5-1
1、對於集合A，一個從An到B的映射，稱為集合A上的一個n元運算。如果B包含於A，則稱該n元運算是封閉的。
2、一個非空集合A連同若干定義在該集合上的運算f1，f2，……，fk所組成的系統稱為一個代數系統，記作<f1,f2,……,fk>。
3、代數系統應包含三種特性：
封閉性：x※y∈I
交換律：x※y=y※x
結合律：（x※y）※z=x※（y※z）
5-2
1、設※是定義在集合A上的二元運算，如果對於任意的x，y∈A，都有x※y∈A，則稱二元運算※在A上是封閉的。
2、設※是定義在集合A上的二元運算，如果對於任意的x，y∈A，都有x※y=y※x，則稱二元運算※在A上是可交換的。
3、設※是定義在集合A上的二元運算，如果對於任意的x，y，z∈A，都有x※y※z=x※（y※z），則稱二元運算※在A上是可結合的。
4、設※、▲是定義在集合A上的二元運算，如果對於任意的x，y，z∈A，都有
x※（y▲z）=（x※y）▲（x※z）
（y▲z）※x=（y※x）▲（z※x），則稱運算※對於▲是可分配的。
5、設※、▲是定義在集合A上的兩個可交換的二元運算，如果對於任意的x，y∈A，都有
x※（x▲y）=x
x▲（x※y）=x，則稱運算※對於▲滿足分配律。
6、設※是定義在集合A上的二元運算，如果對於任意的x，y∈A，都有x※x=x，則稱二元運算※是等冪的。
7、設※是定義在集合A上的二元運算，如果有一個元素el∈A，對於任意元素x∈A都有el※x=x，稱el為A中關於運算※的左幺元。
如果有一個元素er∈A，對於任意元素x∈A都有x※er=x，稱er為A中關於運算※的右幺元。
若A中一個元素e，它既是左幺元又是右幺元，則稱e為A中關於運算※的幺元/單位元。顯然對於任一x∈A，有e※x=x※e=x。
設※是定義在集合A上的二元運算，且在A中有關於運算※的el和er，則el=er=e，A中的幺元是唯一的。
8、設※是定義在集合A上的二元運算，如果有一個元素θl∈A，對於任意元素x∈A都有θl※x=θl，稱θl為A中關於運算※的左零元。
如果有一個元素θr∈A，對於任意元素x∈A都有x※θr=θr，稱θr為A中關於運算※的右零元。
若A中一個元素θ，它既是左零元又是右零元，則稱θ為A中關於運算※的零元。顯然對於任一x∈A，有θ※x=x※θ=θ。
設※是定義在集合A上的二元運算，且在A中有關於運算※的θl和θr，則θl=θr=θ，A中的零元是唯一的。
設<A，*>是一個代數系統，且集合A中元素的個數大於1.如果該代數系統中存在幺元e和零元θ，則θ≠e。
9、設<A，*>是一個代數系統，這里※是定義在集合A上的二元運算，且e是A中關於運算※的幺元。若對於A中的一個元素a存在着A中的某個元素b，使得b*a=e，那么稱b為a的左逆元；如果a*b=e，那么稱b為a的右逆元；如果一個元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么稱b是a的一個逆元。一般a與b互逆，記為x-1。一般來說，一個元素的左逆元不一定等於該元素的右逆元。而且，一個元素可以有左逆元而沒有右逆元，甚至左右逆元可以不唯一。
設<A，*>是一個代數系統，這里※是定義在集合A上的二元運算，A中存在幺元e，且每一個元素都有左逆元。如果*是可結合的運算，那么，這個代數系統中任何一個元素的左逆元必定也是該元素的右逆元，且每個元素的逆元是唯一的。
10、一個代數系統<S，*>，其中S是非空集合，*是S上的一個二元運算，如果運算*是封閉的，則稱代數系統<S，*>為廣群。
<S，*>為廣群中，運算*是可結合的，即對任意的x，y，z∈S，滿足（x*y）*z=x*（y*z），則稱代數系統<S，*>為半群。
<S，*>為半群，B包含S且*在B上是封閉的，那么<B，*>也是一個半群。稱<B，*>是半群<S，*>的子半群。
<S，*>為半群，如果S是一個有限集，則必有a∈S，使得a*a=a，a是等冪元。
含有幺元的半群稱為獨異點。
設<S，*>是一個獨異點，則在關於運算*的運算表任何兩行或兩列都是不同的。
設<S，*>是一個獨異點，對於任意a，b∈S，且a，b均有逆元，則（a-1）-1=a；a*b有逆元，且（a*b）-1=b-1*a-1。
11、設<G,*>是一個代數系統，其中G是非空集合，*是G上一個二元運算，如果
（1）運算*是封閉的
（2）運算*是可結合的
（3）存在幺元e
（4）對於每一個元素x∈G，存在着他的逆元x-1
則稱<G,*>是一個群。
12、<G,*>是一個群，如果G是有限集，那么稱<G,*>為有限群，G中元素的個數通常稱為該有限群的階數，記為|G|；如果G是無限集，那么稱<G,*>為無限群。群中不可能有零元。有消去律。
設S是一個非空集合，從集合S到S的一個雙射稱為S的一個置換。在群<A,*>中，除幺元e外，不可能有任何別的等冪元。
13、如果群<G,*>中的運算*是可交換的，則稱該群為阿貝爾群，或稱交換群。
<G,*>是一個群，若在G中存在一個元素a，使得G中的任意元素都由a的冪組成，則稱該群為循環群，元素a稱為循環群G的生成元。
任何一個循環群必定是阿貝爾群。
14、
