1，近世代数-基本概念
1.1集合
笛卡尔积：
\(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n ) | a_i \in A_i\}\)为\(n\)个集合\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)的积（或笛卡尔积）。一般的，如果\(|A|=m,|B|=n,那么 |A \times B|=mn\).其中\(|A|读作A的阶，表示集合A当中元素的个数\)
1.2映射
1.3代数运算
定义1：一个从\(A \times B\)到D的映射叫做\(A\times B\)到D的代数运算。
定义2：我们称\(A\times A\)到\(A\)的代数运算\(\omicron\)为\(A\)上的代数运算，或\(A\)上的二元运算，有时候也说集合\(A\)对于代数运算\(\omicron\)来说是封闭的，或\(\omicron\)具有封闭性。
1.4运算律
（1）结合律：如果对于\(\forall a,b,c \in A\),都有
则称\(\omicron\)适合结合律。
（2）交换律：如果对于\(\forall a,b\in A\)都有
则称\(\omicron\)适合交换律。
（3）消去律：
①，若
则称\(\omicron\)适合左消去律;
②，若
则称\(\omicron\)适合右消去律;
③，若\(\omicron\)既适合左消去律又适合右消去律，则称\(\omicron\)适合消去律。
（4）分配律：
设\(\otimes,\oplus\)是集合A上的两个代数运算，\(\forall a_1,a_2,b \in A\).
①若 \(b\otimes(a_1\oplus a_2)=(b\otimes a_1)\oplus (b\otimes a_2)\)则称\(\otimes\)对于\(\oplus\)适合左分配律，或第一分配律。
②若 \((a_1\oplus a_2)\otimes b=(a_1\otimes b)\oplus (a_2\otimes b)\)则称\(\otimes\)对于\(\oplus\)适合又分配律，或第二分配律。
③若\(\otimes对于\oplus\)既适合左分配律又适合右分配律，则称\(\otimes 对于\oplus\)适合分配律。
1.5映射与变换
定义一：
定理一：
定义二：
定义三：
定义四：
定理二：
单射的复合是单射，满射的复合是满射，双射的复合式双射。
定理三：
定义五：
一个\(A\)到\(A\)的映射叫做\(A\)的一个变换，一个\(A\)到\(A\)的单射、满射或者一一映射叫做\(A\)的一个单射变换、满射变换或者一一变换。
1.6同态
定义一：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，\(\phi:A\to \overline{A}\)是一个映射，若对于任意的\(a,b\in A\)，都有
\(\phi(a\omicron b)=\phi(a)\overline{\omicron}\phi(b)\),(乘积的像等于像的乘积)，则称\(\phi\)是从\(A\)到\(\overline{A}\)的同态映射，满的同态映射也称为同态满射，或满同态，若\(A\)到\(\overline{A}\)存在满同态，则称两个代数系统\(A,\overline{A}\)是同态的，记为\(A\,\sim\,\overline{A}\)。
定理一：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，若\(A \sim \overline{A}\)则
①若\(\omicron\)适合结合律，那么\(\overline{\omicron}\)也适合结合律。
②若\(\omicron\)适合交换律，那么\(\overline{\omicron}\)也适合交换律。
定理二：
设\((A,\odot,\oplus),(\overline{A},\overline{\odot},\overline{\oplus})\)是两个代数系统，\(\varphi:A\to \overline{A}\)是满射，若对于任意的\(a,b\in A\)，有\(\varphi(a\odot b)=\varphi(a)\overline{\odot}\varphi(b)),\quad \varphi(a\oplus b)=\varphi(a)\overline{\oplus}\varphi(b)\)，则
①若\(\odot,\oplus\)满足第一分配律，那么\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也适合第一分配律。
②若\(\odot,\oplus\)满足第二分配律，那么\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也适合第二分配律。
定理三：
同态映射的复合映射必定是同态映射（满同态的复合一定是满同态，单同态的复合一定是单同态，同构的复合一定是同构）
1.7同构与自同构
定义一：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，\(\varphi:A\to\overline{A}\)是两个系统之间的一个映射，如果\(\varphi\)既是双射又是同态映射，则称\(\varphi\)是从\(A\)到\(\overline{A}\)的同构映射。
若\(A,\overline{A}\)之间存在同构映射，则称\(A\)与\(\overline{A}\)同构，记为\(A\cong\overline{A}\)。特别的，当\(\overline{A}=A,\overline{\omicron}=\omicron\)时，我们也称同构映射\(\varphi:A\to\overline{A}\)为A上的自同构。
定理一：
同构具有以下 性质：
①\(A\cong A\)😭\(id_a\))
②若\(A\cong\overline{A}\)，则\(\overline{A}\cong A\);
③若\(A\cong\overline{A},\overline{A}\cong\overline{\overline{A}}\)，则\(A\cong\overline{\overline{A}}\).
定理二：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，若\(A \cong \overline{A}\)则
①\(\omicron\)适合结合律当且仅当\(\overline{\omicron}\)也适合结合律。
②\(\omicron\)适合交换律当且仅当\(\overline{\omicron}\)也适合交换律。
③\(\omicron\)适合左(右)消去律当且仅当\(\overline{\omicron}\)也适合左(右)消去律。
定理三：
设\((A,\odot,\oplus),(\overline{A},\overline{\odot},\overline{\oplus})\)是两个代数系统，如果\(A\cong\overline{A}\),那么\(\odot,\oplus\)适合左(右)分配律当且仅当\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也适合左(右)分配律。
推论：
设\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是两个代数系统，如果\(\omicron\)适合某种运算律\(P\)而\(\omicron\)不适合运算律\(P\)，那么\(A\)与\(\overline{A}\)不同构。
1.8等价关系与集合分类
定义一：
设\(A\)是一个集合，\(D=\{对,错\}\)，则称映射\(R:A\times A\to D\)为集合A上的一个关系，当\(R(a,b)=对\)时，称\(a\)与\(b\)有关系\(R\)，记为\(aRb\)；当\(R(a,b)=错\)时，称\(a\)与\(b\)没有关系\(R\)。
定义二：
设\(A\)是一个非空集合，我们把\(A\times A\)的一个子集\(\overline{R}\)称为\(A\)上的一个关系，对于任意的\((a,b\in A\times A)\)当\((a,b)\in\overline{R}\)，称\(a\)与\(b\)有关系\(\overline{R}\)，记为\(a\overline{R}b\)；当\((a,b)\notin\overline{R}\)时，称\(a\)与\(b\)没有关系\(R\)。
定理一：
关系的两个定义等价。
定义三：
设\(\sim\)是集合\(A\)上的一个关系，如果\(\sim\)还满足：
①自反性：\(a\sim a\)；(反射律)
②对称性：若\(a\sim b\)则，\(b\sim a\)；(对称律)
③传递性：若\(a\sim b,b\sim c\)，则\(a\sim c\)；(推移律)
则称\(\sim\)为A上的一个等价关系，若\(a\sim b\)则称a与b等价。
定义四：
设\(A\)是一个集合，\(S=\{S_i|S_i\subseteq A\}\)。若
①\(\cup S_i=A\)；
②对于任意的\(i,j,S_i\cap S_j=\emptyset\)，
则称\(S\)为\(A\)上的一个分类(划分)，每一个\(S_i\)都称为是\(S\)的一个类(块)。
定理二：
\(A\)的一个分类决定了\(A\)上的一个等价关系。（例如：\(a\sim b\)当且仅当a,b属于S中的一个类）
定理三：
\(A\)上的一个等价关系决定\(A\)的一个分类。
定义五：
设\(S=\{S_i\}\)是集合A的一个分类，任意的\(A\in S_i\)都叫做\(S_i\)的代表，刚好有每一类的一个代表构成的集合叫做一个\(全体代表团\)。
2，近世代数-群论
2.1群的定义
定义一（群的第一定义）：
设\(G\neq\emptyset\)，\(\omicron\)是定义在\(G\)上的一个映射，若：
Ⅰ，对于任意的\(a,b\in G\)，都有\(a\omicron b\in G\)；
Ⅱ，对于任意的\(a,b,c\in G\)，都有\((a\omicron b)\omicron c=a\omicron(b\omicron c)\)；
Ⅲ，对于任意的\(a,b\in G\)，方程\(a\omicron x=b\)和\(y\omicron a=b\)在G中都有解，
则称\(G\)关于\(\omicron\)构成一个群，记为\((G,\omicron)\)，\(\omicron\)也称为\(G\)上的乘法。
定理一：
Ⅳ，存在\(e\in G\)，对于任意的\(a\in G\)，有\(ea=a\)。(称\(e\)为群\(G\)的左单元)。
定理二：
Ⅴ，对于任意的\(a\in G\)，存在\(a^{-1}\in G\)，有\(a^{-1}a=e\)(称\(a^{-1}\)为群\(G\)中元素\(a\)的左逆元）
定义二：
设\(G\neq \emptyset\)，\(\omicron\)是定义在G上的一个映射，若：
Ⅰ，对于任意的\(a,b\in G\)，都有\(a\omicron b\in G\)；
Ⅱ，对于任意的\(a,b,c\in G\)，都有\((a\omicron b)\omicron c=a\omicron(b\omicron c)\)；
Ⅳ，存在\(e\in G\)，对于任意的\(a\in G\)，有\(ea=a\)。(称\(e\)为群\(G\)的左单元)。
Ⅴ，对于任意的\(a\in G\)，存在\(a^{-1}\in G\)，有\(a^{-1}a=e\)(称\(a^{-1}\)为群\(G\)中元素\(a\)的左逆元）
则称\(G\)关于\(\omicron\)构成一个群，记为\((G,\omicron)\)，\(\omicron\)也称为\(G\)上的乘法。
定理三：
\(a\)的左逆元\(a^{-1}\)必定也是\(a\)的右逆元。
定理四：
\(G\)的左单位元\(e\)必定也是\(G\)的右单位元。
注记：
（1）元素有限的群称为有限群，元素无限的群称为无限群。
（2）满足交换律的群称为交换群，也称之为阿贝尔群。
定义三：
设\(G\)是一个群，\(a\in G\)，则称\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots \cdot \cdot a}_{n个}\)为\(a\)的\(n\)次幂（\(n\)为正整数）。
定理五：
设\(a,b\)是群\(G\)中的元素，\(m,n\in \mathbb{Z_+}\)，则有
（1）\(\displaystyle{a^{m+n}=a^ma^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn}}\)
（2）当\(G\)是交换群时，\((ab)^n=a^nb^n\)
2.2单位元、逆元和消去律
定理一：
左单位元\(e\)存在且唯一（\(e\)也称为单位元）
定理二：
元素\(a\)的左逆元\(a^{-1}\)存在且唯一（\(a^{-1}\)也称为逆元）
注记：
设\(G\)是一个群，\(e\)是单位元，\(a,b\in G\)，那么若\(ab=e\)，则\(a,b\)互为逆元，特别的，若\(a^{2}=a\)，则\(a^{-1}=a\)，进而\(e^{-1}=e\)。
定理三：
设\(G\)是一个群，\(a,b\in G\)，则：
（1）\((a^{-1})^{-1}=a;\)
（2）\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)，一般的，有\((a_1a_2\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_2^{-1}a_1^{-1})\)进而\((a^n)^{-1}=(a^{-1})^n\)。
定义一：
设\(G\)是一个群，\(a\in G,n\in \mathbb{Z^-}\)，规定：
\(a^0=e,\quad a^n=(a^{-1})^{-n}=\underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdots a^{-1}}_{(-n)个}\).
定理四：
设\(G\)是一个群，\(a\in G ,m,n\in \mathbb{Z}\)，则:
（1）\(a^ma^n=a^{m+m}\)
（2）\((a^m)^n=a^{mn}\)
定理五：
设\(G\)是一个交换群，\(a\in G,n\in \mathbb{Z}\)，则
\((ab)^n=a^nb^n\)
定义二：
设\(a\in G\)，则称使得等式\(a^m=e\)成立的最小的整数\(m\)为\(a\)的阶，记为\(|a|\)或者\(\omicron(a)\)。若这样的阶不存在，则称\(a\)是无限阶的，记为\(|a|=\infty\)。
定理六：
在群\(G\)中，\(a\in G\)则
（1）一个元的阶为1当且仅当这个元就是单位元；
（2）一个元的逆元等于自身当且仅当它的平方是单位元。
定理七：
在群\(G\)中，\(a\in G\)，则\(|a|=|a^{-1}|\)。
定理八：
群的乘法适合消去律，即：
\(Ⅲ':\)若\(ax=ax'\)，则\(x=x'\)（左消去律）
若\(ya=y'a\)，则\(y=y'\)（右消去律)
定理九：
一个有限群的每一个元的阶都有限。
2.3有限群的另一定义
定理一：
设\(G\)是有限集，\(\cdot\)是定义在\(G\)上的映射，若\(\cdot\)适合公理Ⅰ、Ⅱ、\(Ⅲ'\)，那么它也适合Ⅲ。
定义一（有限群的第三定义）：
设\(G\neq \emptyset\)，\(\omicron\)是定义在\(G\)上的一个映射，若满足公理Ⅰ、Ⅱ、\(Ⅲ'\)，则称\(G\)关于\(\omicron\)构成一个有限群。
2.4群的同态
定理一:
设\((G,\omicron)\)是一个群，\((\overline{G},\overline{\omicron})\)是一个代数系统，如果\(G\sim \overline{G}\)，那么\(\overline{G}\)也是一个群。
定理二：
设\(\phi\)是群\(G\)到群\(\overline{G}\)的同态映射，那么\(G\)的单位元的像是\(\overline{G}\)的单位元；\(a\in G\)的逆元\(a^{-1}\)的像是\(a\)的像\(\phi(a)\)的逆元。
2.5变换群
定理一：
集合\(A\)上的所有一一变换的集合\(G\)关于变换的乘法（复合）构成群。
定理二：
设\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定义为：
证明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一变换，也称\(\sigma\)为以原点为中心的旋转变换，简称旋转。
定理三： 设\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定义为：
证明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一变换，也称\(\sigma\)为以原点为中心的位似变换，简称位似。
定理四： 设\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定义为：
证明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一变换，也称\(\sigma\)为以原点为中心的平移变换，简称平移。
定义一：
若集合\(A\)上的若干一一变换对于变换的乘法作成群，则称这样的群为变换群。
定理五（凯莱定理）：
任何一个群\(G\)都同构于一个变换群。