格與布爾代數

思維導圖

回顧

偏序集

極大元和極小元

最大元和最小元

上界與下界

上確界與下確界

7-1 格 (Lattice)

基本概念

• 格的定義
  
  

• 平凡格
  

• 由格誘導的代數系統
  
  

• 子格
  

  • 判定子格：看去掉的元素是否影響封閉

格的對偶原理

格的性質

• 9條
  
  
  
  
  
  
  
  

格的同態與同構

• 定義
  
  

• 格同態的保序性
  

• 格同構的保序性
  
  
  

7-2 幾個特殊格

分配格

• 定義
  

• 兩個重要的五元素非分配格
  

• 分配格的判定
  

• 分配格的性質

  • 定理7-2.1

    • 在格中，如果∧對∨可分配，則∨對∧也
      可分配。反之亦然。
      

  • 定理7-2.2

    • 所有鏈均為分配格。
      

  • 定理7-2.3

    • 設<A, ≤>是分配格，對任何a,b,c∈A, 如果
      有 a∧b=a∧c 及 a∨b=a∨c 則必有 b=c。
      

有界格

• 格的全上界與全下界

  • 全上界
    
    
    

    • 定理7-2.4

      • 一個格如果有全上界，則是唯一的。
        (我們已證明過，最大元如果有，則是唯一的)

  • 全下界
    

    • 定理7-2.5

      • 一個格如果有全下界，則是唯一的。
        從格的圖形看：全上界1，就是圖的最上邊元素(只一個)。全下界0，就是圖的最下邊元素(只一個)。

• 有界格定義

  • 如果一個格存在全上界1與全下界0，則
    稱此格為有界格。
    

有補格

• 回顧

  • 集合的補集
    

• 元素的補元

  • 設<A,≤>是個有界格，a∈A, 如果存在 b∈A, 使得 a∨b=1 a∧b=0 則稱a與b互為補元。
    

• 有補格的定義

  • 一個有界格中，如果每個元素都有補元，則稱之為有補格。
    

• 定理7-2.6

  • 在有界分配格中，如果元素有補元，則補元
    是唯一的。
    

布爾格

• 如果一個格既是分配格又是有補格，則稱之為布爾格。
  

7-3 布爾代數 Boolean Algebra

定義

布爾代數的性質

• 10條
  
  

布爾代數的同構

• 定義
  

• 原子

  • 定義1
    

  • 定義2
    
    

• 原子的判定

  • 定理7-3.1
    

  • 定理7-3.2
    

  • 定理7-3.3
    

  • 定理7-3.4
    

  • 定理7-3.5
    

  • 定理7-3.6
    

  • 定理7-3.7
    

  • 定理7-3.8 (Stone鑽石定理)
    

  • 推論1
    

  • 推論2
    

7-4 布爾表達式

布爾表達式概念

• 定義
  

• 對布爾表達式賦值
  

• 兩個布爾表達式相等
  
  

布爾函數

• 定義
  

• 表示方法

  • 代數法
    

  • 真值表法
    

布爾表達式的范式

• 有兩個元素的布爾代數的布爾表達式的范式
  

  • 析取范式(相當於命題公式的主析取范式)

    • 小項
      

    • 布爾表達式的析取范式
      

  • 合取范式(相當於命題公式的主合取范式)

    • 大項
      

    • 布爾表達式的合取范式
      

  • 析取范式與合取范式的寫法

    • 方法1:列真值表
      
      
      
      

    • 方法2:表達式的等價變換
      

  • 應用
    
    

• 一般的布爾代數的布爾表達式的范式

  • 小項

    • 是由n個變元和B中元素構成的如下形式,稱為小
      項.
      
      

  • 布爾表達式E(x₁,x₂,...xₙ)的析取范式
    

  • 定理7-4.1

    • 設< B,∨,∧,¯>是布爾代數,含有變元 x₁,x₂,...xₙ
      的布爾表達式E(x₁,x₂,...xₙ), 則可以寫成析取范式形式.