群
群的定義
\((i):\forall a \in G,\exists a^{-1},a \cdot a^{-1}=e\)
\((ii)\)封閉性,可逆性，結合性
群的判定定理：
\(\forall a,b\in G,\exists x,y,ax=b \quad and \quad ya=b\){證明這個的話，我們只需取a,a的話,我們就可以先把單位元確定了，然后利用性質自然逆元就得到了}
性質：
在群里消去律是成立的
半群的定義：
半群只要求滿足結合律(幺半群有單位元)
設G是一個群，H是G的一個非空子集,如果H關於G的運算也構成群，則稱H為G的一個子群 ,記為\(H<G\)
交換群
\(\forall a,b \in G,ab=ba\)
子群
定義和例子
一個簡單的方法來拆分任何帶有一系列公理的數學結構的方法，來研究同樣帶有公理的數學結構。我們開始這個工程來研究群的子群。
第二個拆分數學結構的方法就是來研究它的商結構，商群的概念，這是一個方式來拆分一個群變成更小的群(我們將在下一個章節學習)
子群的定義
G為群，G的子集H是G的子群，如果H是非空的，H在積和逆運算下是封閉的。如果H是G的子群，我們記做\(H < G\)
例子
\((ii)\)每一群G其實都有兩個平凡的子群\(H=G,H=\{1\}\)
推論
(子群的標准:)\(H\)是\(G\)的子群，當且僅當：
\((i)H \neq \varnothing\)
\((ii) \forall x,y \in H,xy^{-1} \in H\)
如果H是有限的，我們需要確定H的封閉性
證明：
首先指出這個證明是雙向的，然后我們考慮，其實對於一個a來說，就有\(x^{-1}x=e\)的事實，我們這樣就能得到\(e\)這個很重要的元素在\(H\)中，然后對於每個\(a\)來說，\(ea^{-1}\)同樣也在里面，我們就可以確認每個元素的逆元也在里面，顯然群的性質就已經確認了(這個推論確實簡化了子群的判別，子群的判別說到底是涉及了兩個集合，\(G,H\)，推論從\(H\)里面出發，然后確定\(G\)與\(H\)的關系)
陪集和正規子群
陪集：
\(H<G\)
\(a H=\{a h | \forall h \in H\}\)
正規子群：
\(\forall a \in G \quad a H=H a\)
則我們記作\(H \triangleleft G\)
關於正規子群的等價性命題：
$$\forall a \in G,aHa^{-1}=H$$
$$\forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H$$
$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$
商群
商群的概念結合了陪集與正規子群
\(如果 H \triangleleft G \quad ,\)
\(G/H\)稱為商群
群同態與同構
群同態
\(f:(G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)， f(g_{1}\cdot g_{2})=f(g_{1})\triangle f(g_{2}))\)
f為單射 \(\rightarrow\)單同態
f為滿射 \(\rightarrow\)滿同態
f為雙射 \(\rightarrow\)同構
單位元具有唯一性:
\(f\left(e_{1}\right)=f\left(e_{1}^{2}\right)=f\left(e_{1}\right) \Delta f\left(e_{1}\right)=\left[f\left(e_{1}\right)\right]^{2}\)
群同構基本定理
f :G\(\rightarrow H\)
(G,\(\cdot\))\(\rightarrow(H,\triangle)\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf\)
\(\left\{Kerf=g|f(g)=e_{H}\right\} \quad and \quad Imf=\left\{f(g)|g \in G \right\}\)}
從單射開始說起，
令gKerf=\(\bar{g}\)
第二同構定理：\(H\big/(H \cap K) \cong HK\big/K\)
群同構第三定理
\(G \big/ H \cong (G\big/K)\bigg/(H\big/K)\)
循環群分類定理
Cayley定理
任何一個群都同構於一個對稱群的子群
Lagrange定理
\(H<G\)
G為有限群的情況，H的階整除G的階
素數階的群一定是循環群?
群的作用
G為一個群,\(G \neq \varnothing\)
\(\varphi:G \times S \rightarrow S\)
\((i):g_1 g_{2}(s)=g_1(g_2(s))\)
\((ii):e(s)=s ,\forall s \in S\)
我們引入軌道的概念：\(O_{x}=\{gx|g\in G\}\)
我們來證明：$\forall x,y,O_x=O_y $或者不相等(即不可能會出現相交的情況)
\(O_x \cap O_y \neq \varnothing\)
任取\(z \in O_x \cap O_y\),存在\(g_1,g_2 \in G\),使得\(gx=z=gy\)
\(y=g_2^{-1}g_1x \in O_x\)(這里我們要注意一些概念：\(O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}\))由此得到：\(O_y \subset O_x,同理可證O_x \subset O_y \rightarrow O_x =O_y\)
由於\(O_{x}=\{gx|\forall g\in G\}\)
這里我們注意一個事實，盡管\(\rho\)是一個雙射，但是群的階數與集合的階數不相等。
這是需要我們格外注意的地方：因為我們經常認為群作用了的話，本身就應該與映射出來的集合是一樣的，即：\(|g(x)|=X\),而不是\(|G|=|X|\)
我們來看個例子，首先我們必須明白一點群的作用只是個抽象的作用，並不是群真實的作用在集合上，這只是一個稱呼。
我們定義\(\varphi:g(x)=gxg^{-1},\forall g \in G\)
我們有這樣的事實：
\((i)e(x)=exe^{-1}\)
\((ii)g_1(g_2(x))=g_1(g_2xg_2^{-1})g_1^{-1}=g_1g_2x(g_1g_2)^{-1}\)
我們很容易提出問題：\(|G|?=|O_x|？=|G \times X|\)
？？我們注意一件事情，如果G為交換群，則\(g(s)=g_1g_2(s)=g_2(g_1(s))\)
我們首先要注意事實：\(|G|\)和\(|O_x|\)在大多時候的階數是不一樣的
我們先來看看軌道穩定子定理：
我們定義穩定子：\(S_x=\{gx=x\}\)
那么有這樣的事實：\(\rho: O_x \rightarrow G \big/S_x\)
\(gx \rightarrow gS_x\)
那么我們\(O_x\)到\(G \big/ S_x\)的一一映射
這個是很有意思的事情，一般不容易發現，這樣我們就定義\(|G|\)與\(|O_x|\)的關系
我們先來證明軌道穩定子定理：
\((i)\rho 為單射：\rho(g_1 x)=\rho(g_2x)\rightarrow g_1S_x=g_2S_x,g_1^{-1}g_2S_x=S_x\)
\(g_1^{-1}g_2 \in S_x,g_1^{-1}g_2x=x\)
我們得到了很重要的結論：\(|G|=|S_x||O_x|\)
我們來看看一個群作用：
多項式：\(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\)的對稱變換的群
\(X=\{x_1,x_2,x_3,x_4\}\),G作用在X上，\(\tau=(1,2,3,4)\)
！！我們要注意這個事實，我們每次的群作用都是利用在X里面去一個元素來完成，所以我們如果要來衡量\(|X|\)的階數，
\(|X|=\sum_{i=1}^{t}[G:S_{x_i}]\),其中\(x_i\)取遍不同軌道的代表元素
我們注意一個很有意思的現象，因為群本身的定義是集合，然后有規定的運算，我們可以定義群作用於群本身的集合，
\(G \times G \rightarrow G\),我們這里不采用抽象的定義，即映射的方式：\(g_1(g_2) \rightarrow g\),這里我們采用共軛作用，群\(G\)作用在自身
\(x \in G,O_x=\{gxg^{-1}|g \in G\},S_x=\{g \in G|gxg^{-1}=x\}\)
我們通常把\(O_x\)稱為x所在的共軛類，\(S_x\)稱為中心化子
所以我們得到了一個重要的定理：
\(|G|=\sum_{x}|G:C(x)|\)，我們對這個等式進行整理，把x為中心元素的共軛類的代表元都弄出來，
\(|G:C(x)|=1\)(x為中心元素的共軛類)
\(G\)為有限群，\(|G|=|C(G)|+\sum_{x}|G:C(x)|\)
(x為取遍非中心元素的共軛類的代表元)
推論：Cauchy定理：如果\(G\)為一個有限群，\(|G|=n\),對於n每一個素因子p，\(G\)都有階為p的元素
Sylow定理
環
環的定義
\((i)(\mathbb{R},+)\)構成一個交換群
\((ii)(R,\cdot)\)滿足結合律
\((iii)(R,+,\cdot)\)滿足分配律
若環K中沒有零因子，則消去律成立
交換環
若\(ab=ba,\forall a,b \in R\)交換環
子環
\((R,+,\cdot)\)是一個環,S為R的一個非空子集，S關於R的運算成環，則稱S為R的子環
\((R,+,\cdot)\)是一個環,S為R的一個非空子集，則S為R的子環的充分必要條件：
(i)(S,+)為(R,+)的加法子群
(ii)\(\forall a,b \in S\rightarrow ab \in S\)
域,除環,體
零因子:
\(a \neq 0,\exists b \neq 0,使得ab =0\)
這里我們注意，零因子的概念重要性從反面而言，是很顯然的，在日常生活中的常用的代數結構，\(\mathbb{R}\)，除開零元來看的話，都是沒有零因子這種代數結構的
這里注意零因子與零元不是一個概念(我們日常使用的代數系統都是無零因子環很多，滿足環的消去律)
無零因子環
無零因子環:我們把沒有零因子，有單位元e的環稱為無零因子環
{整環}
一個沒有零因子，有單位元e的交換環R稱作整環
高斯整環:\(Z[i]\)
\((R,+,\cdot)\)滿足結合律，則稱為域
\noindent 四元數體(Hamilton quaternion field)=\(\left\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in R\right\}\)
除環}
R有單位元\(e \neq 0\)的環，在環中非零元都可逆
域}
F為一個有單位元的交換環，如果每個非零元都可逆，則稱為域
\(Q \sqrt[3]{2}\)
環同態
設\(R_{1},R_{2}\)為兩個環，
若f滿足：
(i)\(f(r_{1}+r_{2})=f(r_{1})+f(r_{2})\)
(ii)\(f(r_{1}r_{2})=f(r_{1})f(r_{2})\)
理想
R為環，I為R的非空子集，如果I滿足：
\((i)\forall r_{1},r_{2}\in I,r_{1}-r_{2}\in I\)
\((\forall r \in R,\forall i \in I),ri \in I\)稱為左理想\(ir \in T\)稱為右理想
根理想：設I為交換環R的一個理想，定義集合：
\(Rad(I)=\{r \in R|存在整數n，使得r^{n}\in I\}\)
證明\(Rad(I)是R\)的理想
(這里我們要注意理想的概念)
考察\(r_1,r_2\)
若\(r_{1}^n \in I,r_2^m \in I\)
考慮\((r_1-r_2)^{m+n}\)
這里我們主要考慮\(\sum_{k=1}^{m+n}r_1^kr^{m+n-k}\)
根據理想的性質，\(r_1和r_2根據次方總有一個滿足其中一個屬於理想\)
不妨設\(r^k \in I\),根據\(sI \subset I\),顯然\((r_1-r_2)^{m+n} \in I\)
商環
環R,理想I,在(R,+)的商集\(R \bigg/ I = \{r+I|r \in R \}\)上
主理想
R為環, \(\forall a \in R,\),則(a)=由a生成的理想，稱為主理想
這個概念比較麻煩，我們康康一個例子，
設R為有單位元的交換環，則主理想：\((a)={ra|r \in R}\)
(i)首先證明(a)為R的一個子環，
\(\forall \alpha,\beta \in (a), \rightarrow \alpha =r_{\alpha}a,\beta= r_{\beta}a\)
我們利用子環的判定定理
易知\(\alpha - \beta =(r_{\alpha}-r_{\beta})a \in (a)\)
\(\alpha \beta =r_{\alpha}r_{\beta}aa \in (a)\)(\(r_{\alpha}r_{\beta} \sim r\))
(ii)我們還要考慮一些事情：(a)本身為理想，
\(\forall \bar{r} \in R, \bar{r}(a)= \lbrace \bar{r}ra \rbrace\)
$\bar{r}(a) \subset (a) $
極大理想與素理想
極大理想
R為交換環，M為R的真理想,對R的任一包含M的理想N \(\rightarrow N=M \quad Or \quad N=R\)
素理想
R為交換環,P為R的真理想,如果\(\forall a,b\in R\),由 \(ab\in P \rightarrow a \in P \quad Or \quad b \in P\)
R為一個有單位元的交換環,則R的每個極大理想都是素理想
主理想環
環的每一個理想都是主理想
除環，域都是主理想
主理想整環
多項式整環
(f{R}(x),+,\(\times\))
\ \(P_{1}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{1}x+a_{0}\)
域
域的擴張
\(K \subset \mathbb{F}\),為兩個域，稱\(\mathbb{F}\)為K的擴域
代數元，超越元
代數元
設\(\mathbb{F}\)是一個域,稱\(\alpha\)為代數數，若存在一個多項式f(x)\(\in \mathbb{F}[x] ,s.t. f(\alpha)=0\)
極小多項式
\(\mathbb{F}\)為域,
極小多項式不可約
習題
群
\(A\)為交換群，然后固定\(n \in \mathbb{Z}\)我們證明下面的集合是A的子群：
\((a)\{a^n|a \in A\}\)
\((b)\{a \in A |a^n =1\}\)
證明\(:(1)a^{n}b^{-n}=(ab^{-1})^{n}\)(利用交換群性質，把\(a,b\)弄得更加緊湊),然后根據群的性質,\(ab^{-1} \in A\),\((ab^{-1})^{n} \subset A\)
\((2)\) \((a b)^{m n}=\underbrace{(a b)(a b) \cdots(a b)}_{m n \text { times }}=a^{m n} b^{m n}\),利用交換群性質，把\(a,b\)弄得更加緊湊，由於\(a^n=e,b^m=e,a^{mn}={a^n}^{m}=e,b^{mn}={b^m}^{n}=e\)
證明正規子群的等價性命題:
$$\forall a \in G,aHa^{-1}=H$$
$$\forall a \in G,aHa^{-1}\subseteq H$$
$$\forall a \in G,h \in H,aha^{-1}\in H$$
我們從這里證明正規子群，
\(ah=aha^{-1}a=(aha^{-1})a \subset Ha\)
\(\forall a \in G ,a^{-1}h(a^{-1})^{-1} \in H ,\rightarrow ha \in aH,Ha \subset aH \)}
f:\(G \rightarrow H\)群同態
則$ Kerf \triangleleft G$
{\(\forall gkg^{-1} \in g Kerf g^{-1} \\ f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1}) \\ =f(g)e_{H}[f(g)]^{-1}=e_{H} \\ gkg^{-1} \in Kerf(gKerfg^{-1}\subset Kerf)\)}
證明群同態基本定理f :G\(\rightarrow H\)
\((G,\cdot)\rightarrow(H,\triangle)\)
\(\frac{G}{Kerf}\cong Imf\)
{Kerf顯然是正規子群,}
設$C(G)= { a \in G|\forall g \in G,ag=ga } $,是群G的中心，證明：如果G/C(G)是循環群，則G是Abel群
簡要證明Sylow定理(1,2,3)
設 G 的階為 168, G 中有多少個階為 7 元素
環
在\(\mathbb{Z}_{2}[x]\)中多項式\(x^3+x^2+1\)是不可約的，並利用這一結論構造一個有8個元的有限域