向量及其線性運算
向量的概念
客觀世界中有這樣一類量，它們既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等等，這一類量叫做向量（或矢量）。
在數學上，常用一條有方向的線段來表示向量。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。以$A$為起點、$B$為終點的有向線段記作$\overrightarrow{AB}$。有時也用一個黑體字母（書寫時，在字母上面加箭頭）來表示向量，例如$\boldsymbol a$、$\boldsymbol r$、$\boldsymbol v$、$\boldsymbol F$或$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{r}$、$\overrightarrow{v}$、$\overrightarrow{F}$等。
向量的大小叫做向量的模，向量$\overrightarrow{AB}$、$\boldsymbol a$和$\overrightarrow{a}$的模依次記作$|\overrightarrow{AB}|$、$|\boldsymbol a|$和$|\overrightarrow{a}|$。模等於$1$的向量叫做單位向量，模等於$0$的向量叫做零向量，記作$\boldsymbol 0$或$\overrightarrow{0}$。零向量的起點與終點重合，它的方向可以看做是任意的。
設有兩個非零向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，任取空間一點$O$，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a$，規定不超過$\pi$的$\angle AOB$（設$\varphi = \angle AOB$,$0\leqslant \varphi \leqslant \pi$）稱為向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$的夾角，記作$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})$或$(\widehat{\boldsymbol b,\boldsymbol a})$，即$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})=\varphi$。如果向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$中有一個是零向量，規定它們的夾角可以在$0$到$\pi$之間任意取值。
如果$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})=0$或$\pi$，就稱向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$平行，記作$\boldsymbol a//\boldsymbol b$。如果$(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})=\frac \pi 2$，就稱向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$垂直，記作$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$。由於零向量與另一向量的夾角可以在$0$到$\pi$之間任意取值，因此可以認為零向量與任何向量都平行，也可以認為零向量與任何向量都垂直。
當兩個平行向量的起點放在同一點時，它們的終點和公共起點應在一條直線上。因此，兩向量平行，又稱兩向量共線。
類似還有向量共面的概念。設有$k(k\geqslant 3)$個向量，當把它們的起點放在同一點時，如果$k$個終點和公共起點在一個平面上，就稱這$k$個向量共面。
向量的線性運算
向量的加減法
向量的加法運算規定如下：
設有兩個向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$，任取一點$A$，作$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，再以$B$為起點，作$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol b$，連接$AC$，
那么向量$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$稱為向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$的和，記作$\boldsymbol a+\boldsymbol b$，即$$\boldsymbol c=\boldsymbol a+\boldsymbol b$$
上述做出兩向量之和的方法叫做向量相加的三角形法則。
同樣的，我們也有向量相加的平行四邊形法則。
向量的加法符合下列運算規律：
（1）交換律 $\boldsymbol a+\boldsymbol b = \boldsymbol b+\boldsymbol a$；
（2）結合律 $(\boldsymbol a+\boldsymbol b) + \boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b + \boldsymbol c)$。
這是因為，按向量加法的規定（三角形法則）：$$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c\\\boldsymbol b+\boldsymbol a=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$$所以符合交換律。先做$\boldsymbol a+\boldsymbol b$再加上$\boldsymbol c$，即得和$(\boldsymbol a+\boldsymbol b) + \boldsymbol c$，若以$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b+\boldsymbol c$相加，則得同一結果，所以符合結合律。
由於向量的加法符合交換律和結合律，故$n$個向量$\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\dots,\boldsymbol a_n(n\geqslant3)$相加可寫成$$\boldsymbol a_1+\boldsymbol a_2+\dots+\boldsymbol a_n$$ 設$\boldsymbol a$為一向量，與$\boldsymbol a$的模相同而方向相反的向量叫做$\boldsymbol a$的負向量，記作$-\boldsymbol a$。由此，我們規定兩個向量$\boldsymbol b$與$\boldsymbol a$的差$$\boldsymbol b-\boldsymbol a=\boldsymbol b+(-\boldsymbol a)$$即把向量$-\boldsymbol a$加到向量$\boldsymbol b$上，便得$\boldsymbol b$與$\boldsymbol a$的差$\boldsymbol b-\boldsymbol a$。
特別地，當$\boldsymbol b=\boldsymbol a$時，有$$\boldsymbol a-\boldsymbol a=\boldsymbol a+(-\boldsymbol a)=\boldsymbol 0$$ 顯然，任給向量$\overrightarrow{AB}$及點$O$，有$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$$因此，若把向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$移到同一起點$O$，則從$\boldsymbol a$的終點$A$向$\boldsymbol b$的終點$B$所引向量$\overrightarrow{AB}$便是向量$\boldsymbol b$與$\boldsymbol a$的差$\boldsymbol b-\boldsymbol a$。
由三角形兩邊之和大於第三邊，有$$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|\ 及\ |\boldsymbol a-\boldsymbol b|\leqslant|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$$其中等號在$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$同向或反向時成立。
向量與數的乘法
向量$\boldsymbol a$與實數$\lambda$的乘積記作$\lambda\boldsymbol a$，規定$\lambda\boldsymbol a$是一個向量，它的模$$|\lambda\boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|$$ 它的方向當$\lambda > 0$時與$\boldsymbol a$相同，當$\lambda<0$時與$\boldsymbol a$相反。
當$\lambda=0$時$|\lambda\boldsymbol a|=0$，即$\lambda\boldsymbol a$為零向量，這時它的方向可以時任意的。
特別地，當$\lambda=\pm 1$時，有$$1\boldsymbol a=\boldsymbol a,(-1)\boldsymbol a=-\boldsymbol a$$ 向量與數的乘積符合下列運算規律：
（1）結合律 $\lambda(\mu\boldsymbol a)=\mu(\lambda\boldsymbol a)=(\lambda\mu)\boldsymbol a$，而且$|\lambda(\mu\boldsymbol a)|=|\mu(\lambda\boldsymbol a)|=|(\lambda\mu)\boldsymbol a|$
（2）分配律 $$(\lambda+\mu)\boldsymbol a = \lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol a \\ \lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b) = \lambda\boldsymbol a+ \lambda\boldsymbol b$$ 證明略。
向量相加及數乘向量統稱為向量的線性運算。
前面已經講過，模等於$1$的向量叫做單位向量。設$\boldsymbol e_a$表示與非零向量$\boldsymbol a$同方向的單位向量，那么按照向量與數的乘積的規定，由於$|\boldsymbol a|>0$，所以$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$與$\boldsymbol e_a$的方向相同，即$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$與$\boldsymbol a$的方向相同。又因$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$的模是$$|\boldsymbol a||\boldsymbol e_a|=|\boldsymbol a|\cdot 1=|\boldsymbol a|$$即$|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$與$\boldsymbol a$的模也相同，因此$$\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\boldsymbol e_a$$ 我們規定，當$\lambda \neq 0$時，$\frac {\boldsymbol a}{\lambda}=\frac 1 {\lambda}\boldsymbol a$。由此，上式又可以寫成$$\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}=\boldsymbol e_a$$這表示一個非零向量除以它的模的結果是一個與原方向同方向的單位向量。
由於向量$\lambda\boldsymbol a$與$\boldsymbol a$平行，因此我們常用向量與數的乘積來說明兩個向量的平行關系。即有$$\mathbf{\textbf{定理1} \ \textbf{設向量}\boldsymbol a\neq 0，\textbf{則向量}\boldsymbol b\textbf{平行於}\boldsymbol a\textbf{的充分必要條件是：存在唯一的實數}\lambda\textbf{，使}\boldsymbol b=\lambda\boldsymbol a}$$
利用坐標作向量的線性運算
利用向量的坐標，可得向量的加法、減法及向量與數的乘法的運算如下：
設$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z)$，即$$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$$利用向量加法的交換律與結合律以及向量與數的乘法的結合律與分配率，有$$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)\\\boldsymbol a-\boldsymbol b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)\\ \lambda\boldsymbol a=(\lambda a_x,\lambda a_y , \lambda a_z)$$由此可見，對向量進行加減即與數的相乘，只需對向量的各個坐標分別進行相應的數量運算就行了。
定理1指出，當向量$\boldsymbol a\neq \boldsymbol 0$時，向量$\boldsymbol b//\boldsymbol a$相當於$\boldsymbol b=\lambda\boldsymbol a$，坐標表示式為$$(b_x,b_y,b_z)=\lambda(a_x,a_y,a_z)$$這也就相當於向量$\boldsymbol b$與$\boldsymbol a$對應的坐標成比例$$\frac{b_x}{a_x}=\frac{b_y}{a_y}=\frac{b_z}{a_z}$$
向量的模、方向角、投影
向量的模與兩點間的距離公式
設向量$\boldsymbol r=(x,y,z)$，作$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol r$，有$$\boldsymbol r=\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}$$按勾股定理可得$$\boldsymbol r=|OM|=\sqrt{|OP|^2+|OQ|^2+|OR|^2}$$又有$$|OP|=|x|,|OQ|=|y|,|OR|=|z|$$於是得向量模的坐標表示式$$|\boldsymbol r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ 設有點$A(x_1,y_1,z_1)$和點$B(x_2,y_2,z_2)$，則點$A$與點$B$間的距離$|AB|$就是向量$\overrightarrow{AB}$的模。由$$\begin{align} \overrightarrow{AB}&=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1)\\&=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\end{align}$$即得$AB$兩點間距離$$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$$
方向角與方向余弦
非零向量$\boldsymbol r$與三條坐標軸的夾角$\alpha$、$\beta$、$\gamma$稱為向量$\boldsymbol r$的方向角。設$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol r=(x,y,z)$，由於$x$是有向線段$\overrightarrow{OP}$的值，$MP\bot OP$，故$$\cos\alpha=\frac x {|OM|}=\frac x {|\boldsymbol r|}$$從而$$\cos\beta=\frac y {|\boldsymbol r|},\cos\gamma=\frac z {|\boldsymbol r|}$$$\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$稱為向量$\boldsymbol r$的方向余弦。上式表明，以向量$\boldsymbol r$的方向余弦為坐標的向量就是與$\boldsymbol r$同方向的單位向量$\boldsymbol e$。並由此可得$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$$
向量在軸上的投影
如果撇開$y$軸和$z$軸，單獨考慮$x$軸和向量$\boldsymbol r=\overrightarrow{OM}$的關系，那么可以過點$M$作與$x$軸垂直的平面，此平面與$x$軸交點即是點$P$。作出點$P$，即得向量$\boldsymbol r$在$x$軸上分向量$\overrightarrow{OP}$，進而由$\overrightarrow{OP}=x\boldsymbol i$，便得向量在$x$軸上坐標$x$，且$x=|\boldsymbol r|\cos\alpha$。
一般地，設點$O$及單位向量$\boldsymbol e$確定$u$軸，任給向量$\boldsymbol r$，作$\overrightarrow{OM}=\boldsymbol r$，再過點$M$作與$u$軸垂直的平面交$u$軸於點$M'$（點$M'$叫做點$M$在$u$軸上的投影），則向量$\overrightarrow{OM'}$稱為向量$\boldsymbol r$在$u$軸上的分向量。設$\overrightarrow{OM'}=\lambda \boldsymbol e$，則數$\lambda$稱為向量$\boldsymbol r$在$u$軸上的投影，記作$\mathrm{Prj}_u\boldsymbol r$或$(\boldsymbol r)_u$。
按此定義，向量$\boldsymbol a$在直角坐標系$Oxyz$中坐標$a_x$、$a_y$、$a_z$就是$\boldsymbol a$在三條坐標軸上的投影，即$$a_x=\mathrm{Prj}_x\boldsymbol a,a_y=\mathrm{Prj}_y\boldsymbol a,a_z=\mathrm{Prj}_z\boldsymbol a$$或記作$$a_x=(\boldsymbol a)_x,a_y=(\boldsymbol a)_y,a_z=(\boldsymbol a)_z$$ 由此可知，向量的投影具有與坐標相同的性質：$$\textbf{性質1}\ \mathrm{Prj}_u\boldsymbol a=|\boldsymbol a|\cos\varphi\\\textbf{性質2}\ \mathrm{Prj}_u(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\mathrm{Prj}_u\boldsymbol a+\mathrm{Prj}_u\boldsymbol b\\\textbf{性質3}\ \mathrm{Prj}_u(\lambda\boldsymbol a)=\lambda\mathrm{Prj}_u\boldsymbol a$$
數量積 向量積 混合積
兩向量的數量積
設一物體在恆力$\boldsymbol F$作用下沿直線從點$M_1$移動到點$M_2$，以$\boldsymbol s$表示位移$\overrightarrow{M_1M_2}$。由物理學知道，力$\boldsymbol F$所做的功為$$W=|\boldsymbol F||\boldsymbol s|\cos\theta$$其中$\theta$為$\boldsymbol F$與$\boldsymbol s$的夾角。
從這個問題看出，我們有時要對兩個向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$作這樣的運算，運算的結果是一個數，它等於$|\boldsymbol a|$、$|\boldsymbol b|$及它們的夾角$\theta$的余弦的乘積。我們把它叫做向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$的數量積，記作$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b$，即$$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$$
根據這個定義，上述問題中力所作的功$W$是力$\boldsymbol F$與位移$\boldsymbol s$的數量積，即$$W=\boldsymbol F\cdot \boldsymbol s$$ 由於$|\boldsymbol b|\cos\theta=|\boldsymbol b|\cos(\widehat{\boldsymbol a,\boldsymbol b})$，當$\boldsymbol a \neq \boldsymbol 0$時是向量$\boldsymbol b$在向量$\boldsymbol a$的方向上的投影，用$\mathrm{Prj}_a\boldsymbol b$來表示這個投影，便有$$\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a|\mathrm{Prj}_a\boldsymbol b$$同理，當$\boldsymbol b \neq \boldsymbol 0$時有$$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol b|\mathrm{Prj}_b\boldsymbol a$$這就是說，兩向量的數量積等於其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積。
由數量積的定義可以推得：
（1）$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol a = |\boldsymbol a|^2$。
（2）對於兩個非零向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$，如果$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$，那么$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$；反之，如果$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$，那么$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$。
由於可以認為零向量與任何向量都垂直，因此，上述結論可敘述為：向量$\boldsymbol a\bot\boldsymbol b$的充分必要條件是$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$。
數量積符合下列運算規律：
（1）交換律 $\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$
（2）分配律 $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$
（3）結合律 $(\lambda\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$，$\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$
由上述結合律，利用交換律，容易推得：$$\boldsymbol a\cdot(\lambda\boldsymbol b)=\lambda(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)及(\lambda\boldsymbol a)\cdot(\mu\boldsymbol b)=\lambda\mu(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)$$
下面我們來推導數量積的坐標表示式。
設$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$，按數量積的運算規律可得$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b&=(a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k)\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\ &=a_x\boldsymbol i\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+a_y\boldsymbol j\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+a_z\boldsymbol k\cdot(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\&=a_xb_x\boldsymbol i\cdot\boldsymbol i+a_xb_y\boldsymbol i\cdot\boldsymbol j+a_xb_z\boldsymbol j\cdot\boldsymbol k+\\&\ \ \ \ \ a_yb_x\boldsymbol j\cdot\boldsymbol i+a_yb_y\boldsymbol j\cdot\boldsymbol j+a_yb_z\boldsymbol j\cdot\boldsymbol k+\\&\ \ \ \ \ a_zb_x\boldsymbol k\cdot\boldsymbol i+a_zb_y\boldsymbol k\cdot\boldsymbol j+a_zb_z\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k\end{aligned}\end{equation} $$因為$\boldsymbol i$、$\boldsymbol j$和$\boldsymbol k$互相垂直，所以$\boldsymbol i\cdot\boldsymbol j=\boldsymbol j\cdot\boldsymbol k=\boldsymbol k\cdot\boldsymbol i=0$，又因為$\boldsymbol i$、$\boldsymbol j$和$\boldsymbol k$的模均為$1$，所以$\boldsymbol i\cdot\boldsymbol i=\boldsymbol j\cdot\boldsymbol j=\boldsymbol k\cdot\boldsymbol k=1$，因而得$$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$這就是兩個向量數量積的坐標表達式。
因為$\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$，所以當$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$都不是零向量時，有$$\cos\theta=\frac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol a||\boldsymbol b|}$$ 將數量積的坐標表示式及向量的模的坐標表示式代入上式，就得$$\cos\theta=\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} \sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$這就是兩向量夾角余弦的坐標表示式。
兩向量的向量積
在研究物體轉動問題時，不但要考慮這物體所受的力，還要分析這些力所產生的力矩。下面就舉一個簡單的例子來說明表達力矩的方法。
設$O$為一根杠桿$L$的支點，有一個力$\boldsymbol F$作用於這杠桿上$P$點處，$OQ\bot\boldsymbol F$於$Q$。$\boldsymbol F$與$\overrightarrow{OP}$的夾角為$\theta$。由力學規定，力$\boldsymbol F$對支點$O$的力矩是一向量$\boldsymbol M$，它的模$$|\boldsymbol M|=|OQ||\boldsymbol F|=|\overrightarrow{OP}||\boldsymbol F|\sin\theta$$而$\boldsymbol M$的方向垂直於$\overrightarrow{OP}$與$\boldsymbol F$所決定的平面，$\boldsymbol M$的指向是按右手規則從$\overrightarrow{OP}$以不超過$\pi$的角轉向$\boldsymbol F$來確定的，即當右手的四個手指從$\overrightarrow{OP}$以不超過$\pi$的角轉向$\boldsymbol F$握拳時，大拇指的指向就是$\boldsymbol M$的指向。
這種由兩個已知向量按上面的規則來確定另一個向量的情況，在其他力學和物理問題中也會遇到。於是從中抽象出兩個向量的向量積概念。
設向量$\boldsymbol c$由兩個向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$按下列方式給出：
$\boldsymbol c$的模$|\boldsymbol c|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta$，其中$\theta$為$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$間的夾角；$\boldsymbol c$的方向垂直於$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$所決定的平面，$\boldsymbol c$的指向按右手規則從$\boldsymbol a$轉向$\boldsymbol b$來確定，向量$\boldsymbol c$叫做向量$\boldsymbol a$與$\boldsymbol b$的向量積，記作$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$，即$$\boldsymbol c=\boldsymbol a\times\boldsymbol b$$ 按此定義，上面的力矩$\boldsymbol M$等於$\overrightarrow{OP}$與$\boldsymbol F$的向量積，即$$\boldsymbol M=\overrightarrow{OP}\times\boldsymbol F$$ 由向量積的定義可以推得：
（1）$\boldsymbol a\times\boldsymbol a=\boldsymbol 0$
（2）對於兩個非零向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$，如果$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，那么$\boldsymbol a//\boldsymbol b$；反之，如果$\boldsymbol a//\boldsymbol b$，那么$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$
由於可以認為零向量與任何向量都平行，因此，上述結論可敘述為：向量$\boldsymbol a//\boldsymbol b$的充分必要條件是$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$
向量積符合下列運算規律：
（1）$\boldsymbol b\times\boldsymbol a=-\boldsymbol a\times\boldsymbol b$
（2）分配律 $(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\times \boldsymbol c=\boldsymbol a\times\boldsymbol c+\boldsymbol b\times\boldsymbol c$
（3）結合律 $(\lambda\boldsymbol a)\times \boldsymbol b=\boldsymbol a\times(\lambda\boldsymbol b)=\lambda(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)$
下面來推導向量積的坐標表示式
設$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$，那么，按照上述運算規律，得$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol a\times\boldsymbol b&=(a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k)\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\&=a_x\boldsymbol i\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+\\&\ \ \ \ \ a_y\boldsymbol j\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)+a_z\boldsymbol k\times(b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k)\\&=a_xb_x(\boldsymbol i\times\boldsymbol i)+a_xb_y(\boldsymbol i\times\boldsymbol j)+a_xb_z(\boldsymbol i\times\boldsymbol k)+\\&\ \ \ \ \ a_yb_x(\boldsymbol j\times\boldsymbol i)+a_yb_y(\boldsymbol j\times\boldsymbol j)+a_yb_z(\boldsymbol j\times\boldsymbol k)+\\&\ \ \ \ \ a_zb_x(\boldsymbol k\times\boldsymbol i)+a_zb_y(\boldsymbol k\times\boldsymbol j)+a_zb_z(\boldsymbol k\times\boldsymbol k)\end{aligned}\end{equation}$$因為$\boldsymbol i\times\boldsymbol i=\boldsymbol j\times\boldsymbol j=\boldsymbol k\times\boldsymbol k=\boldsymbol 0$、$\boldsymbol i\times\boldsymbol j=\boldsymbol k$、$\boldsymbol j\times\boldsymbol k=\boldsymbol i$、$\boldsymbol k\times\boldsymbol i=\boldsymbol j$、$\boldsymbol j\times\boldsymbol i=-\boldsymbol k$、$\boldsymbol k\times\boldsymbol j=-\boldsymbol i$和$\boldsymbol i\times\boldsymbol k=-\boldsymbol j$，所以$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=(a_yb_z-a_zb_y)\boldsymbol i+(a_zb_x-a_xb_z)\boldsymbol j+(a_xb_y-a_yb_x)\boldsymbol k$$ 為了幫助記憶，利用三階行列式，上式可寫成$$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\begin{vmatrix}\boldsymbol i &\boldsymbol j &\boldsymbol k \\a_x &a_y &a_z \\ b_x &b_y &b_z \end{vmatrix}$$
向量的混合積
設已知三個向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$和$\boldsymbol c$。先作兩向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$的數量積$\boldsymbol a\times\boldsymbol b$，把所得到的向量與第三個向量$\boldsymbol c$再做數量積$(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c$，這樣得到的數量叫做三向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$的混合積，記作$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]$。
下面我們來推出三向量的坐標表達式。
設$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z),\boldsymbol c=(c_x,c_y,c_z)$，因為$$\begin{equation}\begin{aligned}\boldsymbol a\times\boldsymbol b&=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j &\boldsymbol k \\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y &b_z\end{vmatrix}\boldsymbol i-\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x &b_z\end{vmatrix}\boldsymbol j+\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x &b_y\end{vmatrix}\boldsymbol k\end{aligned}\end{equation}$$再按兩向量數量積的坐標表示式，便得$$\begin{equation}\begin{aligned} \left [ \boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c\right]&=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c\\&=c_x\begin{vmatrix}a_y&a_z\\b_y&b_z\end{vmatrix}-c_y\begin{vmatrix}a_x&a_z\\b_x&b_z\end{vmatrix}+c_z\begin{vmatrix}a_x&a_y\\b_x&b_y\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}\end{aligned}\end{equation}$$
向量的混合積有下述幾何意義：
向量的混合積$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c$是這樣一個數，它的絕對值表示以向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$為棱的平行六面體的體積。如果向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成右手系（即$\boldsymbol c$的指向按右手規則從$\boldsymbol a$轉向$\boldsymbol b$來確定），那么混合積的符號是正的；如果$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成左手系（即$\boldsymbol c$的指向按左手規則從$\boldsymbol a$轉向$\boldsymbol b$來確定），那么混合積的符號是負的。
事實上，設$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b,\overrightarrow{OC}=\boldsymbol c$。按向量積的定義，向量積$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol f$是一個向量，它的模在數值上等於向量$\boldsymbol a$和$\boldsymbol b$為邊所做平行四邊形$OADB$的面積，它的方向垂直於這平行四邊形的平面，且當$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成右手系時，向量$\boldsymbol f$與向量$\boldsymbol c$朝着這平面同側；當$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成左手系時，向量$\boldsymbol f$與向量$\boldsymbol c$朝着這平面異側。所以，如設$\boldsymbol f$與$\boldsymbol c$的夾角為$\alpha$，那么當$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成右手系時，$\alpha$為銳角；當$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成左手系時，$\alpha$為鈍角。由於$$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b||\boldsymbol c|\cos\alpha$$所以當$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成右手系時，$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]$為正；當$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$組成左手系時，$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]$為負。
因為以向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$為棱的平行六面體的底（平行四邊形$OADB$）的面積$S$在數值上等於$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|$，它的高$h$等於向量$\boldsymbol c$在向量$\boldsymbol f$上的投影的絕對值，即$$h=|\mathrm{Prj}_{\boldsymbol f}\boldsymbol c|=|\boldsymbol c||\cos\alpha|$$所以平行六面體的體積$$V=Sh=|\boldsymbol a\times\boldsymbol b||\boldsymbol c||\cos\alpha|=|[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]|$$ 由上述混合積的幾何意義可知，若混合積$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]\neq 0$，則能以$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$三向量為棱構成平行六面體，從而$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$不共面；反之，若$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$三向量不共面，則必能以$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$為棱構成平行六面體，從而$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c]\neq 0$。於是有下述結論：
三向量$\boldsymbol a$、$\boldsymbol b$、$\boldsymbol c$共面的充分必要條件是它們的混合積$[\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c] = 0$，即$$\begin{vmatrix}a_x &a_y &a_z \\ b_x&b_y &b_z \\ c_x&c_y &c_z\end{vmatrix}=0$$