1，近世代數-基本概念
1.1集合
笛卡爾積：
\(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_n ) | a_i \in A_i\}\)為\(n\)個集合\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)的積（或笛卡爾積）。一般的，如果\(|A|=m,|B|=n,那么 |A \times B|=mn\).其中\(|A|讀作A的階，表示集合A當中元素的個數\)
1.2映射
1.3代數運算
定義1：一個從\(A \times B\)到D的映射叫做\(A\times B\)到D的代數運算。
定義2：我們稱\(A\times A\)到\(A\)的代數運算\(\omicron\)為\(A\)上的代數運算，或\(A\)上的二元運算，有時候也說集合\(A\)對於代數運算\(\omicron\)來說是封閉的，或\(\omicron\)具有封閉性。
1.4運算律
（1）結合律：如果對於\(\forall a,b,c \in A\),都有
則稱\(\omicron\)適合結合律。
（2）交換律：如果對於\(\forall a,b\in A\)都有
則稱\(\omicron\)適合交換律。
（3）消去律：
①，若
則稱\(\omicron\)適合左消去律;
②，若
則稱\(\omicron\)適合右消去律;
③，若\(\omicron\)既適合左消去律又適合右消去律，則稱\(\omicron\)適合消去律。
（4）分配律：
設\(\otimes,\oplus\)是集合A上的兩個代數運算，\(\forall a_1,a_2,b \in A\).
①若 \(b\otimes(a_1\oplus a_2)=(b\otimes a_1)\oplus (b\otimes a_2)\)則稱\(\otimes\)對於\(\oplus\)適合左分配律，或第一分配律。
②若 \((a_1\oplus a_2)\otimes b=(a_1\otimes b)\oplus (a_2\otimes b)\)則稱\(\otimes\)對於\(\oplus\)適合又分配律，或第二分配律。
③若\(\otimes對於\oplus\)既適合左分配律又適合右分配律，則稱\(\otimes 對於\oplus\)適合分配律。
1.5映射與變換
定義一：
定理一：
定義二：
定義三：
定義四：
定理二：
單射的復合是單射，滿射的復合是滿射，雙射的復合式雙射。
定理三：
定義五：
一個\(A\)到\(A\)的映射叫做\(A\)的一個變換，一個\(A\)到\(A\)的單射、滿射或者一一映射叫做\(A\)的一個單射變換、滿射變換或者一一變換。
1.6同態
定義一：
設\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是兩個代數系統，\(\phi:A\to \overline{A}\)是一個映射，若對於任意的\(a,b\in A\)，都有
\(\phi(a\omicron b)=\phi(a)\overline{\omicron}\phi(b)\),(乘積的像等於像的乘積)，則稱\(\phi\)是從\(A\)到\(\overline{A}\)的同態映射，滿的同態映射也稱為同態滿射，或滿同態，若\(A\)到\(\overline{A}\)存在滿同態，則稱兩個代數系統\(A,\overline{A}\)是同態的，記為\(A\,\sim\,\overline{A}\)。
定理一：
設\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是兩個代數系統，若\(A \sim \overline{A}\)則
①若\(\omicron\)適合結合律，那么\(\overline{\omicron}\)也適合結合律。
②若\(\omicron\)適合交換律，那么\(\overline{\omicron}\)也適合交換律。
定理二：
設\((A,\odot,\oplus),(\overline{A},\overline{\odot},\overline{\oplus})\)是兩個代數系統，\(\varphi:A\to \overline{A}\)是滿射，若對於任意的\(a,b\in A\)，有\(\varphi(a\odot b)=\varphi(a)\overline{\odot}\varphi(b)),\quad \varphi(a\oplus b)=\varphi(a)\overline{\oplus}\varphi(b)\)，則
①若\(\odot,\oplus\)滿足第一分配律，那么\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也適合第一分配律。
②若\(\odot,\oplus\)滿足第二分配律，那么\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也適合第二分配律。
定理三：
同態映射的復合映射必定是同態映射（滿同態的復合一定是滿同態，單同態的復合一定是單同態，同構的復合一定是同構）
1.7同構與自同構
定義一：
設\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是兩個代數系統，\(\varphi:A\to\overline{A}\)是兩個系統之間的一個映射，如果\(\varphi\)既是雙射又是同態映射，則稱\(\varphi\)是從\(A\)到\(\overline{A}\)的同構映射。
若\(A,\overline{A}\)之間存在同構映射，則稱\(A\)與\(\overline{A}\)同構，記為\(A\cong\overline{A}\)。特別的，當\(\overline{A}=A,\overline{\omicron}=\omicron\)時，我們也稱同構映射\(\varphi:A\to\overline{A}\)為A上的自同構。
定理一：
同構具有以下 性質：
①\(A\cong A\)😭\(id_a\))
②若\(A\cong\overline{A}\)，則\(\overline{A}\cong A\);
③若\(A\cong\overline{A},\overline{A}\cong\overline{\overline{A}}\)，則\(A\cong\overline{\overline{A}}\).
定理二：
設\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是兩個代數系統，若\(A \cong \overline{A}\)則
①\(\omicron\)適合結合律當且僅當\(\overline{\omicron}\)也適合結合律。
②\(\omicron\)適合交換律當且僅當\(\overline{\omicron}\)也適合交換律。
③\(\omicron\)適合左(右)消去律當且僅當\(\overline{\omicron}\)也適合左(右)消去律。
定理三：
設\((A,\odot,\oplus),(\overline{A},\overline{\odot},\overline{\oplus})\)是兩個代數系統，如果\(A\cong\overline{A}\),那么\(\odot,\oplus\)適合左(右)分配律當且僅當\(\overline{\odot},\overline{\oplus}\)也適合左(右)分配律。
推論：
設\((A,\omicron),(\overline{A},\overline{\omicron})\)是兩個代數系統，如果\(\omicron\)適合某種運算律\(P\)而\(\omicron\)不適合運算律\(P\)，那么\(A\)與\(\overline{A}\)不同構。
1.8等價關系與集合分類
定義一：
設\(A\)是一個集合，\(D=\{對,錯\}\)，則稱映射\(R:A\times A\to D\)為集合A上的一個關系，當\(R(a,b)=對\)時，稱\(a\)與\(b\)有關系\(R\)，記為\(aRb\)；當\(R(a,b)=錯\)時，稱\(a\)與\(b\)沒有關系\(R\)。
定義二：
設\(A\)是一個非空集合，我們把\(A\times A\)的一個子集\(\overline{R}\)稱為\(A\)上的一個關系，對於任意的\((a,b\in A\times A)\)當\((a,b)\in\overline{R}\)，稱\(a\)與\(b\)有關系\(\overline{R}\)，記為\(a\overline{R}b\)；當\((a,b)\notin\overline{R}\)時，稱\(a\)與\(b\)沒有關系\(R\)。
定理一：
關系的兩個定義等價。
定義三：
設\(\sim\)是集合\(A\)上的一個關系，如果\(\sim\)還滿足：
①自反性：\(a\sim a\)；(反射律)
②對稱性：若\(a\sim b\)則，\(b\sim a\)；(對稱律)
③傳遞性：若\(a\sim b,b\sim c\)，則\(a\sim c\)；(推移律)
則稱\(\sim\)為A上的一個等價關系，若\(a\sim b\)則稱a與b等價。
定義四：
設\(A\)是一個集合，\(S=\{S_i|S_i\subseteq A\}\)。若
①\(\cup S_i=A\)；
②對於任意的\(i,j,S_i\cap S_j=\emptyset\)，
則稱\(S\)為\(A\)上的一個分類(划分)，每一個\(S_i\)都稱為是\(S\)的一個類(塊)。
定理二：
\(A\)的一個分類決定了\(A\)上的一個等價關系。（例如：\(a\sim b\)當且僅當a,b屬於S中的一個類）
定理三：
\(A\)上的一個等價關系決定\(A\)的一個分類。
定義五：
設\(S=\{S_i\}\)是集合A的一個分類，任意的\(A\in S_i\)都叫做\(S_i\)的代表，剛好有每一類的一個代表構成的集合叫做一個\(全體代表團\)。
2，近世代數-群論
2.1群的定義
定義一（群的第一定義）：
設\(G\neq\emptyset\)，\(\omicron\)是定義在\(G\)上的一個映射，若：
Ⅰ，對於任意的\(a,b\in G\)，都有\(a\omicron b\in G\)；
Ⅱ，對於任意的\(a,b,c\in G\)，都有\((a\omicron b)\omicron c=a\omicron(b\omicron c)\)；
Ⅲ，對於任意的\(a,b\in G\)，方程\(a\omicron x=b\)和\(y\omicron a=b\)在G中都有解，
則稱\(G\)關於\(\omicron\)構成一個群，記為\((G,\omicron)\)，\(\omicron\)也稱為\(G\)上的乘法。
定理一：
Ⅳ，存在\(e\in G\)，對於任意的\(a\in G\)，有\(ea=a\)。(稱\(e\)為群\(G\)的左單元)。
定理二：
Ⅴ，對於任意的\(a\in G\)，存在\(a^{-1}\in G\)，有\(a^{-1}a=e\)(稱\(a^{-1}\)為群\(G\)中元素\(a\)的左逆元）
定義二：
設\(G\neq \emptyset\)，\(\omicron\)是定義在G上的一個映射，若：
Ⅰ，對於任意的\(a,b\in G\)，都有\(a\omicron b\in G\)；
Ⅱ，對於任意的\(a,b,c\in G\)，都有\((a\omicron b)\omicron c=a\omicron(b\omicron c)\)；
Ⅳ，存在\(e\in G\)，對於任意的\(a\in G\)，有\(ea=a\)。(稱\(e\)為群\(G\)的左單元)。
Ⅴ，對於任意的\(a\in G\)，存在\(a^{-1}\in G\)，有\(a^{-1}a=e\)(稱\(a^{-1}\)為群\(G\)中元素\(a\)的左逆元）
則稱\(G\)關於\(\omicron\)構成一個群，記為\((G,\omicron)\)，\(\omicron\)也稱為\(G\)上的乘法。
定理三：
\(a\)的左逆元\(a^{-1}\)必定也是\(a\)的右逆元。
定理四：
\(G\)的左單位元\(e\)必定也是\(G\)的右單位元。
注記：
（1）元素有限的群稱為有限群，元素無限的群稱為無限群。
（2）滿足交換律的群稱為交換群，也稱之為阿貝爾群。
定義三：
設\(G\)是一個群，\(a\in G\)，則稱\(a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots \cdot \cdot a}_{n個}\)為\(a\)的\(n\)次冪（\(n\)為正整數）。
定理五：
設\(a,b\)是群\(G\)中的元素，\(m,n\in \mathbb{Z_+}\)，則有
（1）\(\displaystyle{a^{m+n}=a^ma^n,\qquad (a^m)^n=a^{mn}}\)
（2）當\(G\)是交換群時，\((ab)^n=a^nb^n\)
2.2單位元、逆元和消去律
定理一：
左單位元\(e\)存在且唯一（\(e\)也稱為單位元）
定理二：
元素\(a\)的左逆元\(a^{-1}\)存在且唯一（\(a^{-1}\)也稱為逆元）
注記：
設\(G\)是一個群，\(e\)是單位元，\(a,b\in G\)，那么若\(ab=e\)，則\(a,b\)互為逆元，特別的，若\(a^{2}=a\)，則\(a^{-1}=a\)，進而\(e^{-1}=e\)。
定理三：
設\(G\)是一個群，\(a,b\in G\)，則：
（1）\((a^{-1})^{-1}=a;\)
（2）\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)，一般的，有\((a_1a_2\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\cdots a_2^{-1}a_1^{-1})\)進而\((a^n)^{-1}=(a^{-1})^n\)。
定義一：
設\(G\)是一個群，\(a\in G,n\in \mathbb{Z^-}\)，規定：
\(a^0=e,\quad a^n=(a^{-1})^{-n}=\underbrace{a^{-1}\cdot a^{-1}\cdots a^{-1}}_{(-n)個}\).
定理四：
設\(G\)是一個群，\(a\in G ,m,n\in \mathbb{Z}\)，則:
（1）\(a^ma^n=a^{m+m}\)
（2）\((a^m)^n=a^{mn}\)
定理五：
設\(G\)是一個交換群，\(a\in G,n\in \mathbb{Z}\)，則
\((ab)^n=a^nb^n\)
定義二：
設\(a\in G\)，則稱使得等式\(a^m=e\)成立的最小的整數\(m\)為\(a\)的階，記為\(|a|\)或者\(\omicron(a)\)。若這樣的階不存在，則稱\(a\)是無限階的，記為\(|a|=\infty\)。
定理六：
在群\(G\)中，\(a\in G\)則
（1）一個元的階為1當且僅當這個元就是單位元；
（2）一個元的逆元等於自身當且僅當它的平方是單位元。
定理七：
在群\(G\)中，\(a\in G\)，則\(|a|=|a^{-1}|\)。
定理八：
群的乘法適合消去律，即：
\(Ⅲ':\)若\(ax=ax'\)，則\(x=x'\)（左消去律）
若\(ya=y'a\)，則\(y=y'\)（右消去律)
定理九：
一個有限群的每一個元的階都有限。
2.3有限群的另一定義
定理一：
設\(G\)是有限集，\(\cdot\)是定義在\(G\)上的映射，若\(\cdot\)適合公理Ⅰ、Ⅱ、\(Ⅲ'\)，那么它也適合Ⅲ。
定義一（有限群的第三定義）：
設\(G\neq \emptyset\)，\(\omicron\)是定義在\(G\)上的一個映射，若滿足公理Ⅰ、Ⅱ、\(Ⅲ'\)，則稱\(G\)關於\(\omicron\)構成一個有限群。
2.4群的同態
定理一:
設\((G,\omicron)\)是一個群，\((\overline{G},\overline{\omicron})\)是一個代數系統，如果\(G\sim \overline{G}\)，那么\(\overline{G}\)也是一個群。
定理二：
設\(\phi\)是群\(G\)到群\(\overline{G}\)的同態映射，那么\(G\)的單位元的像是\(\overline{G}\)的單位元；\(a\in G\)的逆元\(a^{-1}\)的像是\(a\)的像\(\phi(a)\)的逆元。
2.5變換群
定理一：
集合\(A\)上的所有一一變換的集合\(G\)關於變換的乘法（復合）構成群。
定理二：
設\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定義為：
證明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一變換，也稱\(\sigma\)為以原點為中心的旋轉變換，簡稱旋轉。
定理三： 設\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定義為：
證明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一變換，也稱\(\sigma\)為以原點為中心的位似變換，簡稱位似。
定理四： 設\(\sigma:\mathbb{R^2\to R^2}\)定義為：
證明：\(\sigma\)是\(\mathbb{R^2}\)上的一一變換，也稱\(\sigma\)為以原點為中心的平移變換，簡稱平移。
定義一：
若集合\(A\)上的若干一一變換對於變換的乘法作成群，則稱這樣的群為變換群。
定理五（凱萊定理）：
任何一個群\(G\)都同構於一個變換群。