什么是代數
代數是什么？此題之大非不才能答。但以“代數”之名話之，以期窺見一斑。
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目錄
1. 從“al-jabr”到"algebra"
2. 從“algebra”到“代數”
3. 代的不光是“數”
4. 從數與數之異到“數”與“數”之同
5. 從歷史的代數到發展的代數
參考文獻
1. 從“al-jabr”到"algebra"
一些回答提到，“代數”就是用字母代替數。實際上，“代數”這個詞翻譯自拉丁文algebra，algebra又源於阿拉伯語。
公元820年左右，阿拉伯數學家花拉子米寫了一本代數學著作《Al- Kitāb al-mukhta sar fī hísāb al-jabr wa'l-muqābala》。“Al-jab”原意為還原，這里表示移項；“wa'l-muqābala”意為化簡，這里表示方程兩邊同時消去相同的項或合並同類項。書名直譯為漢語就是《還原與對消計算概要》。這本書指出，任何一元一次和一元二次方程都能通過移項和化簡變成六種基本形式，並給出了這六種基本形式方程的求根公式。這本書在1140年左右由羅伯特譯為拉丁文，在歐洲產生巨大影響。
注：關於書名及其演變，我查了幾本書，各有出入。但不影響對本文主旨的理解。
到了14世紀，“al-jabr”演變為"algebra"。之后，“wa'l-muqābala”逐漸被人忘記，而這門學科也就被簡稱為“algebra”。
由此可見，從詞源的角度來說，“algebra”的本義是還原與對消，這門學科研究的是解方程的方法。
花拉子米的《還原與對消計算概要》有一個缺點：完全沒有代數符號。一切算法都用文字語言來表達。這本重要的代數學著作卻不具備“代數”的特征，今天看來也是有趣。
2. 從“algebra”到“代數”
雖然花拉子米的代數學沒有使用符號，但在他之前已經有人將符號引入代數運算。希臘數學家丟番圖（250年前后）在《算術》中采用了一套符號表示未知數，並發明了一種記法來寫方程式。他使用的符號和記法跟今天有很大不同，但他是用符號表示未知數和方程式的先驅。法國數學家韋達在《分析引論》（1591）中第一次有意識地使用代數字母和符號。笛卡爾在《幾何學》（1637）中以a、b、c、d……表示已知量，以x、y、z、w……表示未知量，改進了韋達的符號。至此，代數的符號體系已經比較接近今天我們看到的樣子。
盡管貢獻代數學名稱的花拉子米不會使用符號，用符號代替數還是代數的基本特征。
第一個用“代數”指稱這一學科的是英國人Wylie。1847年，他到上海學習中文，后來用漢語寫了一本《數學啟蒙》（1853），介紹西方的數學。序中說：“有代數、微分諸書在，余將續梓之。”
1859年，清代數學家李善蘭和Wylie合譯英國德·摩根的《Elements of Algebra》（1835），定名《代數學》。“代數”從此成為這門學科的正式中文名稱。
1873年，華蘅芳和英國人Fryer合譯英國Wallis的《代數術》，卷首有“代數之法，無論何數，皆可任以何記號代之”。這解釋了“代數”之名的由來：用符號代替數。
3. 代的不光是數
初中數學中，用字母表示數是從算術到代數的第一次飛躍。到了高中我們發現，字母不光能表示數，還能表示平面向量！
如果只是能用字母表示，倒沒有什么稀奇。畢竟我們早就在平面幾何中用字母表示點和直線了。稀奇的是，這貨不光能用字母表示，還能進行加、減、數乘和點乘的運算。這些運算和實數的運算似乎有相同的地方，似乎又有些不同。
再往后，我們在立體幾何中學習了空間向量。這一點都不奇怪。我們繼續沿用平面向量中學到的規則，熟練地對它們做加、減、數乘和點乘運算。
盡管在中學數學中向量是以幾何形式引進的，然而當你的眼睛離開圖形盯着代數式，開始對它們加加減減時，它就已經屬於代數了。代數，代的不光是數。
4. 從數與數之異到“數”與“數”之同
現在把目光集中在數上。從自然數到整數，再到有理數，每一次數系的擴充都伴隨着一種運算能力的解放。從自然數到整數，減法不再受限制；從整數到有理數，除法不再受限制。（從有理數到實數有點復雜，擴展的不是簡單的加減乘除運算，屬於分析領域了）
數與數的不同，不單純表現在元素的區別，還表現在其中不受限制之運算的區別。
回頭看向量。學會平面向量的代數運算后，空間向量的代數運算沒有任何困難，因為它們完全遵循相同的規則。進一步，當我們只考慮加法、減法和數乘運算時，對向量進行代數運算並不需要額外學習，因為它們和以前學過的運算也遵循相同的規則！
為了說得更清楚，我舉一個例子。![[公式]](/image/aHR0cHM6Ly93d3cuemhpaHUuY29tL2VxdWF0aW9uP3RleD01JTI4YSUyQjJiJTI5LTQlMjgzYS1iJTI5JTNENWElMkIxMGItMTJhJTJCNGIlM0QtN2ElMkIxNGI=.png)
如果不加說明，誰能分清這里的a、b表示的是實數、平面向量還是空間向量？
因為實數、平面向量和空間向量三者的運算規則相同，都遵循加法的交換律、結合律，以及數乘對加法的分配律。上面的每一步運算都沒有違背規則。所以，這里的a、b既可以是實數，也可以是平面向量，還可以是空間向量。於是，學會三者之中任意一種的運算，也就學會了另外兩種。
既然如此，運算對象具體是什么已經不重要了。重要的是能對它做什么運算，以及這些運算遵循什么運算律。這時，代數所代之“數”就不是狹義的數，而是具有某些運算並滿足某些運算律的一些對象了。
5. 從歷史的代數到發展的代數
“Algebra”的本義是還原與對消，引申為方程術。從歷史來看，代數學是對得起這個名稱的。直到19世紀初，研究代數方程的解法仍是代數學的全部內容。
19世紀，對五次和五次以上代數方程一般解的研究引入了群和域的概念。群和域都是具有某些運算並滿足某些運算律的對象集合。自此，代數學的研究不再局限於代數方程，更多地把眼光放在了各種抽象對象的運算關系上。
“代數”義為用符號代替數，本質上是一個抽象過程：從具體的、確定的數到抽象的、未定的數。這是第一步抽象。當我們把注意力集中於所研究對象的運算和運算律，而忽略所代之“數”的具體類別時，完成了進一步的抽象。
19世紀中葉的Wylie和李善蘭在敲定《代數學》之名時恐怕沒有想到，代表方程術的“algebra”其時正在化蛹，代表抽象的“代數”如今已然成蝶。21世紀初的我們在思考代數是什么時，恐怕也難以想見未來的代數學會迎來怎樣的新生。
參考文獻
\[1\]李文林. 數學史教程\[M\]. 高等教育出版社，施普林格出版社，2002
\[2\]梁宗巨. 世界數學史簡編\[M\]. 遼寧人民出版社，1980