 近世代数近世代数近世代数总结什么是“代数”？次世代建模全流程面向次世代的Windows App SDK 近况 4、逻辑代数代数是什么? 代数结构二、逻辑代数