代數系統

思維導圖

6-1代數系統的概念

n元運算

• 定義
• 二元運算的運算表

代數系統的概念

• 代數系統的定義
• 有限代數系統
• 同類型代數系統

6-2二元運算的性質

封閉性

可交換性

冪等性

• 冪等元

有幺元（單位元、恆等元）

• 左幺元

• 右幺元

• 6-2.1幺元的唯一性定理

  • 設*是X上的二元運算，如果有左幺元 eL∈X， 也有右幺元 eR∈X，則 eL= eR =e，且幺元 e 是唯一的。

有零元

• 左零元

• 右零元

• 6-2.2零元的唯一性定理

  • 設*是X上的二元運算，如果有左零元θL∈X， 也有右零元θR∈X，則θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。

• 6-2.3零元和幺元不相同定理

  • 設<A,*>是一個代數系統，且集合A中元素的
    個數大於1。如果該代數系統中存在幺元e和零元θ， 則θ≠e。

可結合性

有逆元

• 左逆元

• 右逆元

• 6-2.4逆元的唯一性定理

  • 設*是X上有幺元e且可結合的二元運算，如果
    x∈X，x的左、右逆元都存在，則x的左、右逆元必相等，
    且x的逆元是唯一的。

• 6-2.5左右逆元相同定理

  • 設*是X上有幺元e且可結合的二元運算，如果
    任意x∈X，都存在左逆元，則x的左逆元也是它的右逆元。

可消去性

• 6-2.6可消去性的判定定理

  • 設*是X上有幺元e且可結合的二元運算，如果a∈X,且a-1∈X.則a是可消去的。(此定理只是充分條件)

分配律

吸收律

小結

6-3代數系統的同態與同構

代數系統的同態和同構問題

同態、同構的定義

-設<X, * >,<Y, 。>是兩個代數系統，* 和 。都是二元運算，如果存在映射f:X->Y,使得對任何x1，x2∈X，有
f(x1x2)=f(x1) 。f(x2)
--------此式叫同態(同構)關系式
則稱 f是從<X,>到<Y, 。>的同態映射，簡稱這兩個代數系統同態。記作X∽Y。

• 同態關系式

• 同態像

• 滿同態

• 單一同態

• 同構

• 自同態（自同構）

• 兩個代數系統同構的必要條件

  • X和Y的基數相同，即K[X]=K[Y]。
  • 運算 * 和 。是同類型的。
  • 存在雙射 f:X->Y，且滿足同構關系式。

代數系統間的同構關系≌是等價關系

• ≌有自反性

  • 任何代數系統<X,*> , 有X≌X。

• ≌有對稱性

  • 任何代數系統<X,*> <Y, *>, 如果有
    X≌Y 則必有Y≌X。

• ≌有傳遞性

  • 任何代數系統<X,> <Y,>,<Z, 。> 如果
    有X≌Y 和 Y≌Z，則必有 X≌Z 。

代數系統同構的性質

• 保持結合律
• 保持交換律
• 保持幺元存在性
• 保持零元存在性
• 保持逆元存在性
• 保持分配律
• 保持吸收律

同態性質的保持

• 同態性質的保持
  只是單向的。

同態核

• 定義：
  f是從<X,>到 <Y,。>的同態映射，
  (X∽Y),e和 e。分別是X、Y中幺元。
  定義集合ker (f)為：
  ker (f)={x|x∈X∧f(x)= e* }
  稱ker (f)為 f的同態核。

6-4同余關系

置換性質例子

置換性質定義

同余關系及同余類的定義

由同態可確定同余關系

6-5半群和獨異點

半群(Semi-group)

• 定義

  • S是個非空集合， 是S上的二元運算，如果在 S上滿足封閉性、可結合性，則稱<S,>是半群。

• 交換半群

  • <S,>是半群，如是可交換的，則稱它是交換半群。

• 子半群

  • <S,>是個半群,BS,如果在B上封閉, 則稱<B,>是<S,>的子半群。 例<N,+>是<I,+>的子半群。

  • 定理6-5.1

    • 設<S,>是半群，如果S是有限集合，則必存在
      a∈S,使得aa=a。

獨異點

• 獨異點定義

  • 設<M,>是個半群,如果對有幺元。則
    稱<M,*>是個獨異點，也稱它是含幺半群。

• 交換獨異點

  • <M,>是獨異點，如是可交換的，則稱它是交換獨異點。

• 子獨異點

  • <M,>是個獨異點,B⊆M, 如果在B上封閉，
    且幺元e∈B,則稱<B,>是<M,>的子獨異點。

  • 定理6-5.2

    • 設<M,>是交換獨異點,A是M中所有冪等元構
      成的集合，則<A,>是<M,*>的子獨異點。

  • 定理6-5.3

    • 設<M,*>是獨異點，則在關於運算 *的運算表中任何兩行或任何兩列都是不相同的。

6-6群(Group)與子群

群的概念

• 群的定義
• 有限群

群的性質

• 定理6-6.1 群滿足可消去性

  • 設<G,>是個群，則對任何a,b,c∈G, 如果有
    ⑴ ab=ac 則 b=c 。
    ⑵ ba= c*a 則 b=c 。

• 定理6-6.2 群方程可解性

  • 設<G,>是個群，則對任何a,b∈G,
    ⑴ 存在唯一元素 x∈G, 使得 ax=b ……..⑴
    ⑵ 存在唯一元素 y∈G, 使得 y*a=b ……..⑵

• 定理6-6.3 群中無零元

  • 設<G,*>是個群,如果K[G] ≥2,則G中無零元.

• 定理6-6.4 群中除幺元外，無其它冪等元

  • 設<G,*>是個群 ,G中除幺元外,無其它冪等元。

• 定理6-6.5

  • <G,>是個群，對任何a,b∈G,有
    ⑴ (a^-1)-1 =a
    ⑵ (ab)^-1=b-1*a^-1
  • 推論：
    

• 有限群的運算表的特征

  • 定理6-6.6

    • <G,>是個有限群，則G中每個元素在運算
      表中的每一行(列)必出現且僅出現一次。

群的階與群中元素的階

• 群的階

  • <G,>是群,如果K[G]=n, 則稱<G,>是n階群,
    如果K[G]是無限的, 則稱<G,*>是無限階群。

• 群中元素的階

  • 定義

    • 設<G,*>是個群，a∈G，
      如果存在正整數k，使得a^k=e,
      則稱a的階是有限的。如果存在最小的正整數n，使得
      a^n=e, 則稱a的階是n。否則就稱a的階是無限的。

  • 定理6-6.7

    • <G,*>是群, a∈G, 如果a的階為n ,則
      a^k=e 當且僅當 k=mn (m∈I)(即k是n的整數倍)

  • 定理6-6.8

    • 群中的元素與其逆元 具有相同的階。

  • 定理6-6.9

    • 有限群中，每個元素的階都是有限的。

交換群(阿貝爾群 、Abel群)

• 定義

  • 設<G,>是群,運算是可交換的，則稱它是交換群。

• 定理6-7.1

  • <G,>是交換群，當且僅當 對任何a,b∈G 有
    (ab)(ab)=(aa)(bb) (即(ab)^2=a2*b^2 )

子群

• 定義

  • 設<G,>是群, S是G的非空子集， 如果<S,>滿足：
    ⑴ 任何a,b∈S 有ab∈S, (封閉)
    ⑵幺元 e∈S, (有幺元)
    ⑶任何a∈S 有a^-1∈S, (可逆)
    則稱<S,>是<G,*>的子群

• 平凡子群與真子群

  • 設<G,>是群，<{e},>和<G,>也是<G,>的子群。
    稱之為平凡子群。其余真子集構成的子群稱之為真子群。

• 證明子群的方法

  • 方法1

    • 用子群的定義，即證明運算在子集上滿足封閉、
      有幺元、可逆。

  • 方法2.定理6-8.1

    • 設<G,>是群, S是G的非空子集，如果
      <S,>滿足：
      ⑴ 任何a,b∈S 有ab∈S, (封閉)
      ⑵ 任何a∈S 有a-1∈S, (可逆) 則<S,>是<G,*>的子群。

  • 方法3.定理6-8.2

    • 設<G,>是群, B是G的有限子集,如果 在B上滿足封閉性，則<B,>是<G,>的子群。

  • 方法4. 定理6-8.3

    • 設<G,>是群, S是G的非空子集，如果任何
      a,b∈S 有ab-1∈S, 則<S,>是<G,>的子群。

6-7 循環群與置換群

循環群

• 循環群例子

• 定義

  • 設<G,>是群,如果存在一個元素
    g∈G, 使得對每個 x∈G, 都存在整數i,
    有x=g^i, 則稱<G,>是個循環群. 並稱g是G的生成元。

• 循環周期

  • 設<G,*>是個以g為生成元的循環群，如果
    存在最小正整數m,使得g^m=e (即m是g的階)，則稱該循環
    群的循環周期是m 。如果不存在最小正整數m, 使得g^m=e
    (即g的階是無限的),則稱該循環群的循環周期是無限的。

  • 定理6-7.2

    • 設<G,*>是個以g為生成元的有限循環群,|G|=n
      則g^n=e, 及G= {g^1,g2,.., g^n=e}且n是g的階。

  • 定理6-6.2

    • 設<G,>是個以g為生成元的循環群, 則
      ⑴若它的循環周期是無限的，則<G,>與<I,+>同構。
      ⑵若它的循環周期是k(有限的),則<G,*>與<Nₖ,+ₖ>同構。

  • 定理6-7.3

    • 循環群都是交換群。

置換群 Permutation Group

• 置換

  • 定義

• 置換的復合運算

  • 左復合
  • 右復合

• 輪換與對換

  • 令 σ是個n元置換，如果σ滿足：
    (1) σ(a₁)=a₂，σ(a₂)=a₃ … σ(aₘ₋₁)=aₘ σ(aₘ)= a₁
    (2) σ(a)=a，當a≠aₖ (k=1,2,…,m)時
    則稱σ是一個m輪次的輪換，記作(a₁a₂ …aₘ₋₁aₘ)。 當m＝1時，σ是個恆等置換。(實際是恆等映射) 當m＝2時，稱σ是個對換

• 兩個輪換不相交

  • 定義

  • 定理

    • Sₙ中的任何置換都可以寫成若干個互不相交的輪換之積。這里所說對輪換之積(乘法)就是置換的“左復合”。但是不寫運算符號“ 。” 。

• 置換群

  • 定義

    • S是有限集合, 令|S|=n, 由Sₙ中的若干個置換構成
      的群, 稱之為S上的置換群. 並稱它是n元置換群。

• 對稱群

  • 定義

• 置換群與有限群的關系

  • 定理6-7.4

    • <G,*>是個有限群, 則它的運算表中的每一行
      (每一列)的元素都是G中元素的置換。

• 定理6-7.5(Cayley定理)

  • 每個有限群都與一個置換群同構。

6-8 陪集與拉格朗日定理

子群的陪集

• 定義

  • 設<H,>是群<G,>的子群，a∈G，定義集合:
    aH={ah|h∈H}
    Ha={ha|h∈H}
    則稱aH(Ha)為a確定的H在G中的左(右)陪集。

• 陪集性質

  • 定理6-8.4

    • <H,>是群<G,>的子群,任何a,b∈G,有
      ⑴ aH∩bH=Φ 或者 aH=bH
      ⑵ Ha∩Hb=Φ 或者 Ha=Hb

  • 定理6-8.5

    • <H,>是群<G,>的子群，任何a,b∈G，有
      ⑴ aH=bH 當且僅當 b∈aH
      ⑵ Ha=Hb 當且僅當 b∈Ha

  • 定理6-8.6

    • <H,>是群<G,>的子群，任何a∈G，a必
      屬於且僅屬於一個陪集

  • 定理6-8.7

    • 設<G,>是有限群， <H,>是群<G,*>的子
      群，任何a,b∈G，則 ⑴ bH中任何 兩個元素都不相同。
      ⑵ a不屬於bH，則aH∩bH=Φ

子群的階數

• 定理6-8.8--拉格朗日定理(Lagrange定理)

  • (Lagrange定理)設<G,>是有限群，|G|=n,
    <H,>是<G,*>的任意子群，且|H|=m, 則 n=km (k∈I)

• 推論1

  • <G,*>是n階群，則任意a∈G，a的階必是n的因子且aⁿ =e。

• 推論2

  • <G, *>是素數階群， 則它無非平凡子群，且它必是循環群。

正規子群

• 定義

  • <H,>是群<G,>的子群，如果對任何a∈G，都
    有aH=Ha, 則稱<H,>是群<G,>的正規子群.
    顯然, G是個交換群, 則它的所有子群都是正規子群.

• 判定定理

  • <H,>是群<G,>的子群，<H,>是群
    <G,>的正規子群的充分且必要條件是 對任何a∈G，都有aHa^-1⊆H. (這里aHa^-1 ={aha-1| h∈H})

商群

• 利用正規子群，可以得到商群。
  令<H,>是群<G,>的正規子群，
  G/H是H的所有陪集(因為正規子群的左陪集與右陪
  集相等，所以陪集不必區分是左還是右)構成的集合。
  由陪集的性質可以知道：
  • G中每個元素必屬於且只屬於一個陪集；
  • 任何兩個陪集，要么相等，要么不相交；
  • 所以G/H是G的一個划分。所以G/H也叫商集。

6-9 環與域

環 (Ring)

• 定義

  • 定義:給定代數系統<R,+,·>, 若R上二元運算+和 · 滿足:
    ⑴<R,+>是交換群。
    ⑵<R, ·>是半群。
    ⑶ · 對+可分配。即對任何a,b,c∈R,有
    a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
    (a+b)·c =(a·c)+(b·c)
    稱<R,+,·>是個環。
    注意：這里的R是Ring的字頭，不一定是實數集合。

• 也不一定是加法；· 也不一定是乘法。

• 判斷

• 環的運算法則

  • 設<R,+,·>是環, a,b,c∈R,
    符號的約定：
    對 +：幺元用0表示，a的逆元用 -a表示；
    對 · ：幺元用1表示，a的逆元用 a-1表示。
    a+(-b)=a-b
    ⑴ a+(-a)=(-a)+a=0
    ⑵ 0+a=a+0=a
    ⑶ -(-a)=a
    ⑷ a+b=c <=> a=c+(-b)=c-b
    ⑸ -(a+b)=-a-b
    -(a-b)=-a+b
    ⑹ a·0=0·a=0 (對+的幺元，恰是 · 的零元)
    ⑺ (-a)·b=a·(-b)=-(a·b)=-a·b
    ⑻ (-a)·(-b)=a·b (直接由(7)式可得)
    ⑼ a·(b-c)=(a·b)-(a·c)=a·b-a·c
    (a-b)·c=a·c-b·c
    實質就是分配律。

• 可交換環和含幺環

  • 設<R,+,·>是環, 若<R, ·>是交換半群,則稱它是可交換環。
    若<R, ·>是含幺半群(獨異點),則稱它是含幺環。

• 零因子

  • 定義：設<R,+,·>是環, a,b∈R, 且a≠0,b≠0, 但有a·b=0,
    則稱a是左零因子，b是右零因子。

• 含零因子環

  • 設<R,+,·>是環, 如果R中含有零因子，即有a,b∈R不是零元，而有a·b=0,則稱它是含零因子環。

• 無零因子環及其判定

  • 定理6-9.1

    • <R,+,·>是無零因子環，當且僅當對運算 · 滿足
      可消去性。

• 整環

  • 定義

    • 設<R,+,·>是可交換含幺環, 若R中無零因子，則稱
      它是整環。即整環是滿足：
      ⑴ <R,+>是交換群。
      ⑵ <R, ·>是可交換獨異點。
      ⑶ · 對+可分配。
      ⑷ 無零因子

域 (Field)

• 定義

  • 設<F,+, ·>是個代數系統，K[F]≥2，如果F上二元
    運算+和 ·滿足：
    ⑴ <F,+>是交換群。
    ⑵ <F-{0}, ·>是交換群。
    ⑶ · 對+可分配。
    稱<F,+,·>是個域

• 定理6-9.2

  • 設<F,+, ·>是域，則F中無零因子。

• 定理6-9.3

  • 域必是整環。

• 定理6-9.4

  • 有限整環必是域。