基本概念
元素。集合。空集合。子集 。真子集 。\(A=B\Longleftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\) 。冪集：一個集合所有子集組成的集合， \(P(A)\) 。交集。並集。性質：冪等性；交換律；結合律；二者之間有分配律。
關系：\(M\times M\) 的子集。即 \(\forall a,b\in M\) ，法則 \(R\) 可以確定 \(a\) 和 \(b\) 符合/不符合這個法則。記做 \(aRb\) 和 \(a\overline Rb\) 。等價關系：滿足自反性（ \(\forall a\in M,aRa\) ）、對稱性（ \(aRb\Leftrightarrow bRa\) ）和傳遞性（ \(aRb,bRc\Rightarrow aRc\) ）的關系，用 \(\sim\) 表示，即 \(a\sim b\) 。分類：把集合 \(M\) 的全體元素分為若干互不相交的子集。每個分類與一個等價關系一一對應。
映射：集合 \(A,B\) ，有一個 法則 \(\varphi\) 使得所有的 \(x\in A\) 存在唯一的 \(y\in B\) 與之對應。記作 \(\varphi:x\longrightarrow y\) 或 \(y=\varphi(x)\) 。\(y\) 叫做 \(x\) 在映射 \(\varphi\) 下的像，把 \(x\) 叫做 \(y\) 在映射 \(\varphi\) 下的原像或逆像。
滿射：\(B\) 中每個元素在 \(A\) 中都有原像。單射：\(A\) 中不同的元素在 \(B\) 中像不同。雙射：滿射+單射。
逆映射：只有雙射才有逆映射，記為 \(\varphi^{-1}\) 。有限集合滿足 \(|A|=|B|\) 且 \(\varphi\) 是 \(A\) 到 \(B\) 的一個映射，則 \(\varphi\) 是滿射 \(\Longleftrightarrow\) \(\varphi\) 是單射；推論：得出 \(\varphi\) 是雙射。
相等映射 ： \(A\) 到 \(B\) 的映射 \(\sigma\) 和 \(\tau\) 滿足 \(\forall x\in A, \sigma(x)=\tau(x)\) 。
映射合成/映射乘法： \(\tau:A\longrightarrow B, \sigma: B\longrightarrow C\) ，則 \(x\longrightarrow \sigma(\tau(x)) (\forall x\in A)\) 是 \(A\) 到 \(C\) 的一個映射，記為 \(\sigma\tau(x)\) 。
代數運算：集合 \(M\) 的對應法則 \(M\times M\longrightarrow M\) ，即任意兩個有次序的元素 \(a\) 和 \(b\) 有唯一確定的元素 \(d\) 與它們對應。代數系統：有代數運算的集合。（注意代數運算的封閉性。即 \(d\in M\) ）。用“乘法表”法表示有限集合的代數運算時，注意每列行首（第一列）是參與運算第一個元素，每列列首（第一行）是第二個元素。
變換： 集合 \(A\) 到自身的映射。雙射變換也叫一一變換。恆等變換是每個元素與自身對應的變換。含 \(n\) 個元素的任意集合共有 \(n!\) 個雙射變換。對於有限集合 \(M=\{1,2,\cdots,n\}\) 的雙射變換 \(\varphi\) 可以用 \(\varphi=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\\varphi(1)&\varphi(2)&\cdots&\varphi(n)\end{pmatrix}\) 表示，稱為 \(n\) 元置換。\(T(M)\) ： \(M\) 的所有變換的集合。\(S(M)\) ：\(M\) 的所有雙射變換的集合，有 \(S(M)\subseteq T(M)\) 。變換乘法：將映射乘法定義在變換上。變換乘法是 \(T(M)\) 的運算，也是 \(S(M)\) 的運算。
結合律： \((M,\circ)\) 滿足 \(\forall a,b,c\in M, (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\) 。有 \(n\) 個元素的運算序列有 \(s=\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!}\) 種加括號形式，滿足結合律的代數系統中任意 \(n\) 個元素寫成一列后無論怎么加括號，運算結果都相等。
交換律： \((M,\circ)\) 滿足 \(\forall a,b\in M, a\circ b=b\circ a\) 。滿足交換律和結合律的代數系統中任意 \(n\) 個元素的運算序列中任意加括號和交換元素前后次序，運算結果都相等。
分配律：\(M\) 定義兩個運算 \(\circ\) 和 \(\oplus\) ，對任意元素 \(a\circ (b\oplus c)=(a\circ b)\oplus(a\circ c)\) ，稱運算 \(\circ\) 對 \(\oplus\) 滿足左分配律；右分配律同理。若 \(\oplus\) 滿足結合律，則分配律中括號元素可以拓展到任意有限個。
代數系統的同態映射：兩個代數系統 \((M,\circ), (\overline M, \overline\circ)\) 和一個映射 \(\varphi:M\longrightarrow \overline M\) 。若 \(\varphi\) 保持運算，即 \(\forall a,b\in M, \overline a=\varphi(a), \overline b=\varphi(b), \varphi(a\circ b)=\overline a\overline \circ\overline b\) ，則稱 \(\varphi\) 為代數系統 \(M\) 到 \(\overline M\) 的一個同態映射。 同態滿射：同態映射+滿射。
代數系統的同態：兩個代數系統之間存在同態滿射，記作 \(M\sim \overline M\) 。（同態可以理解為代數系統的一個“縮影”。區分同態和同態映射的區別。）同態保持運算的性質，即若 \(\circ\) 滿足結合律則 \(\overline \circ\) 滿足結合律；若 \(\circ\) 滿足交換律則 \(\overline \circ\) 滿足交換律；若 \(\circ\) 對 \(\oplus\) 滿足分配律且 \(\varphi\) 即是 \((M,\circ)\) 到 \((\overline M,\overline\circ)\) 的同態滿射，也是 ， \((M,\oplus)\) 到 \((\overline M,\overline\oplus)\) 的同態滿射，則 \(\overline \circ\) 對 \(\overline\oplus\) 滿足分配律。
代數系統的同構映射：同態雙射。代數系統的同構：存在同構映射。不同構：不存在。同構映射是所有代數系統建的等價關系。自同態映射：\(M\) 到自身的同態映射。自同構映射（自同構）：\(M\) 到自身的同構映射。（同構可以理解為兩個代數系統“全等”。）
群
群：非空集合 \(G\) 定義代數運算 \(\circ\) 滿足結合律、存在左單位元和左逆元，則稱 \(G\) 對 \(\circ\) 作成一個群。
非零有理數乘群/正有理數乘群
數域 \(F\) 一般線性群/ \(n\) 階線性群： \(GL_n(F)\)，數域 \(F\) 上全體 \(n\) 階滿秩方陣對矩陣普通乘法成群；特殊線性群 \(SL_n(F)\) ：全體行列式為 1 的方陣對矩陣普通乘法成群，是 \(GL_n(F)\) 子群
\(n\) 次單位根組成的群 \(U_n\) 是 \(n\) 階有限交換群
四元數群 \(G=\{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}\) 是一個 8 階非交換群不是群：半群（只滿足結合律），幺半群（有單位元的半群）。半群中可以沒有單位元，可以只有左/只有右單位元（可以有多個左/右單位元），如果左右單位元都有則相等且惟一，作成幺半群。正整數集對乘法構成幺半群，對加法構成半群。
交換群/可換群/Abel群： \(\circ\) 還滿足交換律的群。一個交換群的運算叫做加法並用 \(+\) 表示時，稱為加群。加群中，單位元用 \(0\) 表示，稱為零元，元素 \(a\) 的逆元用 \(-a\) 表示，稱為 \(a\) 的負元。整數對加法作成加群（整數加群）。
有限群/無限群：看元素個數是否為有限個；階（ \(|G|\) ）用來表示有限群元素個數，無限群的階稱為無限。
群的左單位元和右單位元相等且惟一，稱為單位元。
群中每個元素的左逆元和右逆元相等且惟一，稱為逆元。
群中消去律成立：\(ab=ac\Rightarrow b=c,ba=ca\Rightarrow b=c\)
群的充要條件：半群中 \(ax=b\) 和 \(ya=b\) 都有解。先證單位元，后證逆元。
有限半群消去律成立則成群。
定義群中乘法的指數 \(a^0=e\) ，\(a^n\) 表示 \(n\) 個 \(a\) 連起來做乘法， \(a^{-n}=(a^{-1})^n\) ，則有 \(a^ma^n=a^{m+n}, (a^m)^n=a^{mn}\) 。 元素的階：\(a^n=e\) 的最小的 \(n\) ，不存在就是無限。
每個元素階都有限就是周期群，都無限就無扭群，否則稱為混合群。
有限群的每個元素階有限。有限階元素滿足 \(a^{m}=e\Leftrightarrow |a||m\) ，\(|a^k|=\frac{|a|}{\gcd(k,|a|)}\) 。
交換群滿足 \(\gcd(|a|,|b|)=1\rightarrow|ab|=|a||b|\) 。若不是交換群，不滿足，可以出現無限。
交換群元素有最大階，則每個元素階為最大階因數。
子群：群 \(G\) 的子集 \(H\) 對乘法也成群，記為 \(H\leqslant G\) 。平凡子群為 \(G\) 和單位元群，其它為非平凡子群或真子群，記為 \(H<G\) 。子群單位元是原群單位元，子群元素逆元是原群元素逆元。
\(H\le G\) 的充要條件是 \(\forall a,b\in H, ab\in H\land a^{-1}\in H\)；還是 \(\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H\) 。
有限子集 \(H\le G\) 的充要條件是 \(\forall a,b\in H, ab\in H\) 。
中心元素：和其它元素都可換的元素。只有單位元可換的群是無中心群。中心元素組成的集合是一個交換子群，稱為中心，記為 \(C(G)\) 。
群子集乘積：\(AB=\{ab|a\in A,b\in B\}\) ，即每對元素對應相乘組成的子集。
群子集的逆：\(A^{-1}=\{a^{-1},a\in A\}\)每個元素對應逆元組成集合。
子集成群的充要條件：\(HH=H\) 且 \(H^{-1}=H\) ；\(HH^{-1}=H\) ；
有限子集成群的充要條件：\(HH=H\)。
兩個子群乘積成群 \(HK\le G\) 的充要條件：\(HK=KH\) 。交換群子群乘積一定是子群。
群 \(G\) 關於子群 \(H\) 左陪集： \(a\in G, aH=\{ax|x\in H\}\) ，右陪集類似定義。
\(a\in aH\) 。若 \(a\in H\) 則 \(aH=H\) 。
\(a,b\) 屬於同一個左陪集 \(\Leftrightarrow b\in aH\Leftrightarrow aH=bH\Leftrightarrow a^{-1}b\in H\)
若 \(aH\cap bH\neq \varnothing\) ，則 \(aH=bH\) （任意兩個陪集要么相等要么無公共元素）。
表明 \(G\) 關於 \(H\) 的全體不同左陪集構成 \(G\) 元素的分類。
用 \(aH,bH,cH\) 代表 \(G\) 關於 \(H\) 的所有不同左陪集，則 \(G\) 關於 \(H\) 左陪集分解為 \(G=aH\cup bH\cup cH\cup \cdots\) ，稱 \(\{a,b,c,\cdots\}\) 為 \(G\) 關於 \(H\) 的左陪集代表系。
左陪集和右陪集之間存在雙射： \(aH\rightarrow Ha^{-1}\) ，即要么二者個數都無限，要么個數相等。
指數：子群 \(H\) 在群 \(G\) 中的互異的陪集個數，記為 \((G:H)\) ，可能為無限。
Lagrange 定理：若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的一個子群，則 \((G:H)=\frac{|G|}{|H|}\) 。任何子群的階和指數都是群的階的因數。證法：任意兩個陪集之間存在雙射，因此陪集之間元素個數相等。有限群每個元素的階整除群的階（元素生成群的階為元素的階，且生成群為子群）。
推廣：有限群 \(G\) ，若 \(K\le H\le G\) ，則滿足 \((G:H)(H:K)=(G:K)\) 。
乘法：若 \(K\le H\le G\) 且 \(A=\{a_1,a_2,\cdots\}\) 和 \(B=\{b_1,b_2,\cdots\}\) 為 \(G\) 關於 \(H\) 和 \(H\) 關於 \(K\) 的左陪集代表系時，\(AB=\{a_ib_j|a_i\in A,b_j\in B\}\) 為 \(G\) 關於 \(K\) 的一個左陪集代表系。
群 \(G\) 的兩個有限子群 \(H,K\) 滿足 \(|HK|=\frac{|H|\cdot|K|}{|H\cap K|}\)
證明方法為：將 \(H\) 寫為 \(H\cap K\) 的陪集分解：
\(H=h_1(H\cap K)\cup H_2(H\cap K)\cup\dots\cap h_m(H\cap K)\) ，然后兩邊同時乘以 \(K\) 。
得到 \(HK\) 是若干不相交且與 \(K\) 同大小的集合並 \(HK=h_1K\cup h_2K\cup \cdots\cup h_mK\) 。
由於 \(|HK|=m|K|\) 且 \(|H|=m|H\cap K|\) 。
推論：\(p, q\) 是素數且 \(p<q\) ， 則 \(pq\) 階群最多有一個 \(q\) 階子群。兩個不同子群不滿足定理。
循環群：可以由一個元素生成的群。生成系：群 \(G\) 包含子集 \(M\) 的最小群，記為 \(\langle M\rangle\) 。循環群記作 \(G=\langle a\rangle\) 。循環群是交換群。由 Lagrange 定理，所有素數階群都是循環群。
所有無限循環群與整數加群同構。\(n\) 階有限循環群與 \(n\) 次單位根群 \(U_n\) 同構。
\(n\) 階循環群一定有 \(n\) 階元素，都是生成元，且有 \(\varphi(n)\) 個。無限循環群有兩個生成元。
\(n\) 階循環群有 \(d(n)\) 約數個數個子群，無限循環群有無限個子群。
變換群：變換關於變換乘法組成的群。注意，\(T(M)\) 關於變換乘法組成幺半群。\(S(M)\) 關於變換乘法是雙射變換群，稱為 M 上的對稱群。\(|M|=n\) 時稱為 \(n\) 階對稱群 \(S_n\) 。
雙射變換群：全為雙射變換的變換群，非雙射變換群全為非雙射變換的變換群。
雙射變換群的充要條件為含有單/滿射變換。證明：先證明存在一個單位元是恆等變換，再證明所有元素都有逆元而必須是雙射變換才能在恆等變換下有逆元。
雙射變換群以恆等變換為單位元。非雙射變換群不能包含任何雙射/單射/滿射變換。
任何群都和一個雙射變換群同構。證明：對於一個群，在它上面先成構造一個雙射變換群：\(G\) 的 \(\bar G=\{\tau|\tau_a:x\to ax\}\) ，順便證明一個他是個群，然后再證明之間的一個同構映射。
置換群：\(n\) 元對稱群的子群。
輪換/循環：把 \(i_j\) 變為 \(i_{j+1}\) 最后把 \(i_k\) 變為 \(i_1\) 的一個置換而別的不變，稱為 \(k\) -輪換/循環。\(2\) -輪換稱為對換，\(i\) 互不相同的輪換稱為不相連輪換。不相連輪換的乘法可交換。置換可以表示為若干不相連輪換積，輪換可以表示為若干對換積，因此置換可以表示為若干對換積。置換分解為奇數個對換的積稱為奇置換，偶數個稱為偶置換，恆等置換為偶置換。
置換群要么全是偶置換，要么奇偶各占一半，且群內全體偶置換構成一個子群。
全體 \(n\) 偶置換的群 \(A_n\) 稱為 \(n\) 元交代群（交錯群）。
Klein四元群： \(K_4=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}\) 是 \(A_4\) 的一個交換子群。
\(k\) -輪換的階為 \(k\)，不相連輪換乘積的階為各輪換的階的最小公倍數。
\(n\) 元置換 \(\sigma\) 和 \(\tau=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&n\\i_1&i_2&\cdots&i_n\end{pmatrix}\) 滿足 \(\sigma\tau\sigma^{-1}=\begin{pmatrix}\sigma(1)&\sigma(2)&\cdots&\sigma(n)\\\sigma(i_1)&\sigma(i_2)&\cdots&\sigma(i_n)\end{pmatrix}\) 。
正規子群與同態
咕咕咕
環與域
一個交換群的運算叫做加法並用 \(+\) 表示時，稱為加群。加群中，單位元用 \(0\) 表示，稱為零元，元素 \(a\) 的逆元用 \(-a\) 表示，稱為 \(a\) 的負元。減法： \(a-b=a+(-b)\) ，稱為加法的逆運算。群中的指數寫法改為倍數的寫法。
環：\(R\) 定義兩個運算，一個叫加法（ \(+\) ），另一個叫乘法。若 \((R,+)\) 是一個加群（可交換的群），\(R\) 對乘法滿足結合律，乘法對加法滿足左右分配律，則稱 \(R\) 對這兩個代數運算作成一個環。交換環：乘法滿足交換律的環。
例如：數域 \(F\) 上全體多項式的集合對多項式加法、乘法作成多項式環。
數域 \(F\) 上全體 \(n\) 階方陣的集合對矩陣加法和矩陣乘法作成 \(n\) 階全陣環。
數域 \(F\) 上的一個線性空間全體線性變換的集合對線性變換加法和乘法作成線性變換環。
對加群中 \(\forall a,b\) 規定乘法 \(ab=0\) 稱為零乘環。不是環：非結合環（不要求滿足乘法結合律）、擬環（不要求加法可換）、半環（加法只要求作成半群）
有限環/無限環：看元素個數是否為有限個；階（ \(|R|\) ）用來表示有限環元素個數，無限環的階稱為無限。子環 ：環 \(R\) 的非空子集 \(S\) 對原來的加法和乘法都做成環，稱 \(S\leqslant R\) 。子環的充要條件是 \(a,b\in S\Rightarrow a-b\in S,ab\in S\) 。環的非空有限子集成環只需要運算的封閉性（與群的結論類似）。特征：環中元素對加法的最大階，記作 \(\operatorname{char} R\) 。無最大階的稱特征為無限（或零），有限群特征都有限，無限群可能有限也可能為無限。
左/右單位元：對乘法滿足 \(\forall a,ea=a\) 的元素 \(e\) 稱為左單位元，右單位元同理。環中可以沒有單位元，可以只有左/只有右單位元（可以有多個左/右單位元），如果左右單位元都有，則惟一且相等（ \(e_le_r=e_l=e_r\) ），稱為單位元，用 \(1\) 表示。有單位元的環稱為幺環，這個定義課本和ppt上沒有。幺環的特征是單位元的加法階（有限的證明：\(na=(n\cdot1)a=0a=0\) 。）
環對乘法的性質：零元滿足 \(0a=a0=0\) ；\((-a)b=a(-b)=-(ab)\) ；\((-a)(-b)=ab\) ；\(c(a-b)=ca-cb\) ；\((a-b)c=ac-bc\) （減法分配律）；\((\sum_i a_i)(\sum_i b_j)=\sum_i\sum_j(a_ib_j)\) （多元分配律）；\((ma)(nb)=(mn)(ab)\) 。乘法的冪： \(n>0\) 時：則有 \(a^n\) 代表 \(n\) 個 \(a\) 連續相乘；幺環可用 \(a^0=1\) ；幺環且元素 \(a\) 有乘法逆元 \(a^{-1}\) 時，可定義 \(a^{-n}=(a^{-1})^n\) 。
環上的矩陣是把環上的元素寫成矩陣形式；由此可定義相等、元素與矩陣乘法、矩陣加法、矩陣乘法。環 \(R\) 上全體 \(n\) 階方陣關於矩陣加法、矩陣乘法又作成一個環，稱為 \(R\) 上的 \(n\) 階全陣環（ \(R_{n\times n}\) ）。對幺環 \(R\) ，\(R_{n\times n}\) 也有單位元 \(E=\begin{pmatrix}1&&0\\&\ddots\\0&&1\end{pmatrix}\) 。
循環環：環關於其加法是一個循環群的環。設 \((R,+)=\langle a\rangle\) ，若指明 \(a^2=ka\) ，則可以以此表示環。例如無限循環環表示為 \(R=\{\cdots,-2a,-a,0,a,2a,\cdots\},a^2=ka,k\in Z\) ；有限循環環表示為 \(R=\{0,a,2a,\cdots,(n-1)a\},a^2=ka,0\le a\le n-1, k\in Z\) 。 循環環一定是交換環，但不一定是幺環。\(\mu(|R|)\neq 0\) 的環（含素數階環）都是循環環。
零因子： \(a\neq 0,b\neq0, ab=0\) 則 \(a\) 稱為左零因子， \(b\) 稱為右零因子，統稱零因子。既不是左零因子又不是右零因子的元素稱為正則元。消去律：若 \(a\) 不是左零因子也不是零元，則 \(ab=ac\Rightarrow b=c\) ，右類似。沒有左零因子的環對於所有 \(a\neq 0\) 都有上式，稱滿足左消去律，右消去律類似定義，則無零因子環滿足消去律。
無零因子環的性質：
非零元素對加法階都相等（證明： \(\forall a,b, a(|a|b)=(|a|a)b=0\rightarrow |a|b=0,|b|||a|\) ）；
特征不是無限就是素數（證明：嘗試分解 \(n\) 發現 \((n_1a)(n_2a)=0\) ）；
特征是素數 \(p\) 的交換環滿足 \((a_1+\cdots+a_n)^p=a_1^p+\cdots+a_n^p\)
整環：階大於 \(1\) 無零因子的交換幺環。
除環（體）：階大於 \(1\) （無零因子）的可逆（幺）環。(p.s.只需要可逆就可以推出幺和無零因子）充要條件：\(\forall a\neq 0,b,ax=b\) 在 \(R\) 中有解。先證明無零因子，再證明 \(ax=a\) 的解是單位元，再證明每個非 \(0\) 元都有逆元即 \(ax=e\) 的解且可換。
域：交換除環。除環中注意 \(a^{-1}b\) 和 \(ba^{-1}\) 不一定相等，域中一定相等，因此可以寫為 \(\frac ba\) ，並且“分數”滿足一般分數判等、加法、乘法、除法的規則。
數域是域。整數環是整環，但不是除環。
四元數除環 \(D=\{a\cdot 1+bi+cj+dk|a,b,c,d\in R\}\) 不可換，是除環不是域。
| 定義 | 無零因子 | 單位元 | 非零可逆 | 可交換 |
|---|---|---|---|---|
| 整環 | True | True | 有限 | True |
| 除環 | True | True | True | 有限（魏德邦定理） |
| 域 | True | True | True | True |
階大於 \(1\) 的有限環若有非零且非零因子元，則必有單位元，且每個非零且非零因子元都可逆。證明它的冪中有等，從而得出單位元和逆元。因此階大於 \(1\) 無零因子的有限環必為域。
子除環、子域：\(F_1\) 是 \(F\) 的子域的充要條件是減法和除法封閉。
整環的分式域（商域）：（類比整數和有理數）整環 \(R\) 是 域 \(K\) 的子環，定義 \(F=\{\frac ba=a^{-1}b|0\neq a,b\in R\}\) 為 \(K\) 的一個子域，且包含 \(R\) 為其子環，是包含 \(R\) 的最小域。（強行把整環塞入除法的元素進去然后變成域？）同構整環的分式域必同構。
單位：有單位元環的可逆元；乘群/單位群：全體可逆元對乘法作成的群，寫作 \(U(R)\) 或 \(R^*\) 。Gauss 整環 \(Z[\mathrm i]=\{a+b\mathrm i|a,b\in Z\}\) 作成一個整環，且單位群是 \(U_4\) 。